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可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。
——李约瑟
一、引子
1、先秦时代
正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不同的文明在遥远的东方，也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为，在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔，远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间，出现了传说中的五帝,之后，相继出现了一系列的王朝。虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录，仍有相当多的资料流传下来。
与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行，但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代，又出现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式，分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待。关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载，“（夏禹治水）左规矩，右准绳”，“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来确定垂线的器械，或许这算得上是几何学的早期应用。
更为难得的是，与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个时代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家，那是盛产哲学家的年代。其中，“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并在此基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家，对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙，“小一”相当于赫拉克利特的原子。
惠施（约公元前370-前310）是哲学家，宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子。他曾任魏相15年，主张联合齐楚抗秦，政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友，又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辩论。他死后，庄周叹息再无可言之人。惠施涉及数学概念的精彩言论尚有
矩不方，规不可以为圆；
飞鸟之影未尝动也；
镞矢之疾，而有不行、不止之时；
一尺之棰，日取其半，万世不竭；
等等，可以看出，这与早他一个世纪的希腊人芝诺所发明的悖论有异曲同工之妙。惠施的后继者公孙龙以“白马非马”之说闻名，虽然在逻辑学上分开了“一般”和“个别”，却未免有诡辩之嫌了。
可惜的是，名、墨两家在先秦诸子中属于例外，其他包括更有社会影响力的儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，只注重治国经世、社会伦理和修心养身之道，这与古希腊学派的唯理主义有很大的差异。始皇帝统一中国以后，结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书。到汉武帝时（公元前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，均失去进一步发展的机会。不过，由于社会稳定，加上对外开放，经济出现了空前的繁荣，带动数学在实用和算法方向发展，也取得了较大的成就。
2、《周髀算经》
公元前47年，亚历山大图书馆在尤利西斯·凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉夺取政权。后者是托勒密13世的次女，先后与她的两个弟弟托勒玫13世和14世，以及她和凯撒的儿子托勒密15世共同执政。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段，即西汉后期。一般认为，中国最重要的古典数学名著《九章算术》就是在那个年代（公元前1世纪）成书的，而最古老的数学著作《周髀算经》的成书应该在此以前。
值得一提的是，对中国古代科学技术史很有研究的英国科学史家李约瑟虽然认同《九章算术》代表了比《周髀算经》更为先进的数学水准，但他却认为，我们对后者所能给出的确切的成书年代比起前者来还要晚两个世纪。显而易见，这是数学史家和考古学家的一大遗憾。李约瑟在其巨著《中国科学技术史》里叹息道，“这是一个比较复杂的问题……书中有部分结果是如此古老，不由得相信它们的年代可以追溯到战国时期。”
《周髀算经》不仅成书的年代无法考证，连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别。这部著作中最让人感兴趣的数学结果有两个。一个当然是勾股定理了，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前，但是没有欧几里得在《几何原本》之第一卷命题47中所提供的证明。有意思的是，该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。
周公是文王之子，武王之弟。武王卒后，他又摄政，亲自平定了叛乱，7年之后还政于成年的成王。商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理。书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：
……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。
不难看出，这是从天文测量中总结出来的规律。在中国古文里，勾和股分别指直角三角形中较短和较长的直角边，而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表。《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所谓的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用。
此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，表明平方根已经被应用了。值得一提的是，该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩，这无疑表明已经需要测量术和应用数学了。此外，书中还有几何学产生于计量的个别观点。李约瑟认为，这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣。
值得欣慰的是，公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理。他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的。如图所示，直角三角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图形，其面积应该为a^2 + b^2。如果将该合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到原三角形的斜边c为边长的正方形，其面积恰好是c^2，故而有
a^2 + b^2 = c^2。
3、《九章算术》
与《周髀算经》不同的是，《九章算术》虽然作者和成书年份不详，但是基本可以确定，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来，并经过西汉时期的两位数学家删补。其中为首的张苍也是著名的政治家，曾为汉文帝的丞相，在位期间亲自制订了律法和度量衡。一般认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶期间经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
《九章算术》采用问题集的形式，264个问题分成9章，依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。可以看出，这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是面积和体积的计算，这与欧几里得的《几何原理》恰好相反。其中的三章栗米、衰分、均输集中讨论了数字的比例问题，这与希腊人用几何线段建立起来的比例论形成了鲜明的对照。“衰分”就是按一定的级差分配，“均输”则是为了解决粮食运输负担的平均分配。
书中最有学术价值的算术问题应该是所谓的“盈不足术”。为求方程f(x) = 0 的根。先假设一个答数为x_1，f(x_1) = y_1，再假设另一个答数为x_2， f(x_2) = y_2，求出
x =(x_1y_2 + x_2y_1) / (y_1+y_2) = (x_2 f(x_1) - x_1 f(x_2)) / (f(x_1) - f(x_2))，
如果f(x)是一次函数，则这个解答是精确的；而对于非线形函数，这个解答只是一个近似值。因此，在今天看来，盈不足术相当于一种线形插值法。
在13世纪意大利数学家斐波那契所著《算经》中有一章讲“契丹算法”，指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丹。可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之路，经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的。值得一提的是，1983年，在湖北张家界一座汉初古墓里出土了一部竹简《算数书》，已经谈到“盈不足术”了，而这本书的成书年代被认为比《九章算术》要早两个世纪。
在代数领域，《九章算术》的记载就更有意义了。“方程”一章里，已经有了线性联立方程组的解法，例如
x + 2y + 3z = 26
2x + 3y + z = 34
3x + 2y + z =39
但《九章算术》没有表示未知数的符号，而是把未知数的系数和常数排列成一个如下的矩阵（方程）图表，
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
再通过相当于消元法的“遍乘直除”法，把此“方程”前三行转化成只有反对角线上有非零元，即
0 0 4
0 4 0
4 0 0
11 17 37
从而求得解答。考虑到消元法在西方被称为“高斯消元法”，难怪“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠。
除了“方程术”以外，《九章算术》中提到的另外两个贡献也非常值得称道。一是正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术，甚至有“若开之不尽者，为不可开”的语录。前者说明中国人很早就使用了负数，相比之下，印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚。后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的，因此并没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处，后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。
在《九章算术》对几何问题的处理上，可以看出我们祖先的不足，例如“方田”里的圆面积计算公式表明，对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3，误差就更大了。不过，书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的。《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化，正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是，书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。
二、从割圆术到孙子定理
1、刘徽的割圆术
公元391年，在亚历山大城，由于基*督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突，一群基*督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙也未逃厄运。那一年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分*裂，隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代。在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起，于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”。
（*张衡（78-139），以制造出世界上第一台测地震的仪器——地动仪闻名，同时曾采用730/232（≈3.1466）为圆周率（如属实，当在刘徽之前），可惜其数学著作已经失传；此外，他还是著名的文学家和画家。）
所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也，亦称魏晋风流。名士们崇尚自然、超然物外，率真任性而风流自赏。他们言词高妙，不务世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。尊《周易》、《老子》和《庄子》为“三玄”，以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种风气，魏末晋初，以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表。作为士大夫意识形态的一种人格表现，“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。
在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。上一节我们提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物，成就更大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证，我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》。因此，难以断定两人哪个在先，反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的。
刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补。为了绕过这一障碍，一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样。刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。
确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，他称之为“牟合方盖”。刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为л/4，这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式，以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式。不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路。
除了对《九章算术》逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文，后来又单独刊行，称为《海岛算经》。书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍。当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术，用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆内接正多边形去逼近圆，他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍，并计算出每次所得的正多边形的周长和面积。他写到，
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
刘徽注意到，利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出。这样一来，计算才比较方便，到第5次时，就得到正 边形的边长，由此得到的圆周率为
л≈157/50 = 3.14
这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的，只不过后者利用了圆的外切和内接正多边形，因此只算了 边就得到同样的值。在注文中（尚未证实是否刘徽所为，但应算到正 边形的边长）得出了
л≈3927/1250 = 3.1416.
鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109年，宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的其他人均是以其故乡命名，由此可以推断，刘徽是山东人，因为含淄字的县级地名只有淄博和临淄，而按照《汉书》的记载，淄乡只有邻近淄博的邹平县有。作为儒学发祥地的齐鲁之邦，经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚，这使得刘徽受到良好的文化熏陶，并置身于辩难之风。从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎。
2、祖氏父子
在刘徽注释《九章算术》的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。
可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了103年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。
在《隋书》里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，
3.1415926 < л < 3.1415927
精确到小数点后第7位。这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小数点后17位。遗憾的是，没有人提到他具体的计算方法。一般认为，祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明了他是个很有毅力的人，事实上，如果按照割圆术的方法，需要连续算到正24576边形，才能得到上述数据。
同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项重要成果，即约率：22/7，密率：355/113。约率与阿基米德的结果一致，即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位。在现代数论中，如果将л表示成连分数，则其渐进分数为，
3/1，22/7，333/106，355/113，103993/33102，104348/33215，KK
第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。
1913年，东瀛数学史家三上义夫（1875-1950）在其有重大影响的著作《中国和东瀛的数学之发展》里，主张把 这一圆周率数值称为“祖率”。在欧洲，直到1573年，这个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是，时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的，尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。
所谓“调日法”的基本思想如下：假如a/b，c/d分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数 （ma+nc）/（mb+nd）有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的，他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择m=1，n=9，或在3/1（古率）和22/7之间选择m=1，n=16，均可获得355/113（密率）。我们可以推测，祖冲之用“调日法”求得密率后，再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样。
和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算。此项结果在他本人撰写的一篇政论文章《驳议》（收入《宋书》）里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》，可惜后者失传了。有趣的是，唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注文中称为之“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅，祖冲之的儿子，在数学上也有许多创造。因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式归功为他们祖氏父子共同获得的结果。
按照李淳风的描述，祖氏是这样计算“牟合方盖”的体积的，先取以圆半径r为边长的一个立方体，以一顶点为心，r为半径分纵横两次各截立方体为圆柱体。如此，立方体就被分成四部分：两个圆柱体的共同部分（内棋，即牟合方盖的1/8）和其余的三个部分（外三棋）。他们先算出“外三棋”的体积，这是问题的关键，他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与一个内切的倒方锥相等。而这个倒方锥的体积是立方体的3/1，因此内棋的体积便是立方体的2/3。
最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之比为4/л的结果，就得到阿基米德的球体积计算公式，
V =（4/3）лr^3
正如中国当代数学史家李文林所指出的，“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是嘎然而止。”祖冲之的《缀术》在隋唐曾与《九章算术》同列为官方的教科书，国子监的算学馆也规定其为必读书之一，且修业的时间长达4年，并曾流传到朝鲜和东瀛，可惜在公元10世纪以后却完全失传了。
3、孙子定理
公元639年，阿拉伯人*大举入侵埃及，此时罗马人早已退出，埃及在行政上受拜占廷控制，拜占廷军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离，亚历山大学术宝库里仅存的那些残本也被入侵者付之一炬，希腊文明至此落下了帷幕。此后，才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉了伊斯兰教。那会儿，在中国正逢大唐盛世，太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代，疆域的领土也不断扩大，首都长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地，中国与西域等地的交往十分频繁。
虽说在数学上，唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树。唐代不仅延袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，设立了“算术博士”*的官衔，还在科举考试中设置了数学科目，通过者授予官衔，可是级别最低，且到晚唐就废止了。事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义的，不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴颇为相似。长达近三百年的唐代在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治下令编撰的。
奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外，他更以天文学上的成就闻名。 在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里，他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年，一位英国学者才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外，《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题，并以此传世。
《孙子算经》的作者不详，一般认为是公元4世纪的作品，作者可能是一位姓孙的数学家。该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
这相当于求解下列同余方程组
n ≡ 2 （mod 3）
n ≡ 3 （mod 5）
n ≡ 2 （mod 7）
《孙子算经》给出的答案是23，这是符合上述同余方程组的最小正整数。不仅如此，书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数。这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一行曾用此法制订历法，但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完美和最值得骄傲的结果，它出现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理。
（* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。）
《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人，书中最后一道题堪称亮点，通常也被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z，此题相当于解下列不定方程组的正整数解
x + y + z = 100
5x + 3y + z/3 = 100
张丘建给出了全部三组解答，即（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元成为参数。今天我们知道，多元一次方程均可以给出一般解。类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出。遗憾的是，张建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结，他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明。
