《历术甲子篇》是古四分历的历数表

    司马迁巨制《史记》中有一篇，也是唯一的一篇与《史记》其它体裁不同的奇文。奇文之奇，除了满纸数码，用的全是行业术语之外，还夹着一组只记其语音需要破译的密码。其文名曰：《历术甲子篇》。
    近世学者全椒人张汝舟苦守“二毋”书斋，潜心古代历法，集成果于其遗著《二毋室古代历法*论丛》。张氏研究揭示：《历术甲子篇》是由司马迁悉心、原貌、完整保存，幸得以留长传远的，属于古四分历的“历术宝典”。张氏称之为“遗世宝书”。
      2003年，笔者曾撰《〈历术甲子篇〉解读》，于2003年在网上交流，倏忽八年。此为该文修订稿中的一些论述。
   1）《历术甲子篇》是数据系统完整的精品
   由《历术甲子篇》系统提供的76组共304个历算数据，运用了十进位、十二进位、十九进位、三十二进位、六十进位和九百四十位等六种以上进位制的混合运算。表上数字正确干脆，无一舛错。难能可贵的是，这些极为繁复的算术运算，完全是运用极为初级的“筹算”和心算方法的条件下完成的；所以《历术甲子篇》作为历史文献，是留传至今能为今人目睹有历法文献中的精品。
   2）《历术甲子篇》是古四分历的历数表
   对《历术甲子篇》数据进行反溯计算，包括朔望月策、中气距离、四种年型、年长、岁长取置、闰年位置和闰月位置的分析，无一不归到古四分历历理，故无可执疑，《历术甲子篇》是古四分历的历数表。因此与《殷历》、一为历理，一为历数，一为授时历书，三者是互为表里，三位一体，而不可分割的统一历法系统。
   3）《历术甲子篇》是古代各种历法的宗师
   据《史记》和《汉书·律历志》记载的说法，由于家业世守相传的史官在周朝后期失业了，原来一胍师承相传的精于推历的子弟们四散自谋职业，于是其在诸侯方国所记五花八门，有“黄帝、颛顼、夏、殷、周及鲁历”。以上即“古六历”名义的出处。其实在古六种历法中，先秦古籍中属“时王之历”、有历数根据的仅《殷历》和《颛顼历》，其余多则或只有授时记载，或由后人拟作追述。其中《颛顼历》虽曾由秦献公于前366年颁行，但真正用于记史，则在秦始皇统一六国之后，执行至汉武帝太初元年（前104年）改历时为止。因前366年干支乙卯，故历家称《颛顼历》为“乙卯元”，该历又由于汉续秦用，短时被当政者视有“正统”名份，实则仍不过古四分历一支。总之，先秦之时，无论历法用了多少种名目，由于都源出于一个师门，只有岁首月份的不同，而无历理的任何区别，因此由祖师爷授受相传的历术宝典《历术甲子篇》，在中华古代历法史中，具有极崇高的地位。
   《历术甲子篇》数据不是《太初历》的历数
    阅《历术甲子篇》最容易的误会即认为此即必是《太初历》无疑。这也是错的。
    因为当朝有记载，《太初历》又名“八十一分历”，虽同以十九岁为一章岁，却无古四分历“蔀岁”的单位，而是真接以81章岁为一统岁，以3统岁为一元岁，一统岁1539岁计562120天为主要算历基数。由此数可以算出，它规定的一回归年为562120÷1539 =365. 385/1539天≈365.25016…天；因为一统岁为235×81=19035朔望月，故一朔望月等于562120÷19035 = 29. 10105/19035 = 29. 43/81日；一日则分为81分。以上结果与《历术甲子篇》虽然大同，却有小异。从精度说，反比《历术甲子篇》略粗。从源流说，因为《太初历》本法不存，而《三统历》又不一定即是《太初历》，况且制《太初历》的邓平其人，最多只能算是算历的“工匠”，决无刘歆等级的学术造诣，搞不出一套三统历术系统性理论；但不勿略有大方士公孙卿从中撮合。他既有伪造天书《札》的本事，现在既要用老本本《历术甲子篇》真功实学，又另调一套近似“三统”的说法来迎合汉武帝的歪本事是有的。刘歆是正宗的有家学渊源的学问家，又是本朝人，如果不是有《太初历》历数雏形为据，凭空敷说《三统历》也是不可行的。因此，《太初历》本法只是汉后失存，不是原本无书；因之其基本内容，仍应以汉人刘歆之说为是。
