4 Y& d5 C& ?( L& ^% \序
) t' \1 w% S3 k& M孙子算经
- E- w9 C1 @8 k% L( O《孙子算经》三卷，案《隋书·经籍志》有《孙子算经》二卷，不著其名，亦不著其时代。《唐书·艺文志》称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷。於孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》，因鸾所注更加辨论也。《隋书》论审度引《孙子算术》，蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分，本书乃作十忽为一丝，十丝为一毫。又论嘉量引《孙子算术》，六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。本书乃作十圭为一撮，十撮为一秒，十秒为一勺。考之夏侯阳《算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合。盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参差互见也。唐之选举，算学孙子、五曹共限一岁习肄，於後来诸算术中特为近古，第不知孙子何许人。朱彝尊《曝书亭集·五曹算经跋》云，相传其法出於孙武，然孙子别有《算经》，考古者存其说可尔。又有《孙子算经》跋云，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生数之文。次言乘除之法设为之数，十三篇中所云廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然胜。以是知此编非伪托也云云。合二跋观之，彝尊之意盖以为确出於孙武。今考书内设问有云，长安洛阳相去九百里。又云，佛书二十九章，章六十三字，则後汉明帝以後人语。孙武春秋末人，安有是语乎？旧本久佚。今从《永乐大典》所载裒集编次，仍为三卷。其甄、李二家之注则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。

* F+ |) b! T' K; E! Y
$ G5 z6 ~8 Z! R2 f6 O) e
原序

* G% J3 V5 r0 n( x4 |孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！
! l) m7 s) {0 a

9 t7 }2 u9 p  w, A  _7 E: {" \卷上
' _% h# A' g3 G  h" F  P
  Y1 u% V0 [* X5 g度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。
% T+ o" e4 M9 Y0 |* m6 t( n' K# h
! ]! i) w& _/ S% }　　称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一筋，三十筋为一钧，四钧为一石。

　　量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿粟百，斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穣粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。
7 ~0 M1 \. @! K! F: ~/ f; q$ ~. W
# h& v& ], }; l. `% \& E　　凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穣，万万穣曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。
5 A0 v3 ?5 e1 M9 p& r8 |
　　周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。
% A2 y5 q& Y7 W" X  Z3 ?3 t& g2 s
　　白银方寸重一十四两。

　　玉方寸重一十两。

7 s- `5 b" W: n* _　　铜方寸重七两半。
2 N1 W; i- D) j. b3 ?1 f5 `
0 T, k- u' r, B2 G$ u　　铅方寸重九两半。
/ y4 g& e! m5 Z4 `3 g8 Q  ^
　　铁方寸重七两。
4 v4 Q. i+ g  R" p; ~
　　石方寸重三两。
7 s( r. M8 m8 x1 T5 q
　　凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）
1 X. p* k( k6 l+ N" a& K4 m
　　凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。

　　凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

% f+ E4 j7 m5 p. w. J　　以粟求粝米，三之，五而一。

　　以粝米求粟，五之，三而一。
9 _' {3 c& A+ E9 F
0 B9 d8 {! H* X　　以粝米求饭，五之，二而一。

' t! @7 c+ u% t7 i+ C3 V　　以粟米求粝饭，六之，四而一。

　　以粝饭求粝米，二之，五而一。

　　以□米求饭，八之，四而一。
: R3 o' [& R  O; i3 n' x
　　十分减一者，以二乘二十除；减二者，以四乘二十除；减三者，以六乘二十除；减四者，以八乘二十除；减五者，以十乘二十除；减六者，以十二乘二十除；减七者，以十四乘二十除；减八者，以十六乘二十除；减九者，以十八乘二十除。
" d8 W. R* i1 \2 M0 Q5 W6 h) m
, R7 A" D, F' |2 p　　九分减一者，以二乘十八除。
$ @9 M# z% s1 L# r% w* @* p
- A6 P- g! Y* j- J8 K　　八分减一者，以二乘十六除。
! W7 V( j7 R/ t' t
　　七分减一者，以二乘十四除。
9 s3 j: E- w- L9 H% Z1 N6 l
　　六分减一者，以二乘十二除。
( m9 ~$ Q* V! _5 B* [# }! J0 N
　　五分减一者，以二乘十除。