《缉古算经》是十部算经中最晚成书的，作者王孝通是初唐人，曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详。这部书也是一系列实用问题集，但对当时的人来说难度很大，主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解决。尤其值得一提的是，书中给出了28个形如
x^3 + p x^2 + qx = c
的正系数方程，并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根，但没有具体的解法。在世界数学史上，这是关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
三、宋元六大家
1、沈括和贾宪
虽说唐朝的经济和文化繁荣，可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地，官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重，黄巢农民起义后，参与镇*压的节度使势力大增。到公元907年，中国再次转化为分*裂状态，五代开始了。短短的半个世纪时间里，更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周，首都改设开封或洛阳。战乱的后果造成了经典著作的失传，祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方，也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐，它的最后一个皇帝李煜因国破被虏而成为一代词人。
公元960年，军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝。不流血的政*变之后，他又“杯酒释兵权”，让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化，散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个文学颠峰，商业的繁荣、手工业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛的应用）则为数学的发展注入新的活力。尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便，刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。
虽说李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过，并未提高到“定理”的高度，但他却指出，宋代（南宋）出现了一批中国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后，正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。不过，在谈论这四个人之前，我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括于1086年完成了一部《梦溪笔谈》，也算中国古代科学史上的一朵奇葩。
沈括系进士出身，曾参与王安石变革运动，后出使辽国，回来后任翰林学士，政绩卓著。他每次旅行途中，无论*公务多么繁忙，都不忘记录下科学与技术上有意义的事情，堪称中国古代最伟大的博物学家。《梦溪笔谈》几乎囊括了所有已知的自然科学和社会科学，例如，发现了夏至日长、冬至日短，在历法上他大胆提出12节气，大月31日，小月30日；在物理学上，他做过凹面镜成像和声音共振实验；在地理学和地质学上，则以流水侵袭作用解释奇异地貌成因，从化石推测水陆变迁，等等。
现在我们来谈谈沈括书里有关数学方面的记载。在几何学方面，为了测量的需要，必须要确定圆弧的长度，为此他发明了一种局部以直代曲的方法，后来成为球面三角学的基础。在代数学方面，为了求出垒成棱台形状的酒桶的数目（这里酒桶每层纵横均有变化），他给出的是求取连续相邻整数平方和的公式，这是中国数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子。沈括还认为数学的本质在于简洁，并指出“大凡物有定形，形有真数”，这与毕达哥拉斯的数学思想颇为接近。
相比之下，我们对与沈括同时代的贾宪所知甚少，只知道他写过一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，可惜已经遗失。幸运的是，这部著作里的主要内容两百年后被南宋数学家杨辉摘录进他的《祥解九章算法》（1261）。此书*记载了贾宪的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础，它实际上是一张二项系数表，即（x+a）^n (0≦n≦6)展开的各项系数,
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
此后，这个三角形就被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，它的出现比法国数学家帕斯卡尔的发现早了6百多年。不仅如此，贾宪还把这个三角形用于开方根的计算，取得了意想不到的效果，被称为“增乘开方法”。
2、杨辉和秦九韶
早在五代时期，在东北和蒙古一带还有一个契丹族建立的辽国，始于唐朝末年。宋朝建立之初，太宗还亲自率兵或派兵攻辽，不久却渐渐转而处于守势。最后，宋朝只好纳贡视好，开创了一个向番邦定期交付财物的先例。当时，受辽国欺压的还有一个善于骑马的女真族，生活在黑龙江流域，他们强盛起来后建立了金国，并出兵灭了辽国。之后，又向南进攻北宋的都城卞京（开封），俘虏了徽宗和钦宗父子。后钦宗之弟高宗被拥为皇帝，迁都杭州（1127），改称临安，史称南宋。
虽然北方的威胁仍在，但南宋人的生活却过得有滋有味，在经济、文化上甚至更为繁荣。数学家杨辉和沈括同乡，也是临安（杭州）人，虽然他的生卒年不详，但我们知道他生活在13世纪，并曾在台州、苏州等地做地方官，业余时间研究数学。从1261年到1275年这15年间，杨辉独*立完成了5种数学著作，包括前文提到的《祥解九章算法》。他的书写得深入浅出，走到那里都有人请教，因此他、也被认为是一位重要的数学教育家。
在前节提到的贾宪的增乘开方法之后，杨辉接着举了一个实例，说明它是如何用来解四次方程。这是一种高度机械化的方法，可以适用于开任意次方程，与现代西方通用的霍纳方法（1819）基本一致。此外，杨辉还利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式，由于捷算法的需要，他（在中国）率先提出了素数的概念，并找出了200到300之间的全部16个素数。当然，杨辉对素数的研究远远落后于欧几里得，无论是时间上还是完整性上。
不过，我认为杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面，古人称之为纵横图。谈及幻方（Magic Squares），它最早源于中国，在《易经》这部我国最古老的典籍（至晚公元前11世纪）里就有一幅叫洛书的数字图表，传说是治水的大禹于公元前2200左右在黄河岸边一只神龟背上所见，用阿拉伯数字写就是
4 9 2
3 5 7
8 1 6
在这张表中，各行、各列或对角线上的三个元素相加均为常数。在13世纪以前，中国数学家并没有认真对待它，只把它看成一种数字游戏，甚至笼罩着一层神秘色彩。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质，他以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的。
杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方。对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法，但他所画的5阶、6阶乃至10阶的幻方全都准确无误，可见他已经掌握了构成规律，他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505。在欧洲，这方面的发现和研究要晚许多，第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图，与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒的名作《忧郁》（1514）中，也出现了一个4阶幻想，与杨辉举过的一个例子只是互换了行列。
相比杨辉对数学研究的孜孜不倦，秦九韶（1202-1261）的学术生涯比较短暂。他出生在四川，故乡长年处于兵荒马乱之中，后随家人移居京城（临安），几年以后复又回到老家。成年后他再度出川东下，在湖北、安徽等地做地方官，最后定居浙江湖州。据说秦九韶为官贪婪、生活糜烂，在南京做官期间，母亲去世，他离任返回湖州奔丧。正是在湖州守孝的三年时间里，他刻苦研究数学，写出了传世的著作《数书九章》。
《数书九章》同样也是各类问题集，其中最重要的两项成果是“开方正负术”和“大衍总数术”。“开方正负术”给出了一般高次代数方程，即
a_0 x^n + a_1 x^(n-1) +L+ a_(n-1) x + a_n = 0
的解的完整算法，其系数可正可负。具体做法是先让常数项系数为负，接下来的做法与贾宪-杨辉使用的大体相同，但有所简化。秦九韶共举了21个高次方程的例子，其中次数最高的是10次方程。
“大衍总数术”则明确地给出了孙子定理的严格表述，用现代数学语言来讲就是，设m_1，m_2，……，m_k是两两互素的大于1的正整数，则对任意的整数a_1，a_2，L，a_k，，下列一次同余式组关于模m=m_1m_2Lm_k有且仅有一解
x ≡ a_i (mod m_i) ， 1≦i≦k
秦九韶并给出了求解的过程，为此他需要讨论下列同余式
a x ≡1 (mod m)
他用到了初等数论里的辗转相除法（欧几里得算法），并称此为“大衍求一术”。这个方法是完全正确并十分严密的，至今仍出现在《初等数论》的教科书中。可是由于古代中国没有素数这个概念，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶没有给出证明。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。
