8 p3 k, C2 T3 _* f' R4 I0 j序
孙子算经
% p' o$ l& m/ y& |. j% R《孙子算经》三卷，案《隋书·经籍志》有《孙子算经》二卷，不著其名，亦不著其时代。《唐书·艺文志》称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷。於孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》，因鸾所注更加辨论也。《隋书》论审度引《孙子算术》，蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分，本书乃作十忽为一丝，十丝为一毫。又论嘉量引《孙子算术》，六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。本书乃作十圭为一撮，十撮为一秒，十秒为一勺。考之夏侯阳《算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合。盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参差互见也。唐之选举，算学孙子、五曹共限一岁习肄，於後来诸算术中特为近古，第不知孙子何许人。朱彝尊《曝书亭集·五曹算经跋》云，相传其法出於孙武，然孙子别有《算经》，考古者存其说可尔。又有《孙子算经》跋云，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生数之文。次言乘除之法设为之数，十三篇中所云廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然胜。以是知此编非伪托也云云。合二跋观之，彝尊之意盖以为确出於孙武。今考书内设问有云，长安洛阳相去九百里。又云，佛书二十九章，章六十三字，则後汉明帝以後人语。孙武春秋末人，安有是语乎？旧本久佚。今从《永乐大典》所载裒集编次，仍为三卷。其甄、李二家之注则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。
$ _6 ?6 E) [4 V+ q" j: A
& N6 B) s; J0 v0 E
; U3 r5 A. j2 i& o
原序

5 D* q1 h( |9 _  S4 P, s! q1 c2 [孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！

+ E; V: m* E! V- A
0 N6 Q0 L2 G* W: q) u$ W/ R

卷上

度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。
" X$ x) `. Y: h/ S
　　称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一筋，三十筋为一钧，四钧为一石。
! H. O, }3 j2 N0 B( Q6 ?5 O+ `
　　量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿粟百，斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穣粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。

　　凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穣，万万穣曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。
8 _2 k" x. g9 L, j
# i9 K* V$ u/ _0 Z  e0 h) r- @: u　　周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。
8 |& p: H: i, f( p2 M9 M+ w* h- l
& ?$ r( F7 g  M% a　　白银方寸重一十四两。
  k* ]$ }1 Q+ y
( r$ l0 L( S2 e* w　　玉方寸重一十两。
- Q; E5 _" C, F4 ?4 [
0 s+ X) e* n4 `9 E4 y8 L+ _1 H" R　　铜方寸重七两半。
: v: K' Y9 G* J' I8 ?
　　铅方寸重九两半。

　　铁方寸重七两。

　　石方寸重三两。
! p5 q4 H$ o" `6 X: E- r# i8 t
　　凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）

2 S  j/ G' Z, R) m; F　　凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。

　　凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

　　以粟求粝米，三之，五而一。

　　以粝米求粟，五之，三而一。
/ q" K2 q/ t: s# J! ~7 \/ H  T6 Q" K
　　以粝米求饭，五之，二而一。
. z8 S, w* a0 I& Z' z  b/ z1 a9 Q
　　以粟米求粝饭，六之，四而一。
! E4 Y" ~$ Z" M, z1 }
　　以粝饭求粝米，二之，五而一。

- ?& e- c+ d* F  A" t) Q　　以□米求饭，八之，四而一。
, i1 v: P0 _, v0 c( v/ c0 A' _5 y
　　十分减一者，以二乘二十除；减二者，以四乘二十除；减三者，以六乘二十除；减四者，以八乘二十除；减五者，以十乘二十除；减六者，以十二乘二十除；减七者，以十四乘二十除；减八者，以十六乘二十除；减九者，以十八乘二十除。

　　九分减一者，以二乘十八除。
: \! p0 `; R8 x% ~. _
　　八分减一者，以二乘十六除。

　　七分减一者，以二乘十四除。
5 ~% k1 Q+ s3 c: {4 a( M  N- w; G
' B* u, y3 P0 J% [  g5 W1 k　　六分减一者，以二乘十二除。
9 D' {  f8 Y# b, v- s2 w) g% q
　　五分减一者，以二乘十除。
; E8 B: c( h" s$ h. R% t9 F: [  n
　　九九八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。
4 M7 \& m) b! P% Z
　　术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱“上”字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作“头位”，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。

