序
孙子算经
' s! |! {9 ~+ x2 M: g& W9 x/ s《孙子算经》三卷，案《隋书·经籍志》有《孙子算经》二卷，不著其名，亦不著其时代。《唐书·艺文志》称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷。於孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》，因鸾所注更加辨论也。《隋书》论审度引《孙子算术》，蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分，本书乃作十忽为一丝，十丝为一毫。又论嘉量引《孙子算术》，六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。本书乃作十圭为一撮，十撮为一秒，十秒为一勺。考之夏侯阳《算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合。盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参差互见也。唐之选举，算学孙子、五曹共限一岁习肄，於後来诸算术中特为近古，第不知孙子何许人。朱彝尊《曝书亭集·五曹算经跋》云，相传其法出於孙武，然孙子别有《算经》，考古者存其说可尔。又有《孙子算经》跋云，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生数之文。次言乘除之法设为之数，十三篇中所云廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然胜。以是知此编非伪托也云云。合二跋观之，彝尊之意盖以为确出於孙武。今考书内设问有云，长安洛阳相去九百里。又云，佛书二十九章，章六十三字，则後汉明帝以後人语。孙武春秋末人，安有是语乎？旧本久佚。今从《永乐大典》所载裒集编次，仍为三卷。其甄、李二家之注则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。
7 s9 s1 p- c* w; _: j: V
1 _5 f4 `5 }( a1 v( s

原序
- ?: M0 h6 y" c: S1 S1 z8 O
; a9 C5 [' H: U' H, ]孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！

! a1 R8 Z# `- E' Z
; C) [7 B0 w' W1 P* G( F/ C2 ~3 {

9 t6 v0 U! H' E" Z卷上

度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。
" s7 o+ i  i5 @1 G/ D
　　称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一筋，三十筋为一钧，四钧为一石。

- e; n8 F# q6 N2 i7 _; N　　量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿粟百，斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穣粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。

　　凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穣，万万穣曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。

　　周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。

! ~2 n* @5 c  z- y! G9 u4 V' U! Q' A　　白银方寸重一十四两。

  ~1 u7 k; ^9 W2 G　　玉方寸重一十两。
7 u! j* x4 l- a) K) r; F
) W3 A( w6 O5 t/ h6 i/ i; E2 q　　铜方寸重七两半。
; o0 g7 Q/ F+ {- ?7 l& A
　　铅方寸重九两半。
: G3 c+ @* L4 j6 l. |" q; z
　　铁方寸重七两。

$ t$ r, {0 {& P5 s　　石方寸重三两。
& `- B, O% p' w/ w+ V2 G6 G  l0 a
# R  _: y$ J6 Y$ r( o2 ?　　凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）

0 G! J4 P# A+ t& j　　凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。
! ^. G1 H" J3 I! `* @
, {! r) E, ?) l: @; n" x6 [8 Y9 w　　凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

　　以粟求粝米，三之，五而一。

9 i; {4 U: D2 ^' O: T7 S　　以粝米求粟，五之，三而一。
. h: _. n; T/ ?# T1 _+ x" Q  |
. ?0 f$ ^8 [' \+ w3 g　　以粝米求饭，五之，二而一。

　　以粟米求粝饭，六之，四而一。

　　以粝饭求粝米，二之，五而一。

　　以□米求饭，八之，四而一。
3 R3 W$ u. _* y! p9 b0 w
　　十分减一者，以二乘二十除；减二者，以四乘二十除；减三者，以六乘二十除；减四者，以八乘二十除；减五者，以十乘二十除；减六者，以十二乘二十除；减七者，以十四乘二十除；减八者，以十六乘二十除；减九者，以十八乘二十除。
7 `2 f! {5 K7 g) \
. Y& @2 z9 F2 ?; O; Y" x) s　　九分减一者，以二乘十八除。
7 V* U7 o3 n4 K$ d3 }/ h
　　八分减一者，以二乘十六除。
1 I$ }, h% m9 a  w7 X0 t
' r! |1 R, h& Z% h　　七分减一者，以二乘十四除。
5 b& [5 b1 }2 n3 H$ N$ x$ J
　　六分减一者，以二乘十二除。