    或有人问：《史记·历书·历术甲子篇》天每岁正文后，即标出了汉武帝太初元年以下帝王年号，这不是太初年号以下的“出谱”之书吗？答曰：历谱固需预后几十乃至几百年，唯帝王年号决无预订之例，尤其是作者司马迁都死了之后的帝王年号，更无预卜先见之明？年号由后人加上，一点即明。至于在此老册子上，作了一些为便于转换运算新历的记注，倒是可能的，比如落下闳，他既负责“运算转历”，而且又估计《历术甲子篇》是由他贡献于世的，当不排除有他留下墨迹的可能。另外，《史记》汉武帝以下，有一位署名“后进好事者褚先生”，对一些表格作了续记。这位好事的褚先生也可能动笔。还有刘向、刘歆父子两人，也是有资格、有条件、有需要全文看《史记》的人，他俩也可能动笔加署。
   《历术甲子篇》与由刘歆《三统历》表示的历数相差不大，似乎只有日分表示的方式不同？但若仔细校对，当除了有细微的区别外，也可以发现有明显不同的处所。请看本文第4表历数中的第4章岁栏第三行历数：48.931，表示的是《史记·历术甲子篇》记载的，汉元帝初元四年岁前十一月辛亥931分交朔。这一年合汉元帝初元三年（公元前46年）的十一月。有一巧合的机会，正好这一年的十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒大帝制订《儒略历》定为元旦之日，也就是中华历纪与西历对照定为起点的日期。由二十九日庚辰，可推知十一月初一日干支为壬子。由于《三统历》法暂未介绍，先以一般历法常识推出：《三统历》年浮《殷历》用的《历术甲子篇》历数365.25016－365.25 = 0.00016天。公元前46年距公元前105年(前104年岁前十一月)为59年，用0.00016×59 = 0.00944日。日分940分，乘之0.00944×940 = 8.8736 ≈9日分。好了，由《历术甲子篇》48.931转换为《太初历》：48.931＋0.009 = 48.940 = 49.000（壬子0分）。因此按《太初历》此日干支正是“壬子”。这就很好地证实了：这一天实际历日是由《太初历》排定的为“壬子”，而非如《史记·历术甲子篇》记载出的日期安排的“辛亥”。这一日之差，是由于相距59年两历精度不同的历术算出来的结果。
   上文的计算引用了8.8736≈9，只是为了阅读的方便。此用近似值的方法用以确立论点，显然不够严密，可能让人不足征信。实际是(385÷1539－365.25) ×59×940 = 9 (940分制9日分)；不是近似，而是准确的整数。再罗嗦两句：算日期间隔，今人会用“儒略日”法，很简便。我们的古代祖先不识“儒略”为何许人也，刘歆名之为“积日法”。他老先生由称为“历元”首日的甲子（六十甲子顺序1）日往下推，至称为汉元帝初元四年岁前的十一月朔日的“积日”，也就是相距天数为 21528日，加1 ，得21529，再逢60的整倍数去之，余日为49，也就知为“壬子”日了。上面和算法用现代公式表示：（21529+1）MOD60 = 49，很简明。古时要用一大堆竹签子摆来摆去，这法儿我幸逢其时，也玩过。难乎哉？难得不错！全亏得古人有那份恒心。
    关于古人会算“积日”，有下例史实作辅证：《左传》襄公三十年（前543年）记下来的那位绛县老叟，他就在别人盘问“尊寿几何”时，能随口即答出：小老儿正月朔日甲子日降生，至今日（指夏正岁前十二月二十二日）干支癸未，算来，共计活了四百四十五遍甲子加二十天。事后，人问师旷，师旷在点明其时的历史事件后，坟伯又一口推出为“共计是二万六千六百六十天”，史赵则马上由筹算码“〢、〦、〦、〦、”联想到一个古篆体的“亥”字，而说出“亥有二首六身，则其日数也”的话来。此例说明，中国的古人老早就有算“积日”的功夫。
    归结上面的叙述，一言以蔽之：《历术甲子篇》数据不是《太初历》的历数。

   《历术甲子篇》是古四分历的历数表

    司马迁巨制《史记》中有一篇，也是唯一的一篇与《史记》其它体裁不同的奇文。奇文之奇，除了满纸数码，用的全是行业术语之外，还夹着一组只记其语音需要破译的密码。其文 ...