% Y7 n8 h/ _4 f3 t* ?　　六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。
' }+ e! m1 b7 J$ [3 u" `# B

术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。
6 g: {# ?" n% C7 E; D) s
　　八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。
0 h: s! C- ^, j5 X% o8 K
1 X" O. \! j) N4 m' f" s7 q$ z　　七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。

　　六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。
8 v8 q: I5 q6 w" D
3 s% \0 z0 Q1 i　　五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。

1 R  u) |2 ?( h5 W; u/ w- w　　四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。

　　三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。
% [% y: J: ^, J
' `7 H& n5 }3 f! v% G# D8 f　　二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。
3 t0 W$ ?5 h) L' d# ~  P
　　一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。

/ O% m& M- M& K' ]) V3 Q6 P　　右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。
, i' G& |6 q* j; I3 A/ H+ l
　　八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。
- P+ k+ B5 h4 X
　　七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。
/ U9 j5 J! y1 x  L, h, u5 B$ p* o- Q0 u
( e% N( e, M. A+ a& H' Y, ~& t. v　　六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。

　　五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。
9 h$ d. i" Q) T/ G5 \; s0 ^2 E' p% S: u
　　四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得二百五十六。

$ K& M' H5 e0 Y% b　　三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。
: x# k' x7 O6 H$ S7 Q& a0 z
　　二八十六，自相乘，得二百五十六，二人分之，人得一百二十八。

　　一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。
0 L4 A9 d) w+ V' }% Z' t! x
　　右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。
, i( D) u; v8 A/ X9 R
6 a# e, q# Q- N　　七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。

* l9 k1 L/ K2 c4 R) W. }0 w  v　　六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。
  A- u4 A; l$ m% @4 x  h9 o/ b
# h& ~% b4 X; R# h1 a" Z* I$ p　　五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。
* o" j2 n- d3 r7 z4 n( Y+ }4 M- V: ]
　　四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。
2 j" F8 m5 Y5 Z! s; B
　　三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。
/ W5 r8 S' ?4 G2 _  }
　　二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。
' `0 M9 c7 @4 [4 i! G* A: J
　　一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。

( b! W3 d1 ~7 z: n  B/ E3 b　　右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。
. k, \. V5 W; t
7 ]* i) g+ m8 X　　六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。
2 r7 _( G# B. P+ a, f5 R& Y+ ]8 R
0 V3 W5 s' ^' n4 C5 r: u- l7 U+ _3 X8 H　　五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。

4 e8 w2 w% b$ B1 A9 V1 H! C　　四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。

　　三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

7 E9 y" N- P% ]9 n　　二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。
; R& W& O! O" o3 s5 k) v, a8 n4 p0 V
　　一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。
  X( d) d& A0 e- C5 a
1 J8 d! o8 b9 N6 K8 Z. K# T　　右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。
6 j& \* ?# E0 q% e! u" P
/ A7 f  o7 v" ?" N3 P　　五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。

2 o; c/ [* X( P6 z* A& J, _( U# U$ M　　四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。

　　三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。
0 f+ B' p( v7 @: f
2 {4 _- e) N. @% h. q' q; N　　二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。

　　一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。
  _4 H8 h$ N1 q6 Y5 |, W
　　右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。

' x: w8 d; Q; X% O# ~　　四四一十六，自相乘，得二百五十六，四人分之，人得六十四。
, G5 a6 Y# w0 q# O$ a
6 ?* C: ~3 z& i  ~: v; z1 H" d　　三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。
) E% @5 r; Y4 J6 M" Q7 K( p' }
　　二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。
' {, C' ]1 t8 A
　　一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。
/ l9 j  i  y! E; q6 S
　　右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。

% e8 L" d$ m6 ?5 s6 J  Z　　三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。
  ^3 y" _/ v: D4 H7 [
+ L0 C2 U  |# Y; w' D+ |" a　　二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

9 H7 E7 I$ Q% o　　一三如三，自相乘，得九，一人得九。

　右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

　　二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。
0 |3 w6 b" G4 s& R; [3 V
　　一二如二，自相乘，得四，一人得四。
  R% _" J: `+ Q% z
- m6 T/ T7 T$ H7 y　　右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