1 U3 y4 N# [7 Z5 z; l, ^- V/ V　　五分减一者，以二乘十除。
1 S8 ?6 _$ n. b" _$ U8 ]
　　九九八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。

1 f8 K5 m& b, @6 B　　术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱“上”字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作“头位”，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。

1 }2 g+ Z: q4 t& Y& f8 g/ q　　六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。

术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。
5 [1 ~9 q6 ^% I! Z
' {3 N8 X- p0 |1 |; [; b- Z$ F　　八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。
+ ], O, m$ u* u4 o, E" J5 i4 Q
　　七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。
7 C, Z: i6 U; I( H$ _* u3 [
　　六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。

: t' b4 s2 e6 ?2 S　　五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。

　　四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。

+ W8 C9 M; Q* }　　三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。
7 {6 w9 Y0 U% D8 ^3 n) o" @
" Z, a& c0 i: s# D2 I( n0 c- ^: I　　二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。
/ G8 Y  k4 J; o5 P
　　一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。
$ ]+ I3 _7 p- t+ D: G$ S
' D8 D) v7 S! e, d/ ~1 g　　右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。
( D! X5 i: y7 j1 Z( d
; n" c# R9 {' v+ Q) Q0 C　　八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。
3 I; L$ T; Z& c0 z
　　七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。

1 ^! m# Z8 }# D+ s　　六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。

　　五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。

: K0 v9 [0 d4 E7 W　　四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得二百五十六。

　　三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。

　　二八十六，自相乘，得二百五十六，二人分之，人得一百二十八。
, C+ {; E8 Y- e* }9 [7 t( }- Z/ T, i
# D8 v4 B$ @7 Y8 k　　一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。

: s' s) \9 v5 x" ?　　右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。
1 t7 X) ]# C' g2 r1 H1 k
$ x& A* H' \$ {5 ~7 r　　七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。

1 J8 X" N/ s: _8 q& q　　六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。
, H% ^" d+ c! X/ B; s3 P; D
! _3 e0 |8 i" A: e2 L/ K: {% J* n% D　　五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。
! h2 E; f) q4 Q9 D/ M" a& R* K7 L
　　四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。
( B4 S9 B9 w3 {5 B% M& |
　　三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。

  S9 X* M1 f3 G0 e　　二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。
5 w! Z9 ]7 |0 m% c& Y: L: w
2 h& k+ G8 e. O　　一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。
3 [8 f$ K) H0 y- c+ G
　　右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。
" x( U) Z% y: ~: d
　　六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。

　　五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。
; z$ o) T7 J, i8 @
　　四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。
! n" i% z8 Z  B
6 _9 z1 W3 b: O: F1 z+ a9 z& d/ b　　三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。
" J: s" W- m- y' ]! w5 k3 ^
' l9 J. r: r# M* X) f　　二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。

　　一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。
$ E" d# S& d/ W% Q5 a9 i
　　右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。
# B2 E- S, U& |; ?; X8 i0 k
　　五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。

8 b. {( r6 `( d$ ]/ C　　四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。

6 ^( z* m4 J( i- A5 J- T! ~2 V　　三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。
) v1 g' f$ F" D4 B
! g: @4 H9 z! j3 Y3 y　　二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。
; V& L4 ^8 D2 o6 h, R
6 _2 Y6 c' E' T+ S8 I2 Z% u+ ?　　一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。

" L; G# H; F6 q& U; L　　右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。

　　四四一十六，自相乘，得二百五十六，四人分之，人得六十四。
( a5 Y) F7 m* a$ }; z
　　三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。

! J. |% M" Z" W) [+ I　　二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。

　　一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。

　　右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。
* J# `$ A% F" T, J6 `! O2 G- Q% l
　　三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。
6 }/ O  B" @( y& O$ M# U$ e
　　二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

　　一三如三，自相乘，得九，一人得九。

　右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

2 g* @" R; b( I) t% l; T　　二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。
& e/ K. {, _# Y$ v- b
3 f) u& H+ g. v& k6 j+ x　　一二如二，自相乘，得四，一人得四。
5 y& D- i4 Z6 I0 N( V$ h
　　右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。
- n; m/ |) q* [7 N$ C# p0 H$ W
6 }9 w$ b5 @+ @2 N8 Z. M) r　　一一如一，自相乘，得一，一乘不长。