　　九九八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。
* v2 c/ n. \9 J
　　术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱“上”字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作“头位”，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。
: ]+ Y, q- S: L4 l- _8 f
3 u+ ~$ a! ]( \& F. ]　　六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。

术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。
+ S: ~8 J/ }' L6 ]* |  b: }
　　八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。

　　七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。

7 l9 k: \& P2 Y; S9 u% T　　六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。

7 S! M- D6 j* B; q　　五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。
7 K' W" M) p7 \/ B$ u( K( }
　　四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。

　　三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。

　　二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。

　　一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。

　　右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。
/ C. ?9 D! i2 ~2 r" X, u$ B5 ^
) s0 ]$ q; q+ E' s　　八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。

　　七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。

　　六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。

. M6 s0 m2 ]& T5 x; k　　五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。
6 B5 D( b" T5 [% h
, B  s& T6 a, ~  _2 F　　四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得二百五十六。
) v  [4 m1 ^% w: B
　　三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。
" d  P: P! p% |- U; O3 _! @: ~) w/ U, X/ I
　　二八十六，自相乘，得二百五十六，二人分之，人得一百二十八。

　　一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。
0 f/ o% ~  s, `0 W2 {, R$ p
　　右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。

　　七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。
4 S' f; [% R: s+ k: Y1 T! n
　　六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。

+ D# J( V5 D: z7 U　　五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。
. ~) {: a; p& E% r
( H, M! o8 l6 p% m2 N% G* [" \　　四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。

　　三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。
, ?2 O5 |& t% A& C+ |# m
　　二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。

# |7 o* }) |- s* a8 l! K　　一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。
1 ?3 h; i$ N  ^: D8 N+ w0 W9 R. |  `
8 V" A6 d! M- G3 M1 v' q6 L4 e' \, b　　右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。

# `: v7 B6 N5 ]6 M* ?9 o/ g( ]8 H0 }　　六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。

3 r- Y$ q! k& F8 Y+ s　　五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。

+ g% s0 a* S/ a3 H　　四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。

　　三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

　　二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。

　　一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。
9 ^1 d, U3 n: G+ _- ?
$ o0 n4 c: }# m' M　　右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。

　　五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。
, B% h1 R  o( l! V+ O. R
4 Z' G( Q. |' x) o9 i$ G1 v# F! T$ l6 D　　四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。
2 m, x; Z+ M0 s; l- }& S
, \0 L. S, ~3 H% H　　三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。

2 z0 |" S5 Z2 n5 g" j# l　　二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。

4 {5 m8 K. O# a) _) N8 J0 H! e　　一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。

4 r0 m% h. k& \1 B; T　　右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。
: E% Q2 \6 ^" J. P7 @  j
" C" \' n# Z, E$ |　　四四一十六，自相乘，得二百五十六，四人分之，人得六十四。

　　三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。

　　二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。

　　一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。
3 E. u+ J" I, x( u$ n0 B
　　右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。

　　三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。

: B/ u8 b( e7 }7 W) R% j7 Y9 i　　二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。
( b5 x/ Q! Z, T2 u4 N; v& Z
　　一三如三，自相乘，得九，一人得九。
$ Y% m$ ], ^* Z  L  T

　右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

　　二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。

　　一二如二，自相乘，得四，一人得四。
8 q( W7 X% R; N7 S
　　右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。
$ U7 n3 \( F8 c. D/ e
　　一一如一，自相乘，得一，一乘不长。
) C. a  F) }+ x; m6 T! S
, q! s4 n; H8 l! B( O　　右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。

　　以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。
  \2 P; d8 r: e. }! d
　　以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。
# [1 W+ ~2 A3 ~. A
3 J0 q1 K2 S: B( {: h　　以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。
& c5 o1 U1 \4 H" V, I, W2 V
1 j' `  I6 v1 N( }4 r# H: l. [　　以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。