5 O) ]" [4 Q" J/ B  u/ x　　一一如一，自相乘，得一，一乘不长。
4 B/ I5 x: Z# [3 h( o
　　右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。
" _1 m+ M* I6 G# p" g% L
% J  ~! W. K( K　　以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。
, V. g  r) ?: r. b; o
　　以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。
( S7 O- d4 c0 A3 ]' p
$ g) _2 t/ B8 R( r　　以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。

. i$ ?8 D7 |5 }7 d& R　　以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。

& ^5 a. g8 u7 U9 t  u+ ~/ V2 \2 w　　以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。

　　以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人分之，得四千三百七十四。

　　以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。

　　以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。

3 o* P; x  U+ v) X, |% A% f　　以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。

, X( U8 _% F: V( l" ?　　以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二，一十一万八千九十八人分之，得三十五万四千二百九十四。
6 |0 Z  l9 x; T& Z0 b4 n
　　以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。

1 G, h4 b$ I$ L9 N8 M) h

卷中

今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。
. A: L& I$ P3 H& X# x/ m- T
" N- U' z) Y$ t, s8 ~　　术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。

3 G9 T: s) V% D/ U4 i9 e" r" X　　今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。

　　术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。

　　今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？答曰：四十五分之三十一。

' E+ b& Z0 g$ w8 j# f1 ?2 g　　术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。
) a1 }5 R9 i$ ^
+ Q1 O5 f. p* l* D6 f　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。
8 C% _; D: F1 ]7 h" S
# K1 e" `" w4 ]# p6 S2 \　　术曰：置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘子，副并得六十三。置右为平实，母相乘得三十六，为法，以列数三乘未并者，及法等数，得九约讫，减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，各平于一十二分之七。

　　今有粟一斗。问：为粝米几何？答曰：六升。

- v7 N5 ~4 K+ q0 ~7 |6 {, Y　　术曰：置粟一斗十升，以粝米率三十乘之，得三百升为实，以粟率五十为法，除之，即得。

6 B8 r9 Z5 l0 {) x0 P+ z　　今有粟二斗一升。问：为稗米几何？答曰：一斗一升五十分升之一十七。
/ F; Q+ Z$ \+ u  M0 w) w
　　术曰：置粟数二十一升，以稗米率二十七乘之，得五百六十七升，为实；以粟率五十为法，除之不尽，以法而命分。
) R  ]. O7 f/ R' Z' b1 L
　　今有粟四斗五升。问：为□米几何？答曰：二斗一升五分升之三。
  a# x0 y4 V% h- m5 p  P, j
" Y# N- x1 J* z3 a$ W" x  h　　术曰：置粟四十五升，以二约□米率二十四，得一十二，乘之，得五百四十升，为实；以二约粟率，五十得二十五，为法，除之，不尽，以等数约之，而命分。

　　今有粟七斗九升。问：为御米几何？答曰：三斗三升一合八勺。
9 n7 A  |+ \/ [6 E6 B2 r
/ e$ S9 f3 w6 O　　术曰：置七斗九升以御米率二十一乘之，得一千六百五十九，为实，以粟率五十除之，即得。

+ k& c4 L# Z; f3 Y　　今有屋基，南北三丈，东西六丈，欲以砖瓦砌之，凡积二尺，用砖五枚。问：计几何？答曰：四千五百枚。

　　术曰：置东西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺；以五乘之，得九千尺；以二除之，即得。

　　今有圆窖，下周二百八十六尺，深三丈六尺。问：受粟几何？答曰：一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

' C% X. A. U0 @) k$ c　　术曰：置周二百八十六尺，自相乘得八万一千七百九十六尺，以深三丈六尺乘之，得二百九十四万四千六百五十六；以一十二除之，得二十四万五千三百八十八尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

　　今有方窖，广四丈六尺，长五丈四尺，深三丈五尺。问：受粟几何？答曰：五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。
. u6 N9 N: p" h- A5 b
2 ~: `3 K' q' i6 H; ?$ j- J% p　　术曰：置广四丈六尺，长五丈四尺，相乘得二千四百八十四尺；以深三丈五尺乘之，得八万六千九百四十尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。
6 f" \; `: F' e3 `