在欧洲，18世纪的欧拉和19世纪的高斯分别对一次同余式组进行了细致的研究，重新获得与孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给予严格的证明。在英国传教士、汉学家伟烈亚力所著的《中国数学科学札记》出版后，欧洲学术界才认识到中国人在这方面的开创性工作，之后秦九韶和“中国剩余定理”的名字也传开了。人们一致认为，“开方正负术”和“大衍总数术”这两项工作均达到了当时的世界先进水平。可是，当秦九韶守孝完毕，复返官场，他又沉湎于追逐功名利禄，没再在数学上做出贡献。
3、李冶和朱世杰
正如杨辉和秦九韶一直生活在南方，南宋的另外两位大数学家李冶和朱世杰则世居北方。李冶（1192-1279）出生在金国统治下的大兴（北京郊外），原名李治，后来发现与唐高宗同名，随减去一点。李冶的父亲是一位为人正直的地方官，同时又是博学多才的学者，他自小受其影响，认为学问比财富更可贵。李冶年轻时便对文史、数学均十分感兴趣，后来考中进士，被赞为“经为通儒，文为名家”。不久蒙古的窝阔台军队侵入，他没有赴陕西上任，改到河南任知事。
公元1232年，蒙古人侵入中原，已经40岁的李冶换好平民服装，踏上漫长而艰苦的流*亡之路。两年后金朝灭亡，可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方（元朝），一来南宋和金素来为敌，二来忽必烈（元世祖）礼遇金朝的有识之士（曾三度召见他）。这是李冶一生的转折点，将近半个世纪的学术生涯开始了（他比丢番图还多活三年）。他返回河北老家，买下一块地产，开始收徒讲学，从事数学研究和教育活动。或许李冶觉得，数学可以让他远离政治。
李冶一生著述甚多，最让他得意的是《测圆海镜》（1248），此书奠定了中国古代数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法，在《九章算术》中是用文字叙述的方式建立二次方程的，尚没有未知数的概念。到了唐代，已有人列出三次方程，却是用几何方法推导，需要高度的技巧，不易于推广。此后，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，方程次数不能高过三次。直到北宋，贾宪等人才找到了高次方程正根问题的基本解法。
可是，随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种更一般的、能建立任意次方程的方法，天元术便应运而生了。李冶意识到，只有摆脱几何的思维模式，建立一整套不依赖于具体问题的普遍程序，才能实现上述目的。为此，他首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为某某”，“天元一”表示未知数。在这里，未知数有了纯代数意义，二次方不必代表面积，三次方也不必代表体积，常数项也可正可负。至此，困扰中国数学家一千多年的任意n次代数方程的表达便变得非常容易了。
不仅如此，李冶还引进记号○来代替空位，这样一来，传统的10进制便有了完整的数码。由于在南方，比《测圆海镜》早一年问世的《数书九章》也采用了同一记号，因此〇号在中国迅速得以普及。除了〇号以外，李冶还发明了负号（在数字上方加划一斜线）和一套相当简便的小数记法，这两种记号比欧洲人分别早了2个世纪和4个世纪，也使得中国的代数学“半符号化”，因为尚缺少等号等运算符号。既然有如此先进的思维，李冶必然是个有哲学头脑的人，他认为数虽奥妙无穷，却是可以认识的。
李冶去世那年，正好南宋也被元灭亡了。此前，南北方之间包括数学在内的交流是非常少的。朱世杰在“宋元四大家”中出生得最晚，因而幸运地得以博采南北两地数学之精华。由于朱世杰一生未入仕途，我们对他的家世和生卒年一无所知，现有的资料是从友人为他的两部著作《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）所作的序言里获得的。与李冶一样，朱世杰也出生在北京附近，但那时元已灭金，北京（燕京）已成为重要的政治和文化中心。
经过了长达20多年的游学之后，朱世杰终于在扬州安定下来，在那里刊印了前面提到的两部数学著作。《算学启蒙》从简单的四则运算入手，一直讲到当时数学的重要成就——开高次方和天元术，包括了已有数学的方方面面，形成了一个完备的体系，是一部很好的数学启蒙教材。可能受南宋日用和商用数学的影响，以及杨辉著作的启发，朱世杰在书的最前面给出了包括乘法九九歌诀、除法九归歌诀等口诀，以利于更多的人阅读。
据史载，明世宗也曾学习《算学启蒙》，并与大臣商讨过，可是到了明末这部书却在中国失传。好在它出版不久便流传至朝鲜和东瀛，并被多次注释，对东瀛的和算尤有影响，直到清朝道光年间（1839），才在它的诞生地扬州依据朝鲜的一个版本重新刻印。与《算学启蒙》的通俗性相比，《四元玉鉴》则是朱世杰多年研究成果的结晶，其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，这就是所谓的“四元术”。
朱世杰的“四元术”是这样的，令常数项居中，然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。也就是说，他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w。例如，方程 x + 2y +3 z + 4w + 5xy + 6zw = A 可以表示成下列图表
4 6
2 A 3
5 1
朱世杰不仅给出了这种图表的四则运算法则，还发明了消元法，可以依次消元，最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解。在欧洲，直到18世纪，才由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法（譬如矩阵）对消元法进行了较为全面的研究。除了四元术以外，朱世杰还对高阶等差级数求和做了深入探讨，在沈括、杨辉工作的基础上，给出了一系列更为复杂的三角垛的计算公式，并在牛顿（1676）之前给出了插值法（招插术）的计算公式。
比利时出生的米国人乔治·萨顿（1884-1955）被公认为是科学史这门学科的奠基人，并享有“科学史之父”的美名，“萨顿奖章”是科学史界的最高荣誉，而第一个获奖人就是他自己（1955年，李约瑟也曾在1968年获此奖），萨顿精通包括汉语、阿拉伯语在内的14种文字，是中国语言学家赵元任留学哈佛时的导师。就是这样一个萨顿，他评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，并称赞《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。
四、结束语
遗憾的是，《四元玉鉴》之后，元朝再无高深的数学著作出现。到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展，《几何原本》等西方典籍也传入了中国，却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱，禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元，数学家看不懂祖先取得的增乘开方法、天元术、四元术。汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大多失传。直到清朝后期，才出了一个李善兰，他是近代科学的先驱人物和传播者。可惜，由于当时的中国数学已经远远落后于西方，李氏一个人已经无力追赶。
写到这里，我想提一下深受中国文化影响的东瀛数学，在明末清初中国数学停滞不前状态时，江户（今东京）诞生了数学神童关孝和（1642-1708）。关仅比牛顿大几个月，后来被公认为是东瀛数学的奠基人。关的养父是一位武士，他自己也曾担任慕府直属的武士和首相府的会计检查官。他改进了朱世杰饿天元术算法，建立起了行列式的数学理论，比莱布尼兹的理论更早也更广泛。在微积分学方面他也有重要发展，只是由于武士的谦逊和各学派之间的保密，我们不知道那些成就属于他个人。他和他的学生组成的“关流”是和算最大的流派，他本人被尊称为东瀛的“算圣”，
综观包括中世纪在内的古代中国数学史，数学家们大多是在以八股文取得一定的功名之后，才从事自己喜欢的数学研究。他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心，只能以文养理或以官养理。这样一来，就难以全身心地投入研究。以数学进步较快的宋朝为例，多数数学家出身低级官吏，他们的注意力主要放在平民百姓和技术人员关心的问题上，因此忽略了理论工作。即使是著述，也大多以注释前人著作的方式进行。
不过，若是把中国古代数学与其他古代民族，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学，甚至中世纪的欧洲各国进行比较，还是很值得骄傲的。希腊数学就其抽象性和系统性而言，以欧几里得几何为代表，它的水平无疑是很高的，但在代数领域，中国人的成就不见得逊色，甚至可能略胜一筹。中国数学的最大弱点是，缺少一种严格求证的思想，为数学而数学的情形极为罕见（一个突出的例子是规矩和欧几里得作图法的差异），这一点与贪求功名的文人一样，归因于一种功利主义。
功利主义当然有它的社会根源，学者们总是首先致力于统治阶级要求解决的问题。在中国古代，数学的重要性主要是通过它与历法的关系显现出来，后者因为与信仰有关而成为帝王牢牢掌控的一个特权。赵爽证明勾股定理以后，便用它来求取某些与历法相关的一元二次方程的根；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圆周率，目的是为了准确地计算闰年的周期；而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年的推算，后者可以帮助确定回归年、朔望月等天文常数。
在古代中国，一旦农业连续几年欠收，饥荒导致人口减少，统治者便担心民众造*反，尤其是农民揭竿起义。把责任归咎于历法不够准确，影响了农事，无疑是一种很好的借口和逃脱。如此一来，朝廷便会颁布诏书，着令学者们重新制订历法。这样一来，数学家们便忙碌开了，其结果必然是，最杰出的头脑总是围绕着那几个古老的计算问题，他们普遍缺乏开创新天地的勇气和胆量。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 暗香 在 2008年10月30日 11:36am 时添加 -=-=-=-=-