　　以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。
% O) H' s- i( b4 Y$ e0 W
3 E- _. y" i- _# A% ~　　以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人分之，得四千三百七十四。

: A; s" I9 H. T. W6 L; B　　以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。

　　以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。
0 W7 U6 w# m* N$ S2 B2 q. g
& h+ w0 {( w$ v　　以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。
) H! E- E5 q6 r$ F
　　以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二，一十一万八千九十八人分之，得三十五万四千二百九十四。
5 B% l% Z  A/ ]8 D" C
　　以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。
  P9 o4 \% S+ g! B8 L' ?
: w! T# p; j$ M8 u8 Z0 ?8 o- Q

卷中

今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。
( @# R) X2 I4 h6 n# o
8 `" }9 m) Y. M! `9 J' H  r9 n　　术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。
4 G" A; r$ Z" m& a$ {
　　今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。

7 k% a) N" U9 a; M0 d: s. h　　术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。
/ m9 Y- m  [! F; Y# \+ R5 Z
) @4 p0 [5 h9 O　　今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？答曰：四十五分之三十一。
# y" P% f: H2 L* y5 `
　　术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。

　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。
9 Y4 a0 i6 D. h2 v
　　术曰：置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘子，副并得六十三。置右为平实，母相乘得三十六，为法，以列数三乘未并者，及法等数，得九约讫，减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，各平于一十二分之七。

6 M4 O! ?% p& L5 V- e　　今有粟一斗。问：为粝米几何？答曰：六升。
& u- V# m6 e3 B9 m
" A7 T# @+ y" q# s　　术曰：置粟一斗十升，以粝米率三十乘之，得三百升为实，以粟率五十为法，除之，即得。

: v& \7 r" i; ?  M　　今有粟二斗一升。问：为稗米几何？答曰：一斗一升五十分升之一十七。

　　术曰：置粟数二十一升，以稗米率二十七乘之，得五百六十七升，为实；以粟率五十为法，除之不尽，以法而命分。
/ J; D8 o0 C: ~  x: O! c
　　今有粟四斗五升。问：为□米几何？答曰：二斗一升五分升之三。
# f# D- D1 m( ]0 |/ W
　　术曰：置粟四十五升，以二约□米率二十四，得一十二，乘之，得五百四十升，为实；以二约粟率，五十得二十五，为法，除之，不尽，以等数约之，而命分。

　　今有粟七斗九升。问：为御米几何？答曰：三斗三升一合八勺。
2 _1 M! \- K$ Q; k
3 N  n$ U7 J! J4 Q7 Q　　术曰：置七斗九升以御米率二十一乘之，得一千六百五十九，为实，以粟率五十除之，即得。

　　今有屋基，南北三丈，东西六丈，欲以砖瓦砌之，凡积二尺，用砖五枚。问：计几何？答曰：四千五百枚。
2 L6 J. \  ?3 N( Q9 r4 I+ D" a
　　术曰：置东西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺；以五乘之，得九千尺；以二除之，即得。
; w8 T6 y$ h2 a3 ~; [# W! x: l
　　今有圆窖，下周二百八十六尺，深三丈六尺。问：受粟几何？答曰：一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

　　术曰：置周二百八十六尺，自相乘得八万一千七百九十六尺，以深三丈六尺乘之，得二百九十四万四千六百五十六；以一十二除之，得二十四万五千三百八十八尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

　　今有方窖，广四丈六尺，长五丈四尺，深三丈五尺。问：受粟几何？答曰：五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。
2 T# v* u' _* `6 t: i3 `* p0 [
　　术曰：置广四丈六尺，长五丈四尺，相乘得二千四百八十四尺；以深三丈五尺乘之，得八万六千九百四十尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。
. @# @$ f$ I) J0 o, h2 J9 f

今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺。问：受粟几何？答曰：二千七百斛。
, v, n9 M' b' y
　　术曰：先置周五丈四尺相乘，得二千九百一十六尺，以深一丈八尺乘之，得五万二千四百八十八尺；以一十二除之，得四千三百七十四尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