1 S' [& ~, i+ o& I# E' w+ c" \今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺。问：受粟几何？答曰：二千七百斛。

　　术曰：先置周五丈四尺相乘，得二千九百一十六尺，以深一丈八尺乘之，得五万二千四百八十八尺；以一十二除之，得四千三百七十四尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

! f" n2 ~" n6 J' f　　今有圆田周三百步，径一百步。问：得田几何？答曰：三十一亩，奇六十步。
$ I, X- g4 A/ \5 i( V" d+ @" P
　　术曰：先置周三百步，半之，得一百五十步；又置径一百步半之，得五十步，相乘，得七千五百步，以亩法二百四十步除之，即得。
+ r7 ~/ x3 ~" F9 G- m
　　又术曰：周自相乘，得九万步，以十二除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。

! @3 Z* {. [' v/ [　　又术曰：径自乘，得一万，以三乘之，得三万步，四除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。

, H4 |9 m9 v9 \' _% L　　今有方田桑生中央，从角至桑，一百四十七步。问：为田几何？答曰：一顷八十三亩，奇一百八十步。

; C0 d- B1 B1 Q' l  z6 s　　术曰：置角至桑一百四十七步，倍之，得二百九十四步，以五乘之，得一千四百七十步，以七除之，得二百一十步，自相乘，得四万四千一百步，以二百四十步除之，即得。

1 R0 |0 }! c) f( \6 A　　今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚。问：得几何？答曰：二百一十六枚。
6 m( _2 d7 v* C' S$ J
5 K! {% q# T& B9 H1 i　　术曰：置方三尺，自相乘，得九尺，以高三尺乘之，得二十七尺，以一尺木八枕乘之，即得。
$ g$ O5 y9 L) W
　　今有索，长五千七百九十四步，以四除之，得一千四百四十八步，余二步，以六因之，得一丈二尺，以四除之，得三尺，通计即得。
# x5 m( @4 h0 O! G8 \( x
　　今有堤，下广五丈，上广三丈，高二丈，长六十尺，欲以一千尺作一方。问：计几何？答曰：四十八方。

0 ^: D, a1 y9 U5 R# l9 ^　　术曰：置堤，上广三丈，下广五丈。并之，得八丈；半之，得四丈。以二丈乘之，得八百尺；以长六十尺乘之，得四万八千；以一千尺除之（案：原本讹作乘，今改正。），即得。
6 s7 Y5 J' I1 M6 q, H! H8 ?/ W: n
. y, \3 s& A) ^　　今有沟，广十丈，深五丈，长二十丈，欲以千尺作一方。问：得几何？答曰：一千方。

1 N# S6 j# _- ]& x0 |/ o　　术曰：置广一十丈，以深五丈乘之，得五千尺，又以长二十丈乘之，得一百万尺，以一千除之，即得。

　　今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

　　术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上（案：上商原本脱上字，今补。），副置四万于实之下。下法之商，名为方法；命上商四百除实，除讫，倍方法，方法一退（案：原本脱方法二字，今补。），下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法；方廉各命上商八十以除实（案：原本脱实字，今补。），除讫（案：原本脱除字，今补。），倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除实，除讫，倍隅法，从方法（案：原本讹此六字，今据术补。），上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

　　今有积，三万五千步。问为圆几何？答曰：六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：六分步原本讹作七分，脱步字，今补正。）
# z1 s6 F$ `/ u
　　术曰：置积三万五千步以一十二乘之，得四十二万，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止，上商置六百于实之上，副置六万于实之下。下法之上，名为方法，命上商六百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商四十以次前商，副置四百于方法之下。下法之上，名为廉法，方廉各命上商四十以除实（案：原本脱四十二字，今补。），除讫，倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商八次前商，副置八于方法之下。下法之上，名为隅法，方廉隅各命上商八以除实，除讫，倍隅法，从方法，上商得六百四十八（案：原本脱得字，今补。），下法得一千二百九十六（案：六原本讹作七，今改正。），不尽九十六，是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：九十六分原本讹作九十七分，今改正。）