数学的发展与展望
数学作为一门独*立的自然科学学科已被广泛认同。人们常把数学形象地比喻成一株枝叶茂密的大树，它包含着并且一直还在生长出越来越多的分枝。按米国《数学评论》（Mathematical Reviews）杂志的分类，数学包括了约60个二级学科，400多个三*级学科。面对如此庞大的知识系统，即便是职业数学家也往往只能熟悉一、二个专门的领域。因此，对于非数学专业大学生，本章所要介绍的数学只能是常识性的、基本的内容。此外我们力图给出一些容易理解的、趣味性强的、或者美的数学内容。
第一节 数学的概念、特征和作用
1.1 什么是数学
我们谈论数学，自然会关心“什么是数学”这个问题。
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。数学发展到今天，可以说它是不得不“由对象下定义”朝着“由方法下定义”。从亚里士多德给出第一个定义——数学是量的科学——以来，不少数学家、哲学家探索过这个问题，发表过不同的观点，如笛卡尔、恩格斯、希尔伯特等。迄今为止，可以找出十余种数学定义（参见文献 [1,2]。现在普遍接受的数学定义是：对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，……。这些模式可以是现实的，也可以是想象的，可以是定量的，也可以是定性的。
趣话2.1 汉字“算”和“数”的字源及其分析：“算”的一个古体是“祘”，它由两个示（读qi）字组成。依《说文解字》知，“示，神事也”。依甲骨文解释，其上部“二”表“上”，下部“小” 表示“日，月，星”。分明是说“祘”字源出于神事和占星。再看“婁攴”字，左部“婁”字表示一串绳结；右部“攴”（Pu）字的上部为“卜”，下部“又”（攵）表右手；合起来，左部表示“结绳记数”，右部表示“占卜”。这说明数学和占卜神事有“血缘渊源”。另一方面，古代中国将数学叫做“算术”，意指“数学是计算的方法和技术”。它显示出数学定义的雏形。这一点很重要，它体现我国古代数学家对数学的原始观念。还有就是我国古代数学书名不是算术、算经、算法等，就是缀术、数术、历象术等，很少用数学作书名的。直到南宋大数学家秦九韶始用《数书九章》作书名。我国传统将数学称作算学，直到60多年前科学名词审定委员会成立时，才决定采用数学一词。这也同时说明我国的数学家都是从研究方法上而不是以研究对象作为数学的特征的。这是中西数学家理解数学的原始观念不同的地方。
数学家小档案 2.1 秦九韶：南宋大数学家（公元1202--1261），四川安岳人。他的划时代巨著《数书九章》成书于公元1247年，内容丰富，精湛绝伦，特别是“大衍求一术”和高次方程的数值解法，在世界数学史上占有很高的地位。欧洲到1819年才由英国人霍纳提出高次方程的数值解法，而求解一次同余式则直到18、19世纪大数学家欧拉（1743年）和高斯（1801年）才获得相同的结果。米国科学史家萨顿称秦九韶是“他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一”。
《数书九章》，共八十一题，分为九大类，每类各有九题，每题又各立名目。九大类如表2.1：
表2.1 《数书九章》分为九大类
序号
类名
研 究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
大衍类
天时类
田域类
测望类
赋役类
钱谷类
营建类
军旅类
市易类
叙述“大衍求一术”
有关历法推算、降雨（雪）量的计算等
土地面积的计算
勾股重差问题
“均输”及税收等问题
粮谷转运和仓库容积问题
工程施工问题
营盘布置及军需供应问题
粮谷、布匹的交易及利息计算等问题
数学家小档案 2. 2 欧拉（Leonhard Euler 1707-1783）：瑞士巴塞尔人，他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。据统计，他一生共写下886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学占3%。几乎所有数学领域都可见到欧拉这个名字。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47年。更难能可贵的是他在双目完全失明的情况下，仍然以顽强的毅力，靠心算和记忆进行研究直到去世，长达17年，口述完成几本书和400余篇论文。
欧拉的风格是高尚的，拉格朗日是稍后于欧拉的法国大数学家，从19岁起与欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这导致变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法博得欧拉的高度赞扬，并压下自己的结果暂不发表，使年轻的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得了巨大的声誉。欧拉晚年的时候，欧洲的所有数学家都把他当作自己的老师。
欧拉的一生，是为数学的发展而奋斗的一生，他那杰出的智能，顽强的毅力，孜孜不倦的拼搏精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。
欧拉还创立了许多数学符号，如π(1736年)，i（1777年），Σ、Δx（1755年），e，sin/cos（1748年），f(x)（1734年）等。
数学家小档案2.3 高斯(Gauss C.F.,1777-1855)：德国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克。童年时就显示出超人的数学才能。十一岁发现了二项式定理。十五岁读完了牛顿、拉格朗日等的著名著作，并掌握了牛顿的微积分定理。十八岁进入戈丁根大学。大学一年级时，发明了用圆规和直尺进行正十七边形的作图法，解决了两千年悬而未决的几何问题。1807年获得戈丁根大学的数学和天文教授职位，并担任了该校天文台的台长。
高斯对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大的贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端，着有《曲面的一般研究》一书（1827）。他建立了最小二乘法，并曾发表有关这方面的著作。他沿着拉普拉斯的思想方法，继续发展了势论。他于1818年就提出了关于非欧几里得几何可能性的思想。生前虽未发表，但实际上他是非欧几里得几何学的创始人之一。此外，他对向量分析、关于正态分布的正规曲线、质数定理的验算等的研究也取得了成果。
在天文学方面，高斯研究了月球的运行规律。创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，能准确地预测出行星的位置。他利用这种计算法和最小二乘法，算出了意大利天文家皮亚齐（Piazzi G.，1746－1826）发现的谷神星的轨道，并于1802年发现了智神星的位置。1809年他发表了《天体运动论》一书，阐述了星球的摄动理论。
1820-1840年，高斯为了测绘汗诺华公园的地图，研究了测地学。写出了《对高等大地测量学对象的研究》一书，并发明了“日光反射器”。
1830-1840年，高斯与韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制；首创了电磁铁电报机。他还发表了地磁概论；绘出了世界上第一张地球磁场图；定出了磁南极和磁北极的位置。
高斯的著作很多，但在其生前并未全部发表出来。直到第二次大战前夕，才由戈丁根大学的学者们对其遗著进行整理研究，并出版了高斯全集，共11卷。其遗著中，最有意义的是高斯的日记，以及关于非欧几里得几何和椭圆函数论的数据。
1.2 数学的主要特征
数学具有两重性：内部的发展和外部的应用。数学本身的内部活力和对培育其发展的养分的需要，数学本身就是智力训练的学科。另外数学也是科学、工程、工业、管理和金融的基本工具和语言。内部特征如下：
特征之一：高度的抽象性。数学是一切科学中最抽象的学科。数学是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究。探究抽象模式结构中的对称性和规则性是纯粹数学的核心。
特征之二： 数学结果的精确性和持久性。精确性无须多言。而数学结果的持久性表现在两个方面。其一是有些结果也许数十年之后会以一种意想不到的方式找到重要应用（数论与密码学的关系就是一例）；其二是数学结果一经证明，决不会被否定，即使它们可能会被更强的结果所取代。如果我们对比天文学的“地心说”、物理学的“以太说”、化学的“燃素说”，就可以看出数学不同于其它学科的这一特征。
特征之三： 数学理论与结果的优美性。数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。数学理论的高度概括性和数学结果与公式的简洁、奇异、对称、和谐的优美之例比比皆是（见后附美例点滴）。可以说，数学理论和结果都是按美学标准建起来的。
1735年，德国的鲍姆伽藤（Baumgarten）首次提出美学这一名词，并且以此名撰写了一本专著。他因此被誉为美学之父。随后的康德、黑格尔等逐步建立了较严整的美学科学体系。美学是把人对现实的（即审美主体与审美个体所构成的）审美关系作为自己的研究对象。
数学美可简单地看成是数学活动者们（数学家、教师或学生等）在数学活动中可亲身体验及感受到的心历。
亚里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的。数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式。普洛克拉斯断言：哪里有数，哪里就有美。
罗素认为：数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美－一种像雕塑那样冷峻和严肃的美。
庞加莱说：数学家在他的工作中可体验到和艺术家一样的乐趣。
怀德黑比喻：作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学媲美。
波莱尔阐明：数学在很大程度上是一门艺术，她的发展总是源于美学准则，受其指导，据以评价的。
黑格尔曾讲：美可以有许多方面，这个人抓住的是这一方面，那个人抓住的是那一方面。
与其寻求一个数学美的严格定义（很难办到），不如我们去把握数学美的如下特征：
数学美在于发现隐含的真理。例如，代数基本定理隐含着多项式的唯一性定理并说明其部分可以决定整体。
数学美在于发现一般的规律。例如，圆周率刻划了所有圆的周长与直径的比。