　　今有圆田周三百步，径一百步。问：得田几何？答曰：三十一亩，奇六十步。
, ~# [; J5 I8 H) A9 J6 n
! U8 s- I# n% F- n, N5 o　　术曰：先置周三百步，半之，得一百五十步；又置径一百步半之，得五十步，相乘，得七千五百步，以亩法二百四十步除之，即得。

4 D" V) g) ^1 _% V　　又术曰：周自相乘，得九万步，以十二除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。

　　又术曰：径自乘，得一万，以三乘之，得三万步，四除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。
( l% Q4 ~/ _1 l0 h& X3 L
　　今有方田桑生中央，从角至桑，一百四十七步。问：为田几何？答曰：一顷八十三亩，奇一百八十步。

　　术曰：置角至桑一百四十七步，倍之，得二百九十四步，以五乘之，得一千四百七十步，以七除之，得二百一十步，自相乘，得四万四千一百步，以二百四十步除之，即得。

9 x( I6 t* J9 }, F5 w' G' ^　　今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚。问：得几何？答曰：二百一十六枚。

　　术曰：置方三尺，自相乘，得九尺，以高三尺乘之，得二十七尺，以一尺木八枕乘之，即得。
% U2 b! T; z( A: V9 A! R8 `
6 _! w' W  l5 I$ |* H1 R　　今有索，长五千七百九十四步，以四除之，得一千四百四十八步，余二步，以六因之，得一丈二尺，以四除之，得三尺，通计即得。
  K5 j$ e$ j4 F# Y" p6 F% o
　　今有堤，下广五丈，上广三丈，高二丈，长六十尺，欲以一千尺作一方。问：计几何？答曰：四十八方。

　　术曰：置堤，上广三丈，下广五丈。并之，得八丈；半之，得四丈。以二丈乘之，得八百尺；以长六十尺乘之，得四万八千；以一千尺除之（案：原本讹作乘，今改正。），即得。

　　今有沟，广十丈，深五丈，长二十丈，欲以千尺作一方。问：得几何？答曰：一千方。

! k6 _0 _) ?  s4 Z　　术曰：置广一十丈，以深五丈乘之，得五千尺，又以长二十丈乘之，得一百万尺，以一千除之，即得。
% x, M% K$ }* X# A* T' Z
  Z& M* y! G$ E+ S5 B4 H0 d4 b2 H　　今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
# c% a' i6 x# a5 S3 V4 R* i
& R1 y6 D8 }4 V7 E# P) U* S) A  {+ O　　术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上（案：上商原本脱上字，今补。），副置四万于实之下。下法之商，名为方法；命上商四百除实，除讫，倍方法，方法一退（案：原本脱方法二字，今补。），下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法；方廉各命上商八十以除实（案：原本脱实字，今补。），除讫（案：原本脱除字，今补。），倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除实，除讫，倍隅法，从方法（案：原本讹此六字，今据术补。），上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
9 ?; r5 g) b# ~" \, E6 ^
　　今有积，三万五千步。问为圆几何？答曰：六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：六分步原本讹作七分，脱步字，今补正。）
4 j+ E2 }# Q/ D4 c
　　术曰：置积三万五千步以一十二乘之，得四十二万，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止，上商置六百于实之上，副置六万于实之下。下法之上，名为方法，命上商六百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商四十以次前商，副置四百于方法之下。下法之上，名为廉法，方廉各命上商四十以除实（案：原本脱四十二字，今补。），除讫，倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商八次前商，副置八于方法之下。下法之上，名为隅法，方廉隅各命上商八以除实，除讫，倍隅法，从方法，上商得六百四十八（案：原本脱得字，今补。），下法得一千二百九十六（案：六原本讹作七，今改正。），不尽九十六，是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：九十六分原本讹作九十七分，今改正。）
8 v5 u% \/ A9 t# }" K/ E( s3 i
　　今有邱田周六百三十九，步径三百八十步。问：为田几何？答曰：二顷五十二亩二百二十五步。