0 H' C* G* v* t/ N8 Q2 M4 ^; _　　今有邱田周六百三十九，步径三百八十步。问：为田几何？答曰：二顷五十二亩二百二十五步。
* b! t7 a* p5 ]4 L. y
　　术曰：半周得三百一十九步五分半径，得一百九十步二位相乘，得六万七百五步，以亩法除之，即得。
0 U9 G5 C- q% M! ^/ O7 }

今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：二万六千一十一功。
! A1 Z! I" y+ {3 u/ @. D4 u5 y
　　术曰：并上下广，得七十四尺，半之，得三十七尺，以高乘之，得一千四百六尺，又以长乘之，得积七百八十万三千三百尺，以秋程人功三百尺除之，即得。
% ~+ S! x; w+ \. Q6 W" E9 g+ V( p5 z
　　今以穿渠长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺深一丈八尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：三万二千六百四十五功（案：原本讹作三万二百六十五人，今据术改正。），不尽六十九尺六寸。
6 b4 d$ O% t$ J! f, p- P
' q( @- U4 K% z6 E0 |　　术曰：置里数以三百步乘之，内零步，六之，得五万二千八百二十四尺，并上下广，得二丈六寸，半之，以深乘之，得一百八十五尺四寸，以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸，以人功三百尺除之，即得。

* f1 G" Q) @' w　　今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分，分之八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问：三种各得几何？答曰：二分人得钱二十二，三分人得钱三十三，四分人得钱四十四。

　　术曰：先置八十一人于上，七十二人次之，六十三人在下，头位以二乘之，得一百六十二，次位以三乘之，得二百一十六，下位以四乘之，得二百五十二，副并三位，得六百三十为法。又置钱六千九百三十为三位头位，以一百六十二乘之，得一百一十二万二千六百六十，又以二百一十六乘中位，得一百四十九万六千八百八十，又以二百五十二乘下位，得一百七十四万六千三百六十，各为实以法，六百三十各除之，头位得一千七百八十二，中位得二千三百七十六，下位得二千七百七十二，各以人数除之，即得。

& U6 [" s+ m; k3 C( j0 k+ ]　　今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗。问：五人各得几何？答曰：公一十八颗，侯一十五颗，伯一十二颗，子九颗，男六颗。
+ g1 t# V5 F, [' C  Q: r
1 \5 q3 F. M! }　　术曰：先置人数别加三颗于下，次六颗，次九颗，次一十二颗，上十五颗，副并之，得四十五，以减六十颗，余人数除之，得人三颗，各加不并者，上得一十八颗为公分，次得一十五为侯分，次得一十二为伯分，次得九为子分，下得六为男分。
* U# |. R2 ~4 M) |6 {" L
/ i5 ^/ I1 ?+ X! M' D$ _　　今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱半以益我钱成九十。乙复语甲丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成七十。丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六。问：三人元持钱各若干？答曰：甲七十二，乙三十二，丙四。
  J: s, ^: s' t
& c9 Q- _* V$ c, `: N" H1 f7 ^! ~　　术曰：先置三人所语为位，以三乘之，各为积，甲得二百七十，乙得二百一十，丙得八十四，又置甲九十，乙七十，丙五十六，各半之，以甲乙减丙，以甲丙减乙，以乙丙减甲，即各得元数。

　　今有女子善织，日自倍，五日织通五尺。问：日织几何？答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九，次日织三寸三十一分寸之七，次日织六寸三十一分寸之一十四，次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
2 G% Z% b8 q) N7 ]
  O, k- y. m  ~/ e　　术曰：各置列衰副，并得三十一为法，以五尺乘并者，各自为实，实如法而一，即得。