数学美在于高度的抽象和统一。 例如，伽罗瓦群论；格拉斯曼外微分形式下的斯托克思定理。
数学美在于和谐，雅致。例如，费尔马与笛卡尔创立的解析几何学。
数学美在于对称、简捷。数学美在于有序。
数学美的社会性。数学使自然物具有人的本质的印记，也就是数学的社会性。它是数学美产生的本源。
数学美的宜人性。审美对象可使主体感到愉悦。一方面要会欣赏，另一方面，也是最根本的，还在于对象具有条件足以是主体感到愉悦。
一般说来，能够被成为数学美的对象（问题，理论和方法等）应该是：在极度复杂的事物中揭示出的极度的简单性、在极度离散或杂乱的事物中概括出的极度的统一性或和谐性。
中国古代的诗词妙句中到处都有数学美的佳句。请看（参考文献[3]）：
美例点滴2.1 李白的诗词“朝辞百帝彩云间，千里江陵一日还，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是公认的长江漂流的名篇，一幅轻快飘逸的画卷。“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈”等诗句借助数字达到了高度的艺术夸张。杜甫的诗句“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口。数字深化了时空意境。他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天两千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”表现出强烈的夸张和爱憎。柳宗元的诗句“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟衰笠翁，独钓寒江雪”中，数字具有强烈的对比和衬托作用，令人为之悚然。他的“一身去国六千里，万死报荒十二年”诗句和韩愈的“一封朝秦九重天，夕贬潮阳路八千”诗句一样，抒发迁客的失意之情，收到惊心动魄的效果。岳飞的千古绝唱“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的豪放佳吟“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的。
趣话2.2 秀才进京赶考： 明朝有一穷书生，历尽千辛万苦赶往京城应试。由于交通不便，赶到京城时，试期已过。经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十，再从十到一作一对联。穷书生想起自己的身世，当即一气呵成：一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九、八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中。几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了。主考官一看，拍案叫绝，当即将他排在榜首。
趣话2.3 文君复书： 西汉时期，司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷马，不复此过。”多情的卓文君却深为忧虑，就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠，作茧自缚。”说完，司马相如便上路了到了长安，勤奋读书，终于官拜中郎将。从此，他沉湎于声色犬马、纸醉金迷的生活。觉得卓文君配不上他了，处心积虑想休妻，另娶名门千金小姐。时光任苒，一转眼5年过去了。一天卓文君正暗字垂泪，忽然京城来了一名差官，交给她一封信，并说司马相如大人吩咐，立等回书。卓文君又惊又喜，拆开一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。” 卓文君一下子明白了，当了新贵的丈夫，已有弃她之意。卓文君回信写道：“一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱，急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断，噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。”司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责，越想越对不住这位才华出众、多情多义的妻子。后来他终于用高车驷马，亲自登门接走卓文君，过上了幸福美满的生活。试想一下，在上述妙语绝句中，如果没有数字与文字的结合，会如此精彩和美妙吗？
数学这块肥沃富饶的土地为人类培育出万千杰出的英才。欧几里德的几何原本、笛卡尔与费尔马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分、罗拔切夫斯基的双曲几何、黎曼的椭园几何、伽罗瓦的群论、康托的集合论、希尔伯特的几何基础、庞加莱的组合拓扑、奈万林纳的亚纯函数值分布理论、布尔巴基学派的数学原理、陈省身的纤维丛与示性类理论、华罗庚的典型域上的调和分析、冯康的有限元等等。他们都在数学史上写下光辉灿烂的一页，为数学的发展作出了不朽的贡献。
数学的语言和符号是静怡典雅的音乐。数学的模式是现实世界数形贡献优美的画卷。数学的抽象思维是人类智慧奥秒的诗篇。
目前数学研究的主要子领域如表 2.2 所示：
表 2.2 数学研究的主要子领域
子领域
研 究
数学基础
代数学和几何学
数论和代数几何
拓扑学和几何学
分析
概率论
应用数学
计算数学
统计学
数学的逻辑基础
结构、离散性
数和多项式的性质
空间结构、模式、形状
微积分的延伸和推广
随机性和不确定现象
自然中提出的问题
要用计算机来解决的问题
资料分析
这些子领域的边界既不是固定不变的也不是理由充分的，数学中的某些最有趣和富有成果的发展产生在子领域的边缘交叉处。某些研究领域出现在此分类中的若干个子领域中。如理论物理、数学物理出现在拓扑学和几何学、分析以及应用数学中。
数学的外部应用通常是在对现实生活中的物理学、生物学和商业等活动中碰到的事件或系统进行数学建模时所激发产生的。
数学建模的三个步骤：
1、并非是清楚明白的实际情况创建一个明确的数学模型。这种数学建模需要在忠于实际情形的模型要求和数学上易于处理的要求之间进行妥协。
2、通过解析或计算的方法或两者混合的方法来求解该数学模型。
3、开发在求解特殊数学模型时大概可以重复使用的一般工具。
由于数学建模的重要性，教育部（原国家教委）从1992年起已在全国范围内组织大学生数学建模竞赛，并将其纳入高等学校教学评估指标体系中。
数学的外部特征主要是应用的广泛性。
1.3 名家论数学
(1) 一种科学只有在成功地运用数学时，才算达真正完善的地步（马克思）。
(2) 数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现世界中得来的（恩格斯）。
(3) 数学中的转折点是笛卡尔的变量。有了变量，运动进入了数学；有了变量，辩证法进入了数学；有了变量，微分和积分也就成为立刻必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是他们发明的（恩格斯）。
(4) 不要怕困难，要学好物理，化学，尤其是数学（M）。
(5) 我们欢迎数学，SHZY建设需要数学（M）。
(6) 实际运用数学的范围是很高谈广阔的。将来不管你们研究哪一门科学，不管你们进哪一个大学，不管你们在那个部门工作，如果你们想在那里作出某些成绩，那么，到处都必须要有数学知识（加里宁）。
(7) 因为数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地去思维。无怪乎人们说，数学是锻炼思想的“体操”（加里宁）。
(8) 如果欧几里德（几何）不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学思想家（爱因斯坦）。
(9) 为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的。……数学之所以有如此高的声誉，还有另外一个理由，那就是数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些学科是达不到这种可靠性的（爱因斯坦）。
(10)在物理学中，通向更深入的基本知识的道路，是同精密的数学方法联系着的（爱因斯坦）。
(11)数学是一种神奇的艺术，如果你和她交上了朋友，你就会懂得：你在也不能离开她！
她用数学写诗！她那质朴、简单而又完美的诗行，象晨星在人类的黎明闪烁，永远不会坠落。连莎士比亚、但丁也会羡慕她的统一；是质量与能量的相互制约与转换。她礼赞的是伟大的物质演化的进程；是生命的起源与奥妙。
她用符号作曲！她那昂扬、和谐的旋律，象瀑布在历史的颠峰倾泻，永远不会衰竭。连贝多芬、巴哈也不能与她的强度和力度抗衡！
她叹息的是大地的脉动、雷电的交响！是潮汐的涨落、台风的凯旋。她传达的是来自遥远太空的信息——创造的回声；是光线与电磁波的不可超越的速度。
她用线条绘画！她那细腻、准确的色彩，象虹霓在宇宙的画布上展现。连提香和拉菲尔也无法想象这样的绚烂和丰富！她描绘的是无限膨胀的动力学的宇宙模型；是恒星与行星的轨道。她勾勒的是基本粒子的踪迹；是细胞核染色体的组合与排列（爱因斯坦）。
(12)在数学中，最微小的误差也不能忽略（牛顿）。
(13)数学是科学的大门和钥匙（培根）。
(14)读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩，凡有所学，皆成性格（培根）。
(15)加里宁曾经说过：数学是锻炼思想的体操。体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷。有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山（华罗庚）。
(16)宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，无处不用数学（华罗庚）。
(17)在中等教育中，数学的训练是极为重要的一个环节。可以说，学好数学是掌握打开科学宝库的钥匙之一（华罗庚）。
(18)当今科学发展的一个重要趋势就是各门学科的“数学化”。例如过去认为与数学关系不大的生物学，现在已开始用数学作为工具来研究了。因此，数学的基础理论一方面在实践的基础上不断发展和深化，同时又对其他自然科学的发展起着重大的推动作用（苏步青）。