　　右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。

: h1 W! d: V  u' Q, s, c3 P　　以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。
2 ]* d. f0 i' d! s  d1 b/ r% N$ n7 z
9 |* k* ]! K  V4 q　　以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。

　　以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。
" v& K* R% Q7 `/ o8 [+ G7 @( b
. O7 e% M+ c7 _% [0 k' T# P( i* @# ?: E　　以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。

9 T! X) W% L; A& g5 M% ?: M  ]　　以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。

4 n& _. g& L4 j6 U　　以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人分之，得四千三百七十四。

　　以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。
& g% G, i# E3 K: g0 [" R" J  a" D
　　以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。

% f- h( s8 R8 N' l' b! ^　　以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。
# X  s4 w  N* `$ D  O+ _2 z
, \9 w/ I$ {/ J+ L- j3 O/ U　　以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二，一十一万八千九十八人分之，得三十五万四千二百九十四。
" q3 H3 A: e3 g, |
　　以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。

卷中

1 L9 g" _. Y9 P2 z% s4 `0 s今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。

/ a8 F6 i7 B& }* h　　术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。
9 @& u1 b8 b4 p4 h
　　今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。

1 b7 h' {: Y) Y9 ^3 s' B　　术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。

7 T0 J  ?) G3 V! Z% k6 H# P6 O　　今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？答曰：四十五分之三十一。

　　术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。

+ \: F3 |+ @; p　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。

4 p2 {5 q$ k% z. e　　术曰：置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘子，副并得六十三。置右为平实，母相乘得三十六，为法，以列数三乘未并者，及法等数，得九约讫，减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，各平于一十二分之七。

- N/ Z- r8 H3 F5 f  I$ D7 f: m' y　　今有粟一斗。问：为粝米几何？答曰：六升。
4 r# p* y" H' V, x9 b
, d6 G! G3 F1 ]# f　　术曰：置粟一斗十升，以粝米率三十乘之，得三百升为实，以粟率五十为法，除之，即得。
9 P: k. ?9 P/ t! j* h, m, Q
　　今有粟二斗一升。问：为稗米几何？答曰：一斗一升五十分升之一十七。

- ^: |4 U2 M! A5 I. K/ k, {' c　　术曰：置粟数二十一升，以稗米率二十七乘之，得五百六十七升，为实；以粟率五十为法，除之不尽，以法而命分。
1 h  i; u- _4 b0 {$ _
　　今有粟四斗五升。问：为□米几何？答曰：二斗一升五分升之三。
# d& H! A- W0 R' w' Y( M  p; ?+ k
8 ^- M" Y, X* H! ]　　术曰：置粟四十五升，以二约□米率二十四，得一十二，乘之，得五百四十升，为实；以二约粟率，五十得二十五，为法，除之，不尽，以等数约之，而命分。

　　今有粟七斗九升。问：为御米几何？答曰：三斗三升一合八勺。

　　术曰：置七斗九升以御米率二十一乘之，得一千六百五十九，为实，以粟率五十除之，即得。
! }6 w7 }7 C' T
　　今有屋基，南北三丈，东西六丈，欲以砖瓦砌之，凡积二尺，用砖五枚。问：计几何？答曰：四千五百枚。
& p+ U1 B. n2 c  S5 E
+ W2 \0 M" u/ ?; b+ b5 d& T　　术曰：置东西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺；以五乘之，得九千尺；以二除之，即得。

* W! v: e1 B' p7 ~　　今有圆窖，下周二百八十六尺，深三丈六尺。问：受粟几何？答曰：一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

" C* v4 Q; a6 Q3 G/ A5 q$ ]- D　　术曰：置周二百八十六尺，自相乘得八万一千七百九十六尺，以深三丈六尺乘之，得二百九十四万四千六百五十六；以一十二除之，得二十四万五千三百八十八尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

1 M. j7 s4 F- t* H3 b+ E' X8 w6 I5 l　　今有方窖，广四丈六尺，长五丈四尺，深三丈五尺。问：受粟几何？答曰：五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。

　　术曰：置广四丈六尺，长五丈四尺，相乘得二千四百八十四尺；以深三丈五尺乘之，得八万六千九百四十尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。
! M. \3 p# U2 i$ [, Y0 `

