四分历八议之六之四 对四分历“对模940等余算术”的赞颂

七秩龄童

   四分历八议之六之四

   对四分历“对模940等余算术”的赞颂

     两千五百年前，中国家世相传的历术畴人们，为便于历术推步，己娴熟地运用对模940等余（MOD940）等，和多种进位制的混合运用算术。

     中华传统历法是对日、月、地（球）三体过动长期科学观察经验的累积，也是对上述三体运动所作数象的科学抽象。

     比方说：在四分历历术推步中，对朔数小余满940分，进位大余加1，小余销零，使得 608 + 499 ≡ 167，499×2 ≡ 58，等，都是逢940进位和销零算术的娴熟运用。比如说，古人在历算推步运算中，对于比较大的小余数，加（+）499分，可变相以减（-）411替代；对于比较小的小余数，加（+）499分，则以加（+）500减（-）的方法替代，则己经进一步熟悉了+940 ≡ -940，+499 ≡- 411之类正负数运算间的初步关系。我先生曾谙习司马迁《史记•历术甲子篇》所载940个朔数小余与其所在积月月序的对应，比如小余001，固然是推到积月月序第859月始出现的，而小余2，也是推步至第778积月出现的，因此史纪先生归纳总结出：小余1分，月序第859位，由小余2分，月序正好是859×2 = 1718 ≡ 778分。古人见及，或不至此，但从0分（≡940）开始，朔数小余每加一分，月序次第则向前移81位，至小939分，移到第081位，其间940次运算，得数无一错失，也足使吾人对祖先运算之精确，感恩载德的了。

     中华历法是日月并行的双轨合一制历法，四分历关于朔数小余与其所处积月月序关系，至少揭示了自然界历象数据，是依特定的秩序构架，而非杂乱无章的任意堆砌。

     四分历术中使用对模940等余算术的第二大特点是使中华历法的历数撒布均匀，无使小月、大月、闰年、常年发生簇聚在一起的杂乱现象，也不会发生现在用于授时使用的定朔、定气历术那样，有三连大月（三个历月连着月30天，如：1901、1902、1909、1910、1919、1920、1927、1929、1936、1937、1945、1955、1958、1963、1964、1966、1971、1982、1989、1991、1994、2015、2017、2025、2035、2044、2056、2060、2061、2069、2077、2080、2082、2087、2090、2095、）四连大月（四历月连着月30天，如：1928、1990、2052、），二连小月，一闰年多现无中气月（如：1984-1985：十、正月，2033-2034：七、十一、正月，2056-2057：九、十一、正月，）等怪现象的发生。

     最受关注的是一封闭系统中58对由朔小余分对连大月的安排。在连大月的分配中，若无对模等余算式限定，可能会造成如同定朔分配中出现的三至四个月都是30天的分布极不匀称的可能，而用对模等余关系式“[499n]（MOD940）”进行分配的结果，这58对连大月虽然集中在朔余分882分-939分末段，但却出现在积月月序整个封闭区间，其分布情况十分谐和。