归结上面的叙述，一言以蔽之：《历术甲子篇》数据不是《太初历》的历数。
七秩龄童 发表于 2011-10-25 09:05

                               
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　　老先生的这篇文章过去也见过，今日又应后生的请教，再贴此大作，倍感受益！最后一段“一言以蔽之：《历术甲子篇》数据不是《太初历》的历数。 ”是精髓所在。

后生也附上一小帖，也是旧文，就算是与老先生唱和了，有不合适之处，还望指教。{:soso_e183:}
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《历术甲子篇》应有的位置
作者：吳博君
时间：2008.9.23

　　从《历术甲子篇》中有司马迁死后的纪年来看，《历术甲子篇》一定不是司马迁本人录入《史記》的；但是学界认为后来的纪年是后人所加，《历术甲子篇》的主体数据是司马迁本人录入《史记》的，这使得问题复杂化。所以只能从《历术甲子篇》的实质内容来分析《历术甲子篇》的产生年代。
　　西汉司马迁先写有《史记》，东汉班固再写有《前汉书》，最后在魏晋时期的范晔、司马彪才写有《后汉书》，这三部著作产生的时间顺序是不容质疑的，这是讨论的基础。通过对以上三本书所记录的计算数据的不同，可以分析出《历术甲子篇》的产生年代。
　　年月日是观象历自然的计算单位，在推步历出现前就使用，由于推步计算的需要，在推步历中有推步历专用计算单位，“章”、“蔀”、“纪”、“统”是推步历的计算单位，最小的推步历计算单位是“章”，在《前汉书律历志第一》中，有关推步历所使用的计算数据有五条：
1　　闰法，十九。          （19×1）
2　　章月，二百三十五。    （12×19＋7）
3　　统法，一千五百三十九。（19×81）
4　　月法，二千三百九十二。（81×29.530864）
5    日法，八十一。        （81）
相应地在《后汉书志第三律历下》中，有关推步历使用的计算数据有六条：
1　  章法，十九。      （19×1）
2    章月，二百三十五。（12×19＋7）
3    纪法，千五百二十。（19×80）
4　　蔀日，二万七千七百五十九。（940×29.530851）（365.25×19×4）
5　　蔀月，九百四十。          （940）
6　　蔀法，七十六。            （19×4）

已知：1、《前汉书》“三统历”系统所使用的推步计算单位是“章”和“统”；
          　（1章＝19年；1统＝81章。）
      　2、《后汉书》“四分历”系统所使用的推步计算单位是“章”、“蔀”和“纪”；
         　（1章＝19年；1蔀＝4章；1纪＝20蔀。）（1“统”＝1“纪”＋1“章”。）
      　3、《历术甲子篇》的成立基础是在“四分历”系统的基础上，对子正月朔日的精
      　　   确计算，而计算的基础是对数据的掌握和使用，在《历术甲子篇》中使用的基
       　　  本数据和基本计算有：
       　　  1年＝365.25日；
        　　 1章＝19年＝6939.75日；
       　　  1蔀＝4章＝76年＝27759日；
      　　    “日分”＝940；
       　　  朔望月＝蔀日／蔀月
               ＝27759／940
               ＝（365.25×19×4）／（235×4）
               ＝29＋（499／940）
               ＝29.530851
结论：1、在《历术甲子篇》里使用的数据是：“蔀法”（＝76年），和“蔀月”（＝940），
        　 这些概念在《史记》和《前汉书》中并没有出现，所以在“蔀”概念上建立的《历
        　 术甲子篇》是不应该在《史记》中出现的。
结论：2、在《汉书·律历志》中有“其法以律起历，......法，一月之日二十九日八十一分
        　 日之四十三。”明言用数“八十一”为“日分”；但是《历术甲子篇》中“日分”
       　  用数“九百四十”，不能支持“八十一分日”的记录，所以《历术甲子篇》在《史记》
         　中的出现是与《汉书·律历志》的记录相矛盾的。

　　在《〈历术甲子篇〉浅释》中张汝舟说：“尤可怪者，篇末说：‘大馀者，日也。小馀者，月也。’司马迁家学甚深，怎么会有这种谬言迷惑后人，这一妄改，全篇‘大馀’、‘小馀’便成了一天云雾”。（《二毋室古代天文历法论丛·〈历术甲子篇〉浅释》张汝舟著）；因为张汝舟主观地认为《历术甲子篇》一定是司马迁录入《史記》的，所以他要批后人“妄改”《历术甲子篇》，同时可以看出张汝舟不认为“小馀”和“月”有关系。