　　今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？答曰：贼一十三人，绢八十四匹。

, g2 o$ p) s! A/ H　　术曰：先置人得六匹于右上，盈六匹于右下，后置人得七匹于左上，不足七匹于左下，维乘之所得，并之为绢，并盈不足为人。

卷下

. V) V  ~0 C; z# M4 C1 }今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租，甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛，凡九家，共输租一千斛，僦运直折二百斛外。问：家各几何？答曰：甲二十八斛，乙三十六斛八斗，丙四十五斛六斗，丁五十四斛四斗，戊六十三斛二斗，己六十四斛，庚八十斛，辛一百六十八斛，壬二百六十斛。
  Q' `  W4 m) B* [
4 I  t& C/ B+ k. `/ s4 K1 f# b　　术曰：置甲出三十五斛，以四乘之，得一百四十斛；以五除之，得二十八斛。乙出四十六斛，以四乘之，得一百八十四斛；以五除之，得三十六斛八斗。丙出五十七斛，以四乘之，得二百二十八斛；以五除之，得四十五斛六斗。丁出六十八斛，以四乘之，得二百七十二斛；以五除之，得五十四斛四斗。戊出七十九斛，以四乘之，得三百一十六斛；以五除之，得六十三斛二斗。己出八十斛，以四乘之，得三百二十斛；以五除之，得六十四斛。庚出一百斛，以四乘之，得四百斛；以五除之，得八十斛。辛出二百一十斛，以四乘之，得八百四十斛；以五除之，得一百六十八斛。壬出三百二十五斛，以四乘之，得一千三百斛；以五除之，得二百六十斛。
, }4 q& H5 n( m0 L, j( r; m/ c
　　今有丁一千五百万，出兵四十万。问：几丁科一兵？答曰：三十七丁五分。
% n" o" u% ^# Y6 a- ~' a- J
　　术曰：置丁一千五百万为实，以兵四十万为法，实如法，即得。
$ n, ^; `: a; S9 i9 t  \$ C  {
　　今有平地聚粟，下周三丈六尺，高四尺五寸。问：粟几何？答曰：一百斛。
  B$ m6 F0 X: m
　　术曰：置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺，以高四尺五寸，乘之，得五千八百三十二尺，以三十六除之，得一百六十二尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

　　今有佛书，凡二十九章，章六十三字。问：字几何？答曰：一千八百二十七。
" _! m8 U, v  L) _: `0 E/ q- V. k
* a1 B/ g0 h' v0 B3 X- V6 J* b( S　　术曰：置二十九章，以六十三字，乘之，即得。
8 A+ j- B7 I0 D2 Z( `
& j# W; K4 @  ^8 x: D. O2 F4 H　　今有棋局，方一十九道。问：用棋几何？答曰：三百六十一。
5 s- I+ x/ R* m# ]( O. r
& \4 v, g$ }! T  Q# N1 \　　术曰：置一十九道，自相乘之，即得。

　　今有租，九万八千七百六十二斛，欲以一车载五十斛。问：用车几何？答曰：一千九百七十五乘奇一十二斛。
3 c0 z" p% A: U6 L/ _( q2 j+ e
　　术曰：置租九万八千七百六十二斛为实，以一车所载五十斛为法。实如法，即得。
) _/ G- U! q7 D2 p* Z, X
　　今有丁九万八千七百六十六，凡二十五丁出一兵。问：兵几何？答曰：三千九百五十人奇一十六丁。

! H% {" F6 p6 w* v. Z$ _! z2 D　　术曰：置丁九万八千七百六十六为实，以二十五为法。实如法，即得。
" J6 p& N0 K2 `& c  q1 R8 l
) ?& {* F/ x  M, I% r; Y4 R9 C& M　　今有绢，七万八千七百三十二匹，令一百六十二人分之。问：人得几何？答曰：四百八十六匹。

1 i& \: H3 k! m; D; t2 B1 R/ M　　术曰：置绢七万八千七百三十二匹为实，以一百六十二人为法。实如法，即得。
9 P7 N, {8 s2 I
, r: x! V  ~- y- `- E. ?

今有绵，九万一千一百三十五筋，给与三万六千四百五十四户。问：户得几何？答曰：二筋八两。

　　术曰：置九万一千一百三十五筋，为实；以三万六千四百五十四户，为法。除之，得二筋，不尽一万八千二百二十七筋，以一十六乘之，得二十九万一千六百三十二两，以户除之，即得。