* N: X5 R* `6 J) ?# m& O0 p　　术曰：半周得三百一十九步五分半径，得一百九十步二位相乘，得六万七百五步，以亩法除之，即得。

今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：二万六千一十一功。

　　术曰：并上下广，得七十四尺，半之，得三十七尺，以高乘之，得一千四百六尺，又以长乘之，得积七百八十万三千三百尺，以秋程人功三百尺除之，即得。
9 b$ Z& |  v8 o8 E; r
5 F, T2 Y/ B$ W　　今以穿渠长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺深一丈八尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：三万二千六百四十五功（案：原本讹作三万二百六十五人，今据术改正。），不尽六十九尺六寸。

　　术曰：置里数以三百步乘之，内零步，六之，得五万二千八百二十四尺，并上下广，得二丈六寸，半之，以深乘之，得一百八十五尺四寸，以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸，以人功三百尺除之，即得。
6 x& x( j5 o% D6 m) p
　　今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分，分之八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问：三种各得几何？答曰：二分人得钱二十二，三分人得钱三十三，四分人得钱四十四。

　　术曰：先置八十一人于上，七十二人次之，六十三人在下，头位以二乘之，得一百六十二，次位以三乘之，得二百一十六，下位以四乘之，得二百五十二，副并三位，得六百三十为法。又置钱六千九百三十为三位头位，以一百六十二乘之，得一百一十二万二千六百六十，又以二百一十六乘中位，得一百四十九万六千八百八十，又以二百五十二乘下位，得一百七十四万六千三百六十，各为实以法，六百三十各除之，头位得一千七百八十二，中位得二千三百七十六，下位得二千七百七十二，各以人数除之，即得。

　　今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗。问：五人各得几何？答曰：公一十八颗，侯一十五颗，伯一十二颗，子九颗，男六颗。

. w7 G+ z+ U% m2 O  o　　术曰：先置人数别加三颗于下，次六颗，次九颗，次一十二颗，上十五颗，副并之，得四十五，以减六十颗，余人数除之，得人三颗，各加不并者，上得一十八颗为公分，次得一十五为侯分，次得一十二为伯分，次得九为子分，下得六为男分。

　　今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱半以益我钱成九十。乙复语甲丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成七十。丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六。问：三人元持钱各若干？答曰：甲七十二，乙三十二，丙四。
' @# `5 O+ t8 I9 @* N! o
. C* j$ \8 W2 S1 p" i1 R　　术曰：先置三人所语为位，以三乘之，各为积，甲得二百七十，乙得二百一十，丙得八十四，又置甲九十，乙七十，丙五十六，各半之，以甲乙减丙，以甲丙减乙，以乙丙减甲，即各得元数。
5 x% r: A8 ~! H
4 M9 n( V9 r; x. F3 X# [; ?! X# O$ u　　今有女子善织，日自倍，五日织通五尺。问：日织几何？答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九，次日织三寸三十一分寸之七，次日织六寸三十一分寸之一十四，次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
4 K1 W! O7 I* f6 s6 l4 O: e
1 W; C- H6 E: ~4 ~$ i) ]4 A　　术曰：各置列衰副，并得三十一为法，以五尺乘并者，各自为实，实如法而一，即得。

/ P: A" C& h7 P( H　　今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？答曰：贼一十三人，绢八十四匹。
! i- ~7 }& i3 _
　　术曰：先置人得六匹于右上，盈六匹于右下，后置人得七匹于左上，不足七匹于左下，维乘之所得，并之为绢，并盈不足为人。

卷下
. Z% @, Z6 V9 [
" l0 L0 |3 d' S1 U8 ~/ H今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租，甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛，凡九家，共输租一千斛，僦运直折二百斛外。问：家各几何？答曰：甲二十八斛，乙三十六斛八斗，丙四十五斛六斗，丁五十四斛四斗，戊六十三斛二斗，己六十四斛，庚八十斛，辛一百六十八斛，壬二百六十斛。
8 D5 g# X6 f7 g3 |4 \/ ?: A) y
　　术曰：置甲出三十五斛，以四乘之，得一百四十斛；以五除之，得二十八斛。乙出四十六斛，以四乘之，得一百八十四斛；以五除之，得三十六斛八斗。丙出五十七斛，以四乘之，得二百二十八斛；以五除之，得四十五斛六斗。丁出六十八斛，以四乘之，得二百七十二斛；以五除之，得五十四斛四斗。戊出七十九斛，以四乘之，得三百一十六斛；以五除之，得六十三斛二斗。己出八十斛，以四乘之，得三百二十斛；以五除之，得六十四斛。庚出一百斛，以四乘之，得四百斛；以五除之，得八十斛。辛出二百一十斛，以四乘之，得八百四十斛；以五除之，得一百六十八斛。壬出三百二十五斛，以四乘之，得一千三百斛；以五除之，得二百六十斛。