　　在《汉书律历志第一下》有：“推正月朔，......小馀三十八以上，其月大。”
　　在《后汉书志第三律历下》有：“推天正朔日，......小馀四百四十一以上，其月大。”

　　“天正朔日”是指“子正月”朔日，子正月朔日的“小馀”若小，子正月就是小月，反之“小馀”若大，就是大月，所以说：“小馀者，月也。”的说法不是“妄改”《历术甲子篇》的语言。其实“小馀者，月也。”就是说大小月的排布规律由“小馀”数值的相对大小来决定，这在《前汉书》和《后汉书》中都有叙述，所不同的是对于“小馀”数大小的界定值，《前汉书》所用的是“38”，《后汉书》所用的是“441”。由于：“38/81=0.469；441/940=0.469”，所以上述两书所用的界定值是完全一致的。
　　从对“日分”数据的使用来看，《前汉书》所用的是“81”，《后汉书》和《历术甲子篇》所用的是“940”；而对“日分”数据的使用是计算能力的标志，可计算能力是随着时代的进步而增加的。

《四分历》常数：
回归年＝365.25日；
章年＝19；
章月＝235（12×19＋7）。
《四分历》关系式：
(365.25×19)/235＝(365.25×19×4)/(4×235)＝27759/940＝29＋(499/940)＝29.530851＝朔望月。
《四分历》日分：940
比较《四分历》和《太初历》用不同的“朔策”模拟用算筹的算法如下：
《四分历》模拟算筹算法：（朔望月＝29＋(499/940)＝29.530851）
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正月小：大馀00（甲子朔）；小馀00；                                        　　（小数：00/940＝00）
二月大：大馀29（癸巳朔）；小馀499＋00＝499；                              （小数：499/940＝0.530）
三月小：大馀59（癸亥朔）；小馀499＋499－940＝58；                       （小数：58/940＝0.061）
四月大：大馀28（壬辰朔）；小馀499＋58＝557；                             　（小数：557/940＝0.592）
五月小：大馀58（壬戌朔）；小馀499＋557－940＝116；                    （小数：116/940＝0.123）
六月大：大馀27（辛卯朔）；小馀499＋116＝615；                           　（小数：615/940＝0.654）
七月小：大馀57（辛酉朔）；小馀499＋615－940＝174；                     （小数：174/940＝0.185）
八月大：大馀26（庚寅朔）；小馀499＋174＝673；                             （小数：673/940＝0.716）
九月小：大馀56（庚申朔）；小馀499＋673－940＝232；                     （小数：232/940＝0.247）
十月大：大馀25（己丑朔）；小馀499＋232＝731；                             （小数：731/940＝0.778）
十一月：大馀55（己未朔）；小馀499＋731－940＝290（小于441是小月）；（小数：290/940＝0.309）
十二月：大馀24（戊子朔）；小馀499＋290＝789（大于441是大月）；         （小数：789/940＝0.839）
正月小：大馀54（戊午朔）；小馀499＋789－940＝348（与《历术甲子篇》相合）。（小数：348/940＝0.370）
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《太初历》模拟算筹算法：（朔望月＝29＋(43/81)＝29.5308642）
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正月小：大馀00（甲子朔）；小馀00；                               　　　（小数：00/81＝00）
二月大：大馀29（癸巳朔）；小馀43＋00＝43；                   　　 （小数：43/81＝0.530）
三月小：大馀59（癸亥朔）；小馀43＋43－81＝5；               　   （小数：5/81＝0.062）
四月大：大馀28（壬辰朔）；小馀43＋5＝48；                     　　　（小数：48/81＝0.592）