(19)世界上的万事万物都是由物质和量互相联系着的。要做到“胸中有数”，掌握事物的数量规律，就必须依靠数学这个有力的工具（苏步青）。
(20)现代科学技术不管哪一部门都离不开数学，离不开数学科学的一门或几门学科（钱学森）。
(21)代数与几何分道扬镳的时候，它们的进展就缓慢，应用也有限。但是，这两门学科一旦联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步走向各自的完美（拉格朗日）。
(22)数学发明的动力，不是推理而是思想（Ａ.狄摩根）。
(23)没有诗人气质的数学家，决不是一个完美的数学家（外尔斯特拉斯）。
(24)数学的统一性及简单性都是极为重要的。因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地解释世界。归根结底，数学仍然是人类的活动，而不是计算机的程序（M.F.Atiyah）。
1.4 数学在社会中的作用
数学是一个美妙的研究领域，并且是独一无二的学科：它既是一种严格的训练，又是人类知识的少数几个“入口”之一。
数学的发展与社会的进步有着密切的联系。数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。数学在现代社会生活中的应用是大量的，经常的和十分重要的。最突出的是反映在它与能从根本上改变人类物质生活方式的产业革命的关系上。人类历史上已发生三次重大的产业革命。这三次产业革命的主体技术都与数学的新理论，新方法的应用相关联。数学支持着大多数当前的科学和技术活动。数学的全部新领域正是在对实验科学（生物学、化学、地球物理、医学科学），对政府（国防、安全、教育、环境监测）以及对商业（工业、技术、制造业、服务业、金融业）的各种问题的应答中发展的。现在，所有这些领域都需要对大量只有松散结构的资料进行分析和管理，而且都要用数学模型来模拟现象和进行预测。对于缺乏观察资料或涉及大量的不确定性的（诸如天文学、气候学以及公众政策分析等）诸领域建摸和模拟是必不可少的。表 2.3说明了数学对某些社会的当前的和潜在的贡献。
表 2.3 数学对某些社会的当前的和潜在的贡献
问题/应用
来自数学的贡献
核磁共振成象技术和计算机辅助成象
空中交通管理
期权定价
全局勘察
应急用储备物质的管理
复杂网络的稳定性
机密和完整性
大气和海洋的建摸
敏捷制造、自动制造
设计和训练
人类基因组分析
合理的药物设计
Seiberg-Witten方程（弦论）
宇宙资料的解释
复合材料的设计系统
地震的分析和预测
积分几何
控制论
Black-Scholes期权定价和Monte-Carlo模拟
信号处理、图形处理、数据采集
运筹学、最优化理论
逻辑、计算机科学、组合学
数论、密码学/组合学
小波、统计学、数值分析
过程质量控制中的几何学、可视化、机器人、控制论
模拟、建摸、奇点理论
数据采集、模式识别、算法
数据采集、组合学、统计学
几何学
数据采集、建摸、奇点理论
控制论、计算、偏微分方程
程控论中的统计学、动力学/湍流、建摸
科学技术是第一生产力。科学技术的发展离不开数学已是不争的事实。因此世界各国对数学学科的建设和发展都非常重视。数学学科的成就往往作为衡量一个学校。乃至一个国家科技水平与实力的重要指标。迄今为止，国家自然科学一等奖有相当比例为数学家所获得。例如：华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、廖山涛等。2001年，著名数学家吴文俊院士又荣获首届国家最高科学技术奖。2002年，毕业于北大数学系的王选院士荣获第二届国家最高科学技术奖。这些都充分体现了国家对数学事业的重视和支持。也充分说明了数学在科学技术革命中的重要性。2002年8月，第24届国际数学家大会在北京召开。这是首次在发展中国家举办这一盛会。这一切都表明中国数学的发展到了赶超世界先进水平的关键时刻。
数学家小档案2.4 华罗庚(1910－1985)，江苏金坛人，初中毕业后，他父亲送他到上海中华职业学校学习，未读完即被召回。1930年，他在家乡写出的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不可能成立之理由》在《科学》杂志发表，引起千里之外的清华大学算学系主任熊庆来的注意，1931年被调到清华大学任助理员。1936年，经维纳教授推荐，在当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者。在哈代教授名下从事数论研究。两年内，发表论文十余篇。在华林问题、塔利问题等方面取得重要结果。1936年回到西南联大，被破格提升为教授。现在，华罗庚在国内可谓家喻户晓。在众多大、中、小学校园中，可以在教室见到他的像。邮局发行纪念他的邮票，有多本描写他平生的电视剧在中央电视台及各地电视台播放过。在中华世纪坛上有他的名字，有众多以他命名的学校、丛书及公园。在不少地方有他的铜像。例如：中国科学院数学与系统科学院、中国科学技术大学、清华大学以及他的家乡江苏金坛等。国内科学家能享有这样盛誉的为数不多。我们为什么要纪念他？因为他是中国现代数学的奠基人。“很难想象，如果他不曾回国，中国数学会是怎么样？”（A.Selberg语）。因为他是国际上一流的数学家，对现代数学的发展，作出了很大的贡献，在国际上享有很高的声誉。因为他有崇高的品德，因为他走上了“不为个人而为人民服务”（M主*席致华罗庚信中语）的道路，永远值得我们学习。
最近诺贝尔奖得者杨振宁教授说到：“从过去发展的历史可以看出来，中国最早得到世界绝对第一流研究成果的，也是在数学领域，华罗庚先生、陈景润先生就是证明”。在这方面说得更具体的有Fields获得者、数学大师丘成桐教授的如下的一段话：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然我不是说其它工作不存在，主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类（Characteristic class）方面的工作；一个是华罗庚在多复变函数方面的工作；一个是冯康在有限元计算方面的工作。我为什么单讲在多复变函数方面的工作，这是我个人的偏见，华先生在数论方面贡献是大的，可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界在数论方面的发展，他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观点和方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年，海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。所以，我们一定要找自己的方向，我想这是一个很重要的看法，我们要从数学的根本上找研究方向，我们近二十年来基本上跟外国的潮流。我们没有把基本的想法搞清楚，所以始终达不到当年陈先生、华先生或冯先生他们的工作。我想我们一定要找自己的方向，可是我们在很多方面还很缺乏，我们一定要在了解了其它方面的发展后才能发展自己的方向”。丘先生的这番话十分重要，不仅客观、公正地评价了华罗庚，还为中国现代数学研究指明了方向，“一定要找自己的方向”，而这正是我们应该很好地向华罗庚学习的地方。
介绍华罗庚的生平及学术成就最全面、最完满的传记是由王元教授写的书。如果读者想更多了解华罗庚，我们推荐读者读王元的这本书。
数学家小档案2.5 吴文俊：上海人（1919－），1940年从上海交通大学毕业后任中学教员，直至抗战胜利。1946年被陈省身先生吸收到中央研究院数学所，在陈先生指导下，从事拓扑学研究，从此走上数学研究道路。1947年赴法留学，师从著名数学家C.埃里斯曼（C.Ehresmann）与H.嘉当（H.Cartan），继续拓扑学的研究。1949年获法国国家博士学位。1951年回到解放不久的祖国，在北京任教授。1952年到中科院数学所任研究员，1980年到中科院系统所工作至今。吴文俊现任中国科学院数学与系统科学研究院研究员、系统科学研究所名誉所长、中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾任中国数学会理事长（1979－1987），中国科学院数理学部主任（1992－1994），全国政协委员、常委（1979－1998）。
吴文俊对数学的主要领域－拓扑学作出了奠基性的贡献，70年代后期又开创了崭新的数学机械化领域。此外，吴文俊在中国数学史、代数几何学、对策论等领域也有独创性的成果，作出了杰出贡献。这些成果不仅对数学研究影响深远，还在许多高科技领域得到应用。
拓扑学是许多数学分支的重要基础，是现代数学的两个支柱之一。法国数学家迪厄多内说“吴示性类”与“吴示嵌类”的引入以及“吴公式”的建立，在拓扑学研究中，起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引发了大量的后续研究。许多著名数学家从吴的工作中受到启发或直接以吴的成果为研究起点之一，获得了一系列重大成果。数学界的最高奖是菲尔兹奖。吴的工作曾被五位菲尔兹奖得主引用，其中三位还在他们的获奖工作中应用了吴的成果。
吴在拓扑学方面的杰出贡献，使他于1956年获得首届国家自然科学一等奖。当年，一等奖共颁发三项，另外两位获奖人是华罗庚和钱学森教授。次年，38岁的吴文俊当选为中科院学部委员（后更名为院士）。1958年，国际数学家大会邀请吴做示嵌类方面的报告。这在数学界被认为是很高的荣誉。国际数学家大会每四年举办一次，被邀请报告工作都是各领域中最突出的成果。
数学机械化研究是由中国数学家开创的研究领域，已引起国外数学家的高度重视，开始吸引外国数学家向中国学习。吴方法传到国外后，一些著名学府和研究结构，如Oxford，INRIA，Cornell等，纷纷举办研讨会介绍和学习吴方法。国际自动推理杂志JAR与米国数学会的《现代数学》，破例全文转载吴的两篇论文。并特别说明：本刊物一般不转载已经发表过的论文，但由于该论文非常重要，为了使更多的人可以读到这些论文，特予转载。米国人工智能协会前主*席等人主动写信给我国主管科技的领导人，称赞“吴关于平面几何定理自动证明的工作是一流的。他独自使中国在该领域进入国际领先地位”，并建议中国政府对这项工作给予支持。