　　今有粟，三千九百九十九斛九斗六升，凡粟九斗易豆一斛。问：计豆几何？答曰：四千四百四十四斛四斗。

　　术曰：置粟三千九百九十九斛九斗六升为实，以九斗为法。实如法，即得。

0 z0 q% y5 J* ~$ M( B　　今有粟，二千三百七十四斛，斛加三升。问：共粟几何？答曰：二千四百四十五斛二斗二升。
. {* p" c7 r0 @4 z' U% N# W( ?
　　术曰：置粟二千三百七十四斛，以一斛三升乘之，即得。

　　今有粟，三十六万九千九百八十斛七斗，在仓九年，年斛耗三升。问：一年、九年各耗几何？答曰：一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合，九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。
4 z& C4 _! v8 M8 \7 C. z3 d( g+ H, o
6 r+ c$ O1 S& M8 k3 a3 z8 S　　术曰：置三十六万九千九百八十斛七斗，以三升乘之，得一年之耗，又以九乘之，即九年之耗。

　　今有贷与人丝五十七筋，限岁出息一十六筋。问：筋息几何？答曰：四两五十七分两之二十八。

　　术曰：列限息丝一十六筋，以一十六两乘之，得二百五十六两，以贷丝五十七筋除之，不尽，约之，即得。

　　今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？答曰：一十五车，三十九人。
2 S" q7 I; A! X5 V' Z7 C- x* f* _  O
9 D5 R- ~% w1 [" J* E　　术曰：置二人以三乘之，得六，加步者九人，得车一十五，欲知人者，以二乘车，加九人即得。
4 A& a, o, Q- k# O; p
- ~/ {5 m8 T* E8 S3 V　　今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合，出与人买绢一匹，直粟三斛五斗七升。问：绢几何？答曰：三万六千一百一十七匹三丈六尺。

　　术曰：置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实，以三斛五斗七升为法，除之，得匹余四十之所得，又以法除之，即得。

　　今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”答曰：“六十人。”
4 b4 K) A) v0 V3 z# r# j
( w! ?+ U$ Z* ~! f# v' c# Q2 f　　术曰：置六十五杯，以十二乘之，得七百八十；以十三除之，即得。
7 K# r: V8 B! ^# ~! y, Y  d) i% T5 K! P
　　今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问：几何？答曰：六尺五寸。

: _6 E( u$ [% G  v+ ], [( |1 _　　术曰：置余绳四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸，倍之，得一丈一尺，减四尺五寸，即得。

　　今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问：米几何？答曰：六斗。

& y$ v. w; l; c# q! }3 U　　术曰：置余米一斗五升，以六乘之，得九斗；以二除之，得四斗五升；以四乘之，得一斛八斗；以三除之，即得。
- g1 l. z- n  D: k1 h8 f. }+ ~
, N+ Q+ v! h" f$ r* m　　今有黄金一筋直钱一十万。问：两直几何？答曰：六千二百五十钱。

; T6 {) D; v8 F% s4 {3 k/ E　　术曰：置钱一十万，以一十六两除之，即得。

& u  q4 T0 F# e" V! _$ _今有锦一匹，直钱一万八千。问：丈、尺、寸各直几何？答曰：丈四千五百钱，尺四百五十钱，寸四十五钱。
% k8 m& Z, f/ S
　　术曰：置钱一万八千，以四除之，得一丈之直；一退再退，得尺寸之直。
4 G2 o$ q0 t' l/ X! U4 m7 I+ q* u. q
9 {  K* |! H8 O4 C. O　　今有地，长一千步，广五百步，尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何？答曰：鹑一千八百万，鷃一亿八千万。

　　术曰：置长一千步，以广五百步乘之，得五十万；以三十六乘之，得一千八百万尺，即得鹑数；上十之，即得鷃数。
' Y2 i/ r5 R7 ~1 e% C9 R
* O: b; H- t, _. ^. o　　今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升。问：上、中、下口，共食几何？答曰：四千六百斛。

　　术曰：各置口数，以日食之数乘之，所得并之，即得。

. ?( l5 _4 f' X! N　　今有方物一束外周，一市有三十二枚。问：积几何？答曰：八十一枚。
) I' @( q7 l; H4 X* A
: p0 x* _  N+ {* P0 }/ m　　术曰：重置二位左位减八余加右位，至尽虚加一，即得。