五月小：大馀58（壬戌朔）；小馀43＋48－81＝10；                　　（小数：10/81＝0.123）
六月大：大馀27（辛卯朔）；小馀43＋10＝53；                  　　　  （小数：53/81＝0.654）
七月小：大馀57（辛酉朔）；小馀43＋53－81＝15；            　　    （小数：15/81＝0.185）
八月大：大馀26（庚寅朔）；小馀43＋15＝58；                  　　　  （小数：58/81＝0.716）
九月小：大馀56（庚申朔）；小馀43＋58－81＝20；              　　  （小数：20/81＝0.247）
十月大：大馀25（己丑朔）；小馀43＋20＝63；                   　　　 （小数：63/81＝0.778）
十一月：大馀55（己未朔）；小馀43＋63－81＝25（小于38是小月）；（小数：25/81＝0.309）
十二月：大馀24（戊子朔）；小馀43＋25＝68（大于38是大月）；    　（小数：68/81＝0.839）
正月小：大馀54（戊午朔）；小馀43＋68－81＝30。                　　　（小数：30/81＝0.370）
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　　对于小馀的计算，《太初历》算法是用十位数加减法，《四分历》是用百位数加减法，显然《太初历》算法比《四分历》的算法更为简易，更为优越，这在以算筹为计算工具的时代更是如此。并且用《太初历》算法的计算结果规律性很强，这对于验证计算也很有利。
　　古人用算筹计算非常烦琐，算筹只能对整数和整数比（分数）进行四则运算，乘法变成加法运算，除法用分数表示。所以对于499/940这样大分母的分数，从算筹计算方便考虑，古人希望用分母小的分数来近似表示，而这个分母又希望用一个律长数（宫商角征羽）来表示。
古律长度有：
宫＝81（律长度）
征＝宫＋宫/3＝108；商＝征－征/3＝72；羽＝商＋商/3＝96；角＝羽－羽/3＝64。（先益后损）
征＝宫－宫/3＝54； 商＝征＋征/3＝72；羽＝商－商/3＝48；角＝羽＋羽/3＝64。（先损后益）
宫(81)商(72)角(64)征(108)羽(96)（先益后损）
宫(81)商(72)角(64)征(054)羽(48)（先损后益）
设：499/940＝A/81＝B/72＝C/64＝D/54＝E/48＝F/108＝G/96
（宫）A＝42.9989取整为43差为0.0011
（商）B＝38.2213取整为38差为0.2213
（角）C＝33.9745取整为34差为0.0255
（征）D＝28.6660取整为29差为0.3340
（羽）E＝25.4809取整为25差为0.4809
（征）F＝57.3319取整为58差为0.6681
（羽）G＝50.9617取整为51差为0.0383
　　只有A＝42.9989最接近一个整数值（43），而只有整数和用整数表示的分数才能够用算筹进行计算。司马迁对上述历算中律和历的数字关系是认可的，律历数字关系是邓平“以律起历”的基础。
　　从上述《太初历》和《四分历》的运算过程和计算结果来看，《太初历》算法简便，但是“粗”于《四分历》，《四分历》算法复杂，但是“精”于《太初历》；所以若邓平计算的《太初历》在当时果然粗疏，则不会以“粗疏”为借口废弃其他十七种历法；若司马迁当时果然有“精”于《太初历》的《四分历》在手，邓平也不能以其他历法“粗疏”为借口而自立。天文和历算是有区别的，不能说唐都是司马迁父亲的天文老师，就说司马迁必然精通历算；其实在制定《太初历》时，唐都的工作是“分天部”，历算工作由邓平和落下闳承担。


附录：
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《史記·历术甲子篇》：
“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”
正北
  十二：无大馀，    无小馀；        无大馀，    无小馀；    焉逢摄提格太初元年。
  十二：大馀五十四，小馀三百四十八；大馀五，    小馀八；    端蒙单阏      二年。
闰十三：大馀四十八，小馀六百九十六；大馀十，    小馀十六；  游兆执徐      三年。
  十二：大馀十二，  小馀六百三；    大馀十五，  小馀二十四；彊梧大荒落    四年。
  十二：大馀七，    小馀十一；      大馀二十一，无小馀；    徒维敦牂  天汉元年。
闰十三：大馀一，    小馀三百五十九；大馀二十六，小馀八；    祝犁协洽      二年。
  十二：大馀二十五，小馀二百六十六；大馀三十一，小馀十六；  商横涒滩      三年。