今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺。问：受粟几何？答曰：二千七百斛。

4 l* o7 O+ o# I: k& h- H3 \/ v$ C1 a　　术曰：先置周五丈四尺相乘，得二千九百一十六尺，以深一丈八尺乘之，得五万二千四百八十八尺；以一十二除之，得四千三百七十四尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

# k% q( z9 C3 F0 d! z8 }　　今有圆田周三百步，径一百步。问：得田几何？答曰：三十一亩，奇六十步。
' {1 ?6 ^+ Q& N. C/ `' r( [& V/ Q& V
/ K$ E9 u7 S4 W  @7 c+ J8 ^. g( B/ d　　术曰：先置周三百步，半之，得一百五十步；又置径一百步半之，得五十步，相乘，得七千五百步，以亩法二百四十步除之，即得。
& O% E( D9 D& M" Z5 V. M; S% @
' O4 _8 |$ Q& w& B6 A　　又术曰：周自相乘，得九万步，以十二除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。

# d; J4 j: z) M　　又术曰：径自乘，得一万，以三乘之，得三万步，四除之，得七千五百步，以亩法除之，得亩数。
$ g1 `! c3 r9 N* n
, C& M6 ?) W' w　　今有方田桑生中央，从角至桑，一百四十七步。问：为田几何？答曰：一顷八十三亩，奇一百八十步。

　　术曰：置角至桑一百四十七步，倍之，得二百九十四步，以五乘之，得一千四百七十步，以七除之，得二百一十步，自相乘，得四万四千一百步，以二百四十步除之，即得。
* K5 b, g# ^1 q4 k0 f6 m. P2 G
　　今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚。问：得几何？答曰：二百一十六枚。
  }6 p% J6 g: M! u! X
　　术曰：置方三尺，自相乘，得九尺，以高三尺乘之，得二十七尺，以一尺木八枕乘之，即得。

! C1 f* z) ~2 b) i, W　　今有索，长五千七百九十四步，以四除之，得一千四百四十八步，余二步，以六因之，得一丈二尺，以四除之，得三尺，通计即得。
3 w: }3 r% k6 {# {4 e) g( H8 D  [
　　今有堤，下广五丈，上广三丈，高二丈，长六十尺，欲以一千尺作一方。问：计几何？答曰：四十八方。

# g% [% [- m; S　　术曰：置堤，上广三丈，下广五丈。并之，得八丈；半之，得四丈。以二丈乘之，得八百尺；以长六十尺乘之，得四万八千；以一千尺除之（案：原本讹作乘，今改正。），即得。
' Y) R6 G: H' A  T" i+ n; B- ~! A
　　今有沟，广十丈，深五丈，长二十丈，欲以千尺作一方。问：得几何？答曰：一千方。
; m5 e) z9 @/ F4 z$ @
　　术曰：置广一十丈，以深五丈乘之，得五千尺，又以长二十丈乘之，得一百万尺，以一千除之，即得。
) }! I3 R0 ^% S9 t. G. i
　　今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
+ e. r! R  Y2 Z! P; d: ?
3 F. T: a' o4 Q3 z　　术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上（案：上商原本脱上字，今补。），副置四万于实之下。下法之商，名为方法；命上商四百除实，除讫，倍方法，方法一退（案：原本脱方法二字，今补。），下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法；方廉各命上商八十以除实（案：原本脱实字，今补。），除讫（案：原本脱除字，今补。），倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除实，除讫，倍隅法，从方法（案：原本讹此六字，今据术补。），上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

　　今有积，三万五千步。问为圆几何？答曰：六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：六分步原本讹作七分，脱步字，今补正。）