　　今有丁一千五百万，出兵四十万。问：几丁科一兵？答曰：三十七丁五分。
) f3 L' r! N5 p+ n2 F
　　术曰：置丁一千五百万为实，以兵四十万为法，实如法，即得。

+ s/ N+ f6 |% ^+ T5 z　　今有平地聚粟，下周三丈六尺，高四尺五寸。问：粟几何？答曰：一百斛。
( P! a1 E& A: G7 m7 N& E& I
- }8 @$ ^- e+ ~　　术曰：置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺，以高四尺五寸，乘之，得五千八百三十二尺，以三十六除之，得一百六十二尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。
+ c/ p  R% N, g# L
& S) K7 c7 h9 {0 j- ~' ^　　今有佛书，凡二十九章，章六十三字。问：字几何？答曰：一千八百二十七。

: O: U, s  _0 s; n! L5 w- h2 w　　术曰：置二十九章，以六十三字，乘之，即得。

　　今有棋局，方一十九道。问：用棋几何？答曰：三百六十一。

4 Y! x: H/ \9 @0 K3 y. ?4 q　　术曰：置一十九道，自相乘之，即得。
9 i0 d; x; ]' |9 N
% I8 b  y% N" t  A　　今有租，九万八千七百六十二斛，欲以一车载五十斛。问：用车几何？答曰：一千九百七十五乘奇一十二斛。

: `- o! z. `0 q6 b' l　　术曰：置租九万八千七百六十二斛为实，以一车所载五十斛为法。实如法，即得。

8 ^' q8 k- K) \$ \# a　　今有丁九万八千七百六十六，凡二十五丁出一兵。问：兵几何？答曰：三千九百五十人奇一十六丁。
2 {4 c9 o9 r4 ?: P
7 W1 S  i" n5 r1 C- e　　术曰：置丁九万八千七百六十六为实，以二十五为法。实如法，即得。
+ b& {) o; s% l- z0 p' y+ @. X
  h1 W$ P. e8 M8 m　　今有绢，七万八千七百三十二匹，令一百六十二人分之。问：人得几何？答曰：四百八十六匹。

　　术曰：置绢七万八千七百三十二匹为实，以一百六十二人为法。实如法，即得。

1 W$ k! n4 R* s4 O5 {1 B今有绵，九万一千一百三十五筋，给与三万六千四百五十四户。问：户得几何？答曰：二筋八两。

2 z6 A. l) Q- ], `/ x  C) N　　术曰：置九万一千一百三十五筋，为实；以三万六千四百五十四户，为法。除之，得二筋，不尽一万八千二百二十七筋，以一十六乘之，得二十九万一千六百三十二两，以户除之，即得。
1 X7 [5 g( [* q! O7 \
　　今有粟，三千九百九十九斛九斗六升，凡粟九斗易豆一斛。问：计豆几何？答曰：四千四百四十四斛四斗。

* J5 g! D7 d5 y+ V2 _7 k& M　　术曰：置粟三千九百九十九斛九斗六升为实，以九斗为法。实如法，即得。

6 N/ G8 W& h& e# O　　今有粟，二千三百七十四斛，斛加三升。问：共粟几何？答曰：二千四百四十五斛二斗二升。

4 w4 t9 L: b% u3 N1 p　　术曰：置粟二千三百七十四斛，以一斛三升乘之，即得。
2 f) N9 P/ i$ h$ y
　　今有粟，三十六万九千九百八十斛七斗，在仓九年，年斛耗三升。问：一年、九年各耗几何？答曰：一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合，九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。