　　今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺，别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问：竿长几何？答曰：四丈五尺。
6 [( q/ W. X$ J0 H; s, `; D! L# K
　　术曰：置竿影一丈五尺，以表长一尺五寸乘之，上十之，得二十二丈五尺，以表影五寸除之，即得。

　　今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？答曰：二十三。

: P! l( w7 R6 g6 P2 E! ]1 B5 \　　术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十五；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

3 z  h5 ?. g5 o5 k3 G, w- r0 g　　今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。
" S( t) V8 n, d- c( P3 I2 p
( A' W4 G; l  e　　术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。
) Q5 J$ c$ Z+ Q5 J
* H2 R$ ?1 C8 G' W5 m　　今有甲乙二人持钱，各不知数。甲得乙中半，可满四十八；乙得甲大半，亦满四十八。问：甲乙二人元持钱各几何？答曰：甲持钱三十六，乙持钱二十四。
( K* v8 o* \; p( x$ b2 x/ Z
3 b: g3 e9 T: Q1 E　　术曰：如方程求之，置二甲一乙钱九十六于右方，置二甲三乙钱一百四十四于左方，以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八钱；以左方二乘右方，上得四，中得二，下得九十六（案：近刻脱此十八字，今据术补。）；以右行再减左行，左上空，中余四，以为法，下余九十六钱，为实；上法下实，得二十四钱，为乙钱，以减右下九十六，余七十二为实，以右上二甲为法，上法下实，得三十六为甲钱也。

　　今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽。问：城中家几何？答曰：七十五家。

　　术曰：以盈不足取之，假令七十二家鹿不尽四，令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上，盈四于右下，置九十于左上，不足二十于左下，维乘之所得并为实，并盈不足为法，除之，即得。

. r& \% s. S* A) S! `8 G+ H& d8 @6 |　　今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四。主责本粟，三鸡主各偿几何？答曰：鸡雏主一百四十三，鸡母主二百八十六，鸡翁主五百七十二。

术曰：置粟一千一粒为实，副并三鸡所啄粟七粒为法，除之，得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数，递倍之，即得母、翁主所偿之数。
: h1 f6 b# b  I' s+ S1 X& Q
　　今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。
5 q  W! \" R! ~$ C- X
　　术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。
, Q% U; |+ N/ h: a' ]
　　又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
% x9 j2 w, ^0 Y/ R; k) N
　　今有九里渠，三寸鱼头，头相次。问：鱼得几何？答曰：五万四千。
% f4 t  d" U: F8 p
　　术曰：置九里以三百步乘之，得二千七百步；又以六尺乘之，得一万六千二百尺，上十之，得一十六万二千寸，以鱼三寸除之，即得。
7 s5 S2 W7 w( U. A
　　今有长安、洛阳相去九百里，车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安。问：轮匝几何？答曰：九万匝。

) ]; y/ {. K/ t6 P. x( A6 q  g　　术曰：置九百里以三百步乘之，得二十七万步，又以六尺乘之，得一百六十二万尺，以车轮一丈八尺为法，除之，即得。

  n% L- q- Y. W4 C* Z　　今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？答曰：木八十一枝，七百二十九巢，六千五百六十一禽，五万九千四十九雏，五十三万一千四百四十一毛，四百七十八万二千九百六十九色，四千三百四万六千七百二十一。
0 h! m% x0 [8 d, o+ q
　　术曰：置九堤以九乘之，得木之数；又以九乘之，得枝之数；又以九乘之，得巢之数；又以九乘之，得禽之数；又以九乘之，得雏之数；又以九乘之，得毛之数；又以九乘之，得色之数。

　　今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问：三女几何日相会？答曰：六十日。

! h4 o+ r3 ]8 C7 U3 ]　　术曰：置长女五日，中女四日，少女三日，于右方，各列一算于左方，维乘之，各得所到数。长女十二到，中女十五到，少女二十到，又各以归日乘到数，即得。
. Y, ], P/ u( x4 f- T* ]1 U
　　今有孕妇，行年二十九岁。难九月，未知所生？答曰：生男。
' w+ n  T3 p( R' R+ V# m) H% f& }
4 D" U% t% n2 {0 b+ Y1 _　　术曰：置四十九加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九。其不尽者，奇则为男，耦则为女。
( F+ p" r! H  M