( H. M% m! i, v) Z　　术曰：置积三万五千步以一十二乘之，得四十二万，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止，上商置六百于实之上，副置六万于实之下。下法之上，名为方法，命上商六百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商四十以次前商，副置四百于方法之下。下法之上，名为廉法，方廉各命上商四十以除实（案：原本脱四十二字，今补。），除讫，倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商八次前商，副置八于方法之下。下法之上，名为隅法，方廉隅各命上商八以除实，除讫，倍隅法，从方法，上商得六百四十八（案：原本脱得字，今补。），下法得一千二百九十六（案：六原本讹作七，今改正。），不尽九十六，是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。（案：九十六分原本讹作九十七分，今改正。）
7 B( ~0 f2 J! y( X; Y) U
$ c" q1 y* p5 d& s  Q/ U" W, I　　今有邱田周六百三十九，步径三百八十步。问：为田几何？答曰：二顷五十二亩二百二十五步。

  s. Q+ R3 W7 s1 {* ?4 C　　术曰：半周得三百一十九步五分半径，得一百九十步二位相乘，得六万七百五步，以亩法除之，即得。

今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：二万六千一十一功。

, |% p% e. H3 z　　术曰：并上下广，得七十四尺，半之，得三十七尺，以高乘之，得一千四百六尺，又以长乘之，得积七百八十万三千三百尺，以秋程人功三百尺除之，即得。
2 {) x* ?9 [" b6 U9 y
　　今以穿渠长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺深一丈八尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？答曰：三万二千六百四十五功（案：原本讹作三万二百六十五人，今据术改正。），不尽六十九尺六寸。

$ m8 ~# H2 |( u; C- ^$ q7 L　　术曰：置里数以三百步乘之，内零步，六之，得五万二千八百二十四尺，并上下广，得二丈六寸，半之，以深乘之，得一百八十五尺四寸，以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸，以人功三百尺除之，即得。
9 \% A6 S( T  D$ F3 \) x
7 C9 P7 P* s5 Y- f, F　　今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分，分之八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问：三种各得几何？答曰：二分人得钱二十二，三分人得钱三十三，四分人得钱四十四。
7 y. o8 K! V) [9 u+ B3 i
　　术曰：先置八十一人于上，七十二人次之，六十三人在下，头位以二乘之，得一百六十二，次位以三乘之，得二百一十六，下位以四乘之，得二百五十二，副并三位，得六百三十为法。又置钱六千九百三十为三位头位，以一百六十二乘之，得一百一十二万二千六百六十，又以二百一十六乘中位，得一百四十九万六千八百八十，又以二百五十二乘下位，得一百七十四万六千三百六十，各为实以法，六百三十各除之，头位得一千七百八十二，中位得二千三百七十六，下位得二千七百七十二，各以人数除之，即得。
3 N/ y% m# V% Q* M9 Q; ]
　　今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗。问：五人各得几何？答曰：公一十八颗，侯一十五颗，伯一十二颗，子九颗，男六颗。
- q4 Z$ p0 M# f! Z# o4 y* c
　　术曰：先置人数别加三颗于下，次六颗，次九颗，次一十二颗，上十五颗，副并之，得四十五，以减六十颗，余人数除之，得人三颗，各加不并者，上得一十八颗为公分，次得一十五为侯分，次得一十二为伯分，次得九为子分，下得六为男分。
0 T9 ?# C  n' x7 }
　　今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱半以益我钱成九十。乙复语甲丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成七十。丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六。问：三人元持钱各若干？答曰：甲七十二，乙三十二，丙四。

3 V$ m( h( o8 o$ [7 Y) H　　术曰：先置三人所语为位，以三乘之，各为积，甲得二百七十，乙得二百一十，丙得八十四，又置甲九十，乙七十，丙五十六，各半之，以甲乙减丙，以甲丙减乙，以乙丙减甲，即各得元数。

　　今有女子善织，日自倍，五日织通五尺。问：日织几何？答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九，次日织三寸三十一分寸之七，次日织六寸三十一分寸之一十四，次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
( K# M8 p6 b9 ^+ i- E; j: i
. n" H. G# c2 u　　术曰：各置列衰副，并得三十一为法，以五尺乘并者，各自为实，实如法而一，即得。

　　今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？答曰：贼一十三人，绢八十四匹。

" K8 a: l; E* \3 U2 f- t0 J! p, C　　术曰：先置人得六匹于右上，盈六匹于右下，后置人得七匹于左上，不足七匹于左下，维乘之所得，并之为绢，并盈不足为人。
5 D( ~9 a6 W- z$ E* z$ Y. ^& M