　　术曰：置三十六万九千九百八十斛七斗，以三升乘之，得一年之耗，又以九乘之，即九年之耗。

! a% n9 n5 S0 S1 q- e) z* r' b+ H　　今有贷与人丝五十七筋，限岁出息一十六筋。问：筋息几何？答曰：四两五十七分两之二十八。
  N0 O) k$ ?3 n  o" M9 n
& h% k  A0 ~/ U/ s　　术曰：列限息丝一十六筋，以一十六两乘之，得二百五十六两，以贷丝五十七筋除之，不尽，约之，即得。

- ^3 j7 h1 |# c+ A( m　　今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？答曰：一十五车，三十九人。
, Y# [8 P6 `: q: m& `  K
3 _% V! y/ @4 S4 ?, F6 S4 n! t　　术曰：置二人以三乘之，得六，加步者九人，得车一十五，欲知人者，以二乘车，加九人即得。
% u( V, V" T6 ?  @6 m
　　今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合，出与人买绢一匹，直粟三斛五斗七升。问：绢几何？答曰：三万六千一百一十七匹三丈六尺。

+ O- e/ y  C8 j: e' t, d* {　　术曰：置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实，以三斛五斗七升为法，除之，得匹余四十之所得，又以法除之，即得。

　　今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”答曰：“六十人。”
. X  `% L. r  s$ I7 l2 P: `" w
, @2 s: s/ G+ I. U　　术曰：置六十五杯，以十二乘之，得七百八十；以十三除之，即得。
0 L( C0 p0 c3 D" f3 a& n! l1 [4 |% a7 B; s
　　今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问：几何？答曰：六尺五寸。

　　术曰：置余绳四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸，倍之，得一丈一尺，减四尺五寸，即得。

　　今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问：米几何？答曰：六斗。
+ W# H% D0 E! ~% J4 ]4 D
7 W& v) |+ K: p7 l. F5 Z( `, s7 o　　术曰：置余米一斗五升，以六乘之，得九斗；以二除之，得四斗五升；以四乘之，得一斛八斗；以三除之，即得。

　　今有黄金一筋直钱一十万。问：两直几何？答曰：六千二百五十钱。
) J% |, m; N6 f' E, m- a0 _0 N& c
4 j; H( y* S+ N, `' H　　术曰：置钱一十万，以一十六两除之，即得。

今有锦一匹，直钱一万八千。问：丈、尺、寸各直几何？答曰：丈四千五百钱，尺四百五十钱，寸四十五钱。

  y. N* _. `  j% X. _　　术曰：置钱一万八千，以四除之，得一丈之直；一退再退，得尺寸之直。
7 S' V5 l' F7 x5 M# r3 Q$ b6 i; Z
9 {  Q: [. b2 `# o3 x+ M　　今有地，长一千步，广五百步，尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何？答曰：鹑一千八百万，鷃一亿八千万。

# G" ^; y  m' S2 z# i$ D# o　　术曰：置长一千步，以广五百步乘之，得五十万；以三十六乘之，得一千八百万尺，即得鹑数；上十之，即得鷃数。
# e3 x: h: b, o2 ^
　　今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升。问：上、中、下口，共食几何？答曰：四千六百斛。

0 d# H7 f. O3 ?* T/ C5 y( b　　术曰：各置口数，以日食之数乘之，所得并之，即得。

! Z7 Y2 }: L1 _2 S  ^2 p8 u　　今有方物一束外周，一市有三十二枚。问：积几何？答曰：八十一枚。

+ d2 C5 j& N- L' Y6 w& f　　术曰：重置二位左位减八余加右位，至尽虚加一，即得。

% D' e' j; i; C　　今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺，别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问：竿长几何？答曰：四丈五尺。

　　术曰：置竿影一丈五尺，以表长一尺五寸乘之，上十之，得二十二丈五尺，以表影五寸除之，即得。
" X  p& ~) Y6 a4 Q# l5 e
5 D  b: `+ ~3 u# L9 ~0 T　　今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？答曰：二十三。