  十二：大馀十九，  小馀六百一十四；大馀三十六，小馀二十四；昭阳作鄂      四年。
闰十三：大馀十四，  小馀二十二；    大馀四十二，无小馀；    横艾淹茂  太始元年。
  十二：大馀三十七，小馀八百六十九；大馀四十七，小馀八；    尚章大渊献    二年。
闰十三：大馀三十二，小馀二百七十七；大馀五十二，小馀一十六；焉逢困敦      三年。
  十二：大馀五十六，小馀一百八十四；大馀五十七，小馀二十四；端蒙赤奋若    四年。
  十二：大馀五十，  小馀五百三十二；大馀三，    无小馀；    游兆摄提格征和元年。
闰十三：大馀四十四，小馀八百八十；  大馀八，    小馀八；    彊梧单阏      二年。
  十二：大馀八，    小馀七百八十七；大馀十三，  小馀十六；  徒维执徐      三年。
  十二：大馀三，    小馀一百九十五；大馀十八，  小馀二十四；祝犁大芒落    四年。
闰十三：大馀五十七，小馀五百四十三；大馀二十四，无小馀；    商横敦牂  後元元年。
  十二：大馀二十一，小馀四百五十；  大馀二十九，小馀八；    昭阳汁洽      二年。
闰十三：大馀十五，  小馀七百九十八；大馀三十四，小馀十六；  横艾涒滩  始元元年。
正西
  十二：大馀三十九，小馀七百五；    大馀三十九，小馀二十四；尚章作噩      二年。
  十二：大馀三十四，小馀一百一十三；大馀四十五，无小馀；    焉逢淹茂      三年。
闰十三：大馀二十八，小馀四百六十一；大馀五十，  小馀八；    端蒙大渊献    四年。
  十二：大馀五十二，小馀三百六十八；大馀五十五，小馀十六；  游兆困敦      五年。
  十二：大馀四十六，小馀七百一十六；无大馀，    小馀二十四；彊梧赤奋若    六年。
闰十三：大馀四十一，小馀一百二十四；大馀六，    无小馀；    徒维摄提格元凤元年。
  十二：大馀五，    小馀三十一；    大馀十一，  小馀八；    祝犁单阏      二年。
  十二：大馀五十九，小馀三百七十九；大馀十六，  小馀十六；  商横执徐      三年。
闰十三：大馀五十三，小馀七百二十七；大馀二十一，小馀二十四；昭阳大荒落    四年。
  十二：大馀十七，  小馀六百三十四；大馀二十七，无小馀；    横艾敦牂      五年。
闰十三：大馀十二，  小馀四十二；    大馀三十二，小馀八；    尚章汁洽      六年。
  十二：大馀三十五，小馀八百八十九；大馀三十七，小馀十六；  焉逢涒滩  元平元年
  十二：大馀三十，  小馀二百九十七；大馀四十二，小馀二十四；端蒙作噩  本始元年。
闰十三：大馀二十四，小馀六百四十五；大馀四十八，无小馀；    游兆阉茂      二年。
  十二：大馀四十八，小馀五百五十二；大馀五十三，小馀八；    彊梧大渊献    三年。
  十二：大馀四十二，小馀九百；      大馀五十八，小馀十六；  徒维困敦      四年。
闰十三：大馀三十七，小馀三百八；    大馀三，    小馀二十四；祝犁赤奋若地节元年。
  十二：大馀一，    小馀二百一十五；大馀九，    无小馀；    商横摄提格    二年。
闰十三：大馀五十五，小馀五百六十三；大馀十四，  小馀八；    昭阳单阏      三年。
正南
  十二：大馀十九，  小馀四百七十；  大馀十九，  小馀十六；  横艾执徐      四年。
  十二：大馀十三，  小馀八百一十八；大馀二十四，小馀二十四；尚章大荒落元康元年。
闰十三：大馀八，    小馀二百二十六；大馀三十，  无小馀；    焉逢敦牂      二年。
　十二：大馀三十二，小馀一百三十三；大馀三十五，小馀八；    端蒙协洽      三年。
　十二：大馀二十六，小馀四百八十一；大馀四十，  小馀十六；  游兆涒滩      四年。
闰十三：大馀二十，  小馀八百二十九；大馀四十五，小馀二十四；彊梧作噩  神雀元年。
　十二：大馀四十四，小馀七百三十六；大馀五十一，无小馀；    徒维淹茂      二年。
　十二：大馀三十九，小馀一百四十四；大馀五十六，小馀八；    祝犁大渊献    三年。
闰十三：大馀三十三，小馀四百九十二；大馀一，    小馀十六；  商横困敦      四年。
　十二：大馀五十七，小馀三百九十九；大馀六，    小馀二十四；昭阳赤奋若五凤元年。
闰十三：大馀五十一，小馀七百四十七；大馀十二，  无小馀；    横艾摄提格    二年。
　十二：大馀十五，  小馀六百五十四；大馀十七，  小馀八；    尚章单阏      三年。
　十二：大馀十，    小馀六十二；    大馀二十二，小馀十六；  焉逢执徐      四年。
闰十三：大馀四，    小馀四百一十；  大馀二十七，小馀二十四；端蒙大荒落甘露元年。