卷下
& q5 d/ v& F% H7 W* }
# Z" Y& c% l& O& a7 d今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租，甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛，凡九家，共输租一千斛，僦运直折二百斛外。问：家各几何？答曰：甲二十八斛，乙三十六斛八斗，丙四十五斛六斗，丁五十四斛四斗，戊六十三斛二斗，己六十四斛，庚八十斛，辛一百六十八斛，壬二百六十斛。
' o+ i0 n& W( ^5 |: ]& a9 q) d
8 @' {$ h8 K* L& h. F/ _0 z& Z　　术曰：置甲出三十五斛，以四乘之，得一百四十斛；以五除之，得二十八斛。乙出四十六斛，以四乘之，得一百八十四斛；以五除之，得三十六斛八斗。丙出五十七斛，以四乘之，得二百二十八斛；以五除之，得四十五斛六斗。丁出六十八斛，以四乘之，得二百七十二斛；以五除之，得五十四斛四斗。戊出七十九斛，以四乘之，得三百一十六斛；以五除之，得六十三斛二斗。己出八十斛，以四乘之，得三百二十斛；以五除之，得六十四斛。庚出一百斛，以四乘之，得四百斛；以五除之，得八十斛。辛出二百一十斛，以四乘之，得八百四十斛；以五除之，得一百六十八斛。壬出三百二十五斛，以四乘之，得一千三百斛；以五除之，得二百六十斛。

　　今有丁一千五百万，出兵四十万。问：几丁科一兵？答曰：三十七丁五分。

0 [: ?5 t! \7 z, p　　术曰：置丁一千五百万为实，以兵四十万为法，实如法，即得。

　　今有平地聚粟，下周三丈六尺，高四尺五寸。问：粟几何？答曰：一百斛。

　　术曰：置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺，以高四尺五寸，乘之，得五千八百三十二尺，以三十六除之，得一百六十二尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

. T+ h; i" i% S2 b+ Z　　今有佛书，凡二十九章，章六十三字。问：字几何？答曰：一千八百二十七。
) W2 N- Q9 d" p2 T# w( \4 n4 U
　　术曰：置二十九章，以六十三字，乘之，即得。
5 ]$ K% M/ E: q, `
* G+ g* D( _7 b/ h' n+ D　　今有棋局，方一十九道。问：用棋几何？答曰：三百六十一。

8 ?  N+ y: O3 @7 E+ E　　术曰：置一十九道，自相乘之，即得。

　　今有租，九万八千七百六十二斛，欲以一车载五十斛。问：用车几何？答曰：一千九百七十五乘奇一十二斛。

" y  o/ N. i0 B0 i" T　　术曰：置租九万八千七百六十二斛为实，以一车所载五十斛为法。实如法，即得。

; r/ W* Z  t5 B1 N　　今有丁九万八千七百六十六，凡二十五丁出一兵。问：兵几何？答曰：三千九百五十人奇一十六丁。
0 m0 l, U; J4 @& J) y
+ W! {* ~3 C1 X) U; c1 U! O　　术曰：置丁九万八千七百六十六为实，以二十五为法。实如法，即得。

. j* Y9 R7 c3 R# R9 H- H　　今有绢，七万八千七百三十二匹，令一百六十二人分之。问：人得几何？答曰：四百八十六匹。

+ |' L+ k/ z" z  l　　术曰：置绢七万八千七百三十二匹为实，以一百六十二人为法。实如法，即得。
% Z' r" g) V" h5 v, d0 u4 y; m' k0 w
! i$ x3 V. h8 O1 R3 n* U9 a

1 i+ u( i# [$ e: H今有绵，九万一千一百三十五筋，给与三万六千四百五十四户。问：户得几何？答曰：二筋八两。
8 Y4 e3 {# ^+ J2 r% j6 q
+ q- S$ y8 M1 Z, G9 w8 ~　　术曰：置九万一千一百三十五筋，为实；以三万六千四百五十四户，为法。除之，得二筋，不尽一万八千二百二十七筋，以一十六乘之，得二十九万一千六百三十二两，以户除之，即得。
4 V% y+ \6 v, L9 p
　　今有粟，三千九百九十九斛九斗六升，凡粟九斗易豆一斛。问：计豆几何？答曰：四千四百四十四斛四斗。