6 Q* U1 a  k4 g$ \　　术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十五；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。
1 J! _1 x& K; R9 V( \0 G
1 E7 c6 K# e4 F5 t1 |2 l　　今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。
4 W7 e8 n# C1 t% `
　　术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。

: a7 x1 l( b# Q5 E　　今有甲乙二人持钱，各不知数。甲得乙中半，可满四十八；乙得甲大半，亦满四十八。问：甲乙二人元持钱各几何？答曰：甲持钱三十六，乙持钱二十四。

　　术曰：如方程求之，置二甲一乙钱九十六于右方，置二甲三乙钱一百四十四于左方，以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八钱；以左方二乘右方，上得四，中得二，下得九十六（案：近刻脱此十八字，今据术补。）；以右行再减左行，左上空，中余四，以为法，下余九十六钱，为实；上法下实，得二十四钱，为乙钱，以减右下九十六，余七十二为实，以右上二甲为法，上法下实，得三十六为甲钱也。
6 ?5 W- i1 m" _+ i
; |* n: ]7 i8 q2 Y  j/ [　　今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽。问：城中家几何？答曰：七十五家。
9 m/ w% j0 K$ X% n
: s1 U$ n2 _8 K0 K% e% h　　术曰：以盈不足取之，假令七十二家鹿不尽四，令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上，盈四于右下，置九十于左上，不足二十于左下，维乘之所得并为实，并盈不足为法，除之，即得。

8 }4 l! M$ Y! z: U% _; U　　今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四。主责本粟，三鸡主各偿几何？答曰：鸡雏主一百四十三，鸡母主二百八十六，鸡翁主五百七十二。

术曰：置粟一千一粒为实，副并三鸡所啄粟七粒为法，除之，得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数，递倍之，即得母、翁主所偿之数。
0 F. M# D8 }: ]; d5 P$ [5 \" Y3 K
　　今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。
$ U) O! J( d3 h6 T( C9 p6 A$ |
6 d8 {' D3 `, U3 {! u& q　　术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。

0 |3 m5 e' J" |! y" p( J, i　　又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
% @9 n- n! ]- H6 M/ A$ e( t
6 i8 l+ P$ p% k: n8 e' H" e　　今有九里渠，三寸鱼头，头相次。问：鱼得几何？答曰：五万四千。
" P5 \  P0 c; T5 b* O
　　术曰：置九里以三百步乘之，得二千七百步；又以六尺乘之，得一万六千二百尺，上十之，得一十六万二千寸，以鱼三寸除之，即得。
; m+ z# C) u3 |) |* {
; {+ J0 K# Q' [! r　　今有长安、洛阳相去九百里，车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安。问：轮匝几何？答曰：九万匝。

" J, Z8 q+ a" F+ ^$ J/ ~; F, |( C　　术曰：置九百里以三百步乘之，得二十七万步，又以六尺乘之，得一百六十二万尺，以车轮一丈八尺为法，除之，即得。

　　今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？答曰：木八十一枝，七百二十九巢，六千五百六十一禽，五万九千四十九雏，五十三万一千四百四十一毛，四百七十八万二千九百六十九色，四千三百四万六千七百二十一。

/ s1 [, X" s; q, U/ N　　术曰：置九堤以九乘之，得木之数；又以九乘之，得枝之数；又以九乘之，得巢之数；又以九乘之，得禽之数；又以九乘之，得雏之数；又以九乘之，得毛之数；又以九乘之，得色之数。

　　今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问：三女几何日相会？答曰：六十日。

　　术曰：置长女五日，中女四日，少女三日，于右方，各列一算于左方，维乘之，各得所到数。长女十二到，中女十五到，少女二十到，又各以归日乘到数，即得。
& d, G$ \2 U7 U; N9 x
　　今有孕妇，行年二十九岁。难九月，未知所生？答曰：生男。
1 r$ {3 M+ T1 C1 M6 x, b
　　术曰：置四十九加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九。其不尽者，奇则为男，耦则为女。