　十二：大馀二十八，小馀三百一十七；大馀三十三，无小馀；    游兆敦牂      二年。
  十二：大馀二十二，小馀六百六十五；大馀三十八，小馀八；    彊梧协洽      三年。
闰十三：大馀十七，  小馀七十三；    大馀四十三，小馀十六；  徒维涒滩      四年。
  十二：大馀四十，  小馀九百二十；  大馀四十八，小馀二十四；祝犁作噩  黄龙元年。
闰十三：大馀三十五，小馀三百二十八；大馀五十四，无小馀；    商横淹茂  初元元年。
正东
  十二：大馀五十九，小馀二百三十五；大馀五十九，小馀八；    昭阳大渊献    二年。
　十二：大馀五十三，小馀五百八十三；大馀四，    小馀十六；  横艾困敦      三年。
闰十三：大馀四十七，小馀九百三十一；大馀九，    小馀二十四；尚章赤奋若    四年。
　十二：大馀十一，  小馀八百三十八；大馀十五，  无小馀；    焉逢摄提格    五年。
　十二：大馀六，    小馀二百四十六；大馀二十，  小馀八；    端蒙单阏  永光元年。
闰十三：无大馀，    小馀五百九十四；大馀二十五，小馀十六；  游兆执徐      二年。
　十二：大馀二十四，小馀五百一；    大馀三十，  小馀二十四；彊梧大荒落    三年。
　十二：大馀十八，  小馀八百四十九；大馀三十六，无小馀；    徒维敦牂      四年。
闰十三：大馀十三，  小馀二百五十七；大馀四十一，小馀八；    祝犁协洽      五年。
　十二：大馀三十七，小馀一百六十四；大馀四十六，小馀十六；  商横涒滩  建昭元年。
闰十三：大馀三十一，小馀五百一十二；大馀五十一，小馀二十四；昭阳作噩      二年。
　十二：大馀五十五，小馀四百一十九；大馀五十七，无小馀；    横艾阉茂      三年。
　十二：大馀四十九，小馀七百六十七；大馀二，    小馀八；    尚章大渊献    四年。
闰十三：大馀四十四，小馀一百七十五；大馀七，    小馀十六；  焉逢困敦      五年。
　十二：大馀八，    小馀八十二；    大馀十二，  小馀二十四；端蒙赤奋若竟宁元年。
　十二：大馀二，    小馀四百三十；  大馀十八，  无小馀；    游兆摄提格建始元年。
闰十三：大馀五十六，小馀七百七十八；大馀二十三，小馀八；    彊梧单阏      二年。
　十二：大馀二十，  小馀六百八十五；大馀二十八，小馀十六；  徒维执徐      三年。
闰十三：大馀十五，  小馀九十三；    大馀三十三，小馀二十四；祝犁大荒落    四年。
右历书：大馀者，日也。小馀者，月也。端蒙者，年名也。
支：丑名赤奋若，寅名摄提格。
干：丙名游兆。
正北，冬至加子时；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。
======================================周髀算经
欲知北極樞。旋周四極。
　　當以夏至夜半時。北極南遊所極。
　　冬至夜半時。北遊所極。
　　冬至日加酉之時。西遊所極。
　　日加卯之時。東遊所極。
　　此北極璇璣四遊。
======================================周髀算经
历数之兴，其来尚矣。重黎是司，容成斯纪。推步天象，消息母子。
五胜轮环，三正互起。孟陬贞岁，畴人顺轨。敬授之方，履端为美。
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         (子正朔) (冬至)
         (59.940) (59.32)
正北，
BC104\12，00.000；00.000；太初元年  
BC103\12，54.348；05.008；         
BC102\13，48.696；10.016；         
BC101\12，12.603；15.024；        
BC100\12，07.011；21.000；天汉元年   
BC099\13，01.359；26.008；         
BC098\12，25.266；31.016；         
BC097\12，19.614；36.024；         
BC096\13，14.022；42.000；太始元年   
BC095\12，37.869；47.008；      
BC094\13，32.277；52.016；      
BC093\12，56.184；57.024；      
BC092\12，50.532；03.000；征和元年  
BC091\13，44.880；08.008；         
BC090\12，08.787；13.016；      
BC089\12，03.195；18.024；        