0 P- f8 X1 S& A　　术曰：置粟三千九百九十九斛九斗六升为实，以九斗为法。实如法，即得。
8 Z7 H8 d/ ^  w. r! g( J$ U( x$ d
9 w0 v' H9 x" ~8 y) h* ^　　今有粟，二千三百七十四斛，斛加三升。问：共粟几何？答曰：二千四百四十五斛二斗二升。

3 q' ?$ f8 y; D. Z" r1 Z　　术曰：置粟二千三百七十四斛，以一斛三升乘之，即得。
% J4 |: A; f% |( O* `  b+ ~6 E0 W
# c- F( K4 O" s: S　　今有粟，三十六万九千九百八十斛七斗，在仓九年，年斛耗三升。问：一年、九年各耗几何？答曰：一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合，九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。
/ m+ q. U4 {8 N: S6 h: M# u
) Z8 C# d( B2 d1 P6 y7 k　　术曰：置三十六万九千九百八十斛七斗，以三升乘之，得一年之耗，又以九乘之，即九年之耗。

  n4 j, E$ {/ N3 n+ h" K　　今有贷与人丝五十七筋，限岁出息一十六筋。问：筋息几何？答曰：四两五十七分两之二十八。
7 r% ]9 ?2 ?) i# ?3 v8 t% D
　　术曰：列限息丝一十六筋，以一十六两乘之，得二百五十六两，以贷丝五十七筋除之，不尽，约之，即得。

# }9 I! w0 F1 b3 _) W' ~　　今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？答曰：一十五车，三十九人。
9 C% T; s1 q+ y, X2 [5 B6 y
2 G' Y4 @6 p% A' m3 k  {5 ^　　术曰：置二人以三乘之，得六，加步者九人，得车一十五，欲知人者，以二乘车，加九人即得。

1 p. N' C0 w0 Q% x4 F# o6 k2 Y) o! M　　今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合，出与人买绢一匹，直粟三斛五斗七升。问：绢几何？答曰：三万六千一百一十七匹三丈六尺。

) g4 _" B) u. t/ g; r; ?9 {　　术曰：置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实，以三斛五斗七升为法，除之，得匹余四十之所得，又以法除之，即得。

2 p+ X/ w, X5 T5 B& q2 B: b& I　　今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”答曰：“六十人。”

* R3 W/ x8 d% x4 i　　术曰：置六十五杯，以十二乘之，得七百八十；以十三除之，即得。

& V% V# z' i; ?  o! s1 J　　今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问：几何？答曰：六尺五寸。

0 A# Z- A+ }; Z5 C　　术曰：置余绳四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸，倍之，得一丈一尺，减四尺五寸，即得。
. P( ^; p# @7 F- G! e+ |' U
; g* T: u. X8 D. j1 M" f# ?　　今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问：米几何？答曰：六斗。
- e# `! {. {* y/ J; z
# w8 T& `. w& N! w/ }% a　　术曰：置余米一斗五升，以六乘之，得九斗；以二除之，得四斗五升；以四乘之，得一斛八斗；以三除之，即得。
1 J7 Y  T4 B) J% O: S0 R
　　今有黄金一筋直钱一十万。问：两直几何？答曰：六千二百五十钱。
0 x# p" Y6 B4 y) R7 x; i' w% p
　　术曰：置钱一十万，以一十六两除之，即得。

今有锦一匹，直钱一万八千。问：丈、尺、寸各直几何？答曰：丈四千五百钱，尺四百五十钱，寸四十五钱。
/ X4 t# l8 s+ Y1 a
　　术曰：置钱一万八千，以四除之，得一丈之直；一退再退，得尺寸之直。
1 t$ r1 a; w6 I4 S9 s% |0 k
　　今有地，长一千步，广五百步，尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何？答曰：鹑一千八百万，鷃一亿八千万。
4 r! t2 L/ B" H) ?- T; }8 M
　　术曰：置长一千步，以广五百步乘之，得五十万；以三十六乘之，得一千八百万尺，即得鹑数；上十之，即得鷃数。

　　今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升。问：上、中、下口，共食几何？答曰：四千六百斛。
) h9 O# ~- G; g+ s& N' V
　　术曰：各置口数，以日食之数乘之，所得并之，即得。

" b; a8 g3 k* l) K5 L　　今有方物一束外周，一市有三十二枚。问：积几何？答曰：八十一枚。

　　术曰：重置二位左位减八余加右位，至尽虚加一，即得。

　　今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺，别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问：竿长几何？答曰：四丈五尺。
) P) w: G" g, T
3 A0 ~3 z% G1 x: C8 J7 \3 i% Z　　术曰：置竿影一丈五尺，以表长一尺五寸乘之，上十之，得二十二丈五尺，以表影五寸除之，即得。

　　今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？答曰：二十三。

$ \8 y5 K6 @" [* n0 C　　术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十五；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。
3 `  k7 z: Y7 n' j
　　今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。

　　术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。

　　今有甲乙二人持钱，各不知数。甲得乙中半，可满四十八；乙得甲大半，亦满四十八。问：甲乙二人元持钱各几何？答曰：甲持钱三十六，乙持钱二十四。
+ A$ F! D' o; E4 |, b
　　术曰：如方程求之，置二甲一乙钱九十六于右方，置二甲三乙钱一百四十四于左方，以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八钱；以左方二乘右方，上得四，中得二，下得九十六（案：近刻脱此十八字，今据术补。）；以右行再减左行，左上空，中余四，以为法，下余九十六钱，为实；上法下实，得二十四钱，为乙钱，以减右下九十六，余七十二为实，以右上二甲为法，上法下实，得三十六为甲钱也。
% i& i, v# D, W# N- Z! n
6 }7 O- L, {7 E& K" D: H5 C　　今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽。问：城中家几何？答曰：七十五家。

　　术曰：以盈不足取之，假令七十二家鹿不尽四，令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上，盈四于右下，置九十于左上，不足二十于左下，维乘之所得并为实，并盈不足为法，除之，即得。
2 g( D4 x0 g# I
) O' B0 {' M- H& o8 V　　今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四。主责本粟，三鸡主各偿几何？答曰：鸡雏主一百四十三，鸡母主二百八十六，鸡翁主五百七十二。

术曰：置粟一千一粒为实，副并三鸡所啄粟七粒为法，除之，得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数，递倍之，即得母、翁主所偿之数。
7 \( `* Z% j' d: D+ c+ z# i
　　今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。

4 e+ n$ q( i9 U  x* R, ^0 p; M* s　　术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。

4 X* Z: d7 k, H3 c/ K　　又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

　　今有九里渠，三寸鱼头，头相次。问：鱼得几何？答曰：五万四千。

　　术曰：置九里以三百步乘之，得二千七百步；又以六尺乘之，得一万六千二百尺，上十之，得一十六万二千寸，以鱼三寸除之，即得。

　　今有长安、洛阳相去九百里，车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安。问：轮匝几何？答曰：九万匝。

* g1 K+ F( O6 q1 K　　术曰：置九百里以三百步乘之，得二十七万步，又以六尺乘之，得一百六十二万尺，以车轮一丈八尺为法，除之，即得。
/ ], |/ m7 _  Q6 u
7 u9 J0 D' V( E5 D　　今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？答曰：木八十一枝，七百二十九巢，六千五百六十一禽，五万九千四十九雏，五十三万一千四百四十一毛，四百七十八万二千九百六十九色，四千三百四万六千七百二十一。
2 ]3 o8 A/ U, F; v2 I) g6 }
　　术曰：置九堤以九乘之，得木之数；又以九乘之，得枝之数；又以九乘之，得巢之数；又以九乘之，得禽之数；又以九乘之，得雏之数；又以九乘之，得毛之数；又以九乘之，得色之数。
5 I% D& W" c' g4 F5 [# Y
6 _6 ]  n! Z, V- M　　今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问：三女几何日相会？答曰：六十日。

　　术曰：置长女五日，中女四日，少女三日，于右方，各列一算于左方，维乘之，各得所到数。长女十二到，中女十五到，少女二十到，又各以归日乘到数，即得。
2 z/ U* U( t! T; J2 c; z
　　今有孕妇，行年二十九岁。难九月，未知所生？答曰：生男。
8 M' i4 d% f4 N
　　术曰：置四十九加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九。其不尽者，奇则为男，耦则为女。
0 V1 M  R4 i6 D! j