BC088\13，57.543；24.000；後元元年   
BC087\12，21.450；29.008；         
BC086\13，15.798；34.016；始元元年      
         
正西
BC085\12，39.705；39.024；         
BC084\12，34.113；45.000；         
BC083\13，28.461；50.008；      
BC082\12，52.368；55.016；         
BC081\12，46.716；00.024；      
BC080\13，41.124；06.000；元凤元年  
BC079\12，05.031；11.008；         
BC078\12，59.379；16.016；        
BC077\13，53.727；21.024；      
BC076\12，17.634；27.000；        
BC075\13，12.042；32.008；         
BC074\12，35.889；37.016；元平元年   
BC073\12，30.297；42.024；本始元年
BC072\13，24.645；48.000；         
BC071\12，48.552；53.008；     
BC070\12，42.900；58.016；      
BC069\13，37.308；03.024；地节元年  
BC068\12，01.215；09.000；   
BC067\13，55.563；14.008；      
正南
BC066\12，19.470；19.016；        
BC065\12，13.818；24.024；元康元年  
BC064\13，08.226；30.000；      
BC063\12，32.133；35.008；        
BC062\12，26.481；40.016；         
BC061\13，20.829；45.024；神雀元年  
BC060\12，44.736；51.000；        
BC059\12，39.144；56.008；     
BC058\13，33.492；01.016；         
BC057\12，57.399；06.024；五凤元年  
BC056\13，51.747；12.000；      
BC055\12，15.654；17.008；         
BC054\12，10.062；22.016；         
BC053\13，04.410；27.024；甘露元年   
BC052\12，28.317；33.000；        
BC051\12，22.665；38.008；         
BC050\13，17.073；43.016；         
BC049\12，40.920；48.024；黄龙元年   
BC048\13，35.328；54.000；初元元年   
正东
BC047\12，59.235；59.008；      
BC046\12，53.583；04.016；        
BC045\13，47.931；09.024；   
BC044\12，11.838；15.000；        
BC043\12，06.246；20.008；永光元年   
BC042\13，00.594；25.016；        
BC041\12，24.501；30.024；      
BC040\12，18.849；36.000；        
BC039\13，13.257；41.008；        
BC038\12，37.164；46.016；建昭元年   
BC037\13，31.512；51.024；      
BC036\12，55.419；57.000；        
BC035\12，49.767；02.008；      
BC034\13，44.175；07.016；         
BC033\12，08.082；12.024；竟宁元年  
BC032\12，02.430；18.000；建始元年
BC031\13，56.778；23.008；      
BC030\12，20.685；28.016；      
BC029\13，15.093；33.024；    　
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故为术者，各生度法，或以九百四十，或以八十一。志第二　　律历中
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《史記·历术甲子篇》，比《汉书》中记载的太初历要精确。而且《历术甲子篇》应用到现在都误差不大。