数学家小档案2.6 陈省生（1910－）：浙江嘉兴人，1926年入南开大学，1930年到清华大学攻读研究生，指导教师孙光远，1934年获硕士学位，是中国自己培养的第一位数学研究生。1934年赴德国汉堡大学，师从著名微分几何学家柏拉须开，不到两年就获得了博士学位，经柏拉须开推荐到巴黎在E.嘉当名下访问研究。1937年回国后任教于西南联大。1943年应米国O.维布伦、H.外尔之邀请到普林斯顿研究院工作两年，正是在此期间，他完成了将高斯－博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼曲面的经典性工作，引起了国际微分几何学界的震惊。之后他又回到中国，中央研究院数学研究所的筹办工作实际由他负责。1949年再度赴美，先后在芝家哥大学和柏克莱加州大学任终身教授，1981年创柏克莱数学研究所。陈省生是现代微分几何的奠基人，由于他的特殊和突出贡献，1984年他荣获了沃尔夫奖，是迄今为止获此殊荣的唯一华人。1985年，他在南开大学创建了南开数学研究所，现定居在南开大学。
数学家小档案2.7 费尔马（P.Fermat,1601-1665）: 法国业余数学家。1631年他当选为Foulouse地方议会议员之后，仍一直坚持业余自学数学，从事数学研究工作。他思维敏捷，记忆力极强，所得数学结果，大部分写在书的空白之处，或和朋友通信时，报告一个梗概。从未附过证明。使其在数学史上闻名的，就是以其名命名的“费尔马大定理”（详见数学小典故2.13）。
数学家小档案2. 8 黎曼（B.Riemann, 1826-1866）：德国数学家，汉诺威人。高斯晚年门下高徒。
1851年，25岁的才华横溢的黎曼写出了博士论文《复变函数论的基础》，高斯给予了很高的评价，不仅取得了博士学位，还赢得了一流数学家的声誉。
1854年，黎曼又提出了把函数表示成三角函数的论文和《几何学的假设》的论文，这两篇论文都具有十分重要的意义，特别是后者，黎曼发展了罗巴切夫斯基和其它人所开辟的非欧几何体系，确立了后人称之为《黎曼几何》的理论。由于《黎曼几何》所讨论的空间可以是任意维的，所以他远远超过了前人。《黎曼几何》的重要性是：第一，它包含了欧氏几何学和欧氏空间内曲面的几何学。不仅如此，无论内容还是范围，都作了自然的推广。第二，它对张量分析中一些极为抽象的概念提供了几何现象和应用，同时，同这一学科一起，对于一般相对论给出了模型，对一般相对论的发展起着推动作用。第三，把电磁现象纳入一般相对论模式（即统一场论）的绝大部分工作中，都这样或那样用到黎曼几何。第四，黎曼几何是进入各种广义微积分的阶梯。
此外，黎曼还对数论（他开创了解析数论这一新的分支）、偏微分方程等作出了开创性的贡献。
1866年7月20日，不满四十岁的“德国光辉的数学家”黎曼，因长期患肺病而在意大利的马佐列湖畔去世。
第二节 数学的发展简史
在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。数学作为一门基础学科，其重要性毋庸质疑。因此，了解数学的发展历程（数学史）和规律，对于我们认识数学是完全必要的。
2.1数学史的分期
数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量数学时期、变量（近代）数学时期、现代数学时期。
2.1.1 数学的萌芽时期（远古到公元前6世纪）
数学的萌芽时期大体从远古到公元前6世纪，根据目前考古学的成果，可以追朔到几十万年以前。这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到大约公元前5000年，二是从公元前5000年前到公元前6世纪。数学萌芽时期的特点，是人类长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识。由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片段和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明，这个时期对数学的发展还未形成演绎的科学。这一时期对数学的发展作出的贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度。从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了。在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数，最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等。一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等。中小学数学中关于算术和几何最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的。总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段。
2.1.2 常量数学时期（公元前6世纪到公元17世纪）
从公元前6世纪到公元17世纪初，是数学发展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期。这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开始时代，二是初等数学的交流和发展时期。这个时期的特点是，人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识，后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由欧几里得（Euclid）把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展，数学从原始自然数、分数发展扩充到正负数。成书于东汉时期的《九章算术》，就是人们长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。公元前3世纪至公元前2世纪撰写成的《几何原本》和《九章算术》标志着古典的初等数学体系的形成。《几何原本》全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成。全书主要的研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。
数学家小档案2.9 欧几里得（Euclid, 公元前330-前275）：古希腊数学家，生于雅典。柏拉图的学生。欧几里得最著名的著作是《几何原本》，全书共13卷。第1－6卷为初等几何部分；第7­－9卷是关于数的理论；第10卷是关于不尽根的几何解法；第11－13卷为立体几何学。《几何原本》曾被翻译成全世界各种文字。它一直受到各个历史时期数学工作者和重视。长期以来，《几何原本》的几何学部分还是一本广为采用的几何学教科书。《几何原本》的主要特点是第一次用公理化演绎体系著书。
除《几何原本》外，欧几里德还著有《资料》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学之书》、《反射光学之书》等。
2.1.3 变量(近代)数学时期 （18-19世纪）
从17世纪到19世纪末，是数学发展的第三个时期，通常称为变量学时期。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性，数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。17世纪是数学发展史上一具开创性的世纪，17世纪创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等，每一个领域都使古希腊人的的成就相形见拙。这一世纪的数学还出现了代数化的趋势，代数比几何占有重要的位置，它进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决。随着数学新分支的创立，新的概念层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等，它们都不是经验事实的直接反映，而是数学认识进一步抽象的结果。18世纪是数学蓬勃发展的时期：以微积分为基础发展出一门宽广的数学领域―数学分析（包括无穷数论、微分方程、微分几何、变分法等学科），它后来成为数学发展的一个主流。数学方法也发生了完全的转变，主要是欧拉、拉格朗日和拉普拉斯完成了从几何方法向解析方法的转变。这个世纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外，一个直接的动力是来自物理学，特别是来自力学、天文学的需要。19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪：它突出地表现在两个方面。一方面是近代数学的主体部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力，它的三个组成部分取得了极为重要的成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这就为变量数学向近代数学转变准备了充分条件。另一方面，变量数学的基本思想和基本概念在这一时期中发生了根本的变化：在数学分析中傅立叶（J. Fourier，1768－1830）级数的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中伽罗瓦（E. Galois，1811－1832）群论的产生，使得代数运算的概念发生了重大突破；在几何学中，非欧几里得的誔生在空间概念方面发生了重大突破。这三项突破促使变量数学迅速向近代数学转变。19世纪还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、集合论和数理逻辑，这三个理论的建立为现代数学准备了更为坚实的基础。
数学家小档案2.10 伽罗瓦（E.Galois，1811－1832）：法国数学家，生于巴黎附近一个小镇。1829年中学毕业后，上过一年师范学院。他从小对数学极感兴趣。上中学时，他看到五次方程代数解法所存在的问题，便抓住不放，决心攻克这个难关。1828年，17岁的伽罗瓦终于写出了关于五次方程的代数解法问题的论文。但是，由于权威的压制，一直未曾发表。
伽罗瓦发现了每个代数方程必有反映其特性的置换群存在，利用群的性质，解决了多年来未能解决的高次代数方程用根求解的可能性的判断问题，创立了“伽罗瓦理论”，并为群论的建立、发展和应用奠定了基础。现在，群论已成为研究数学许多分支以及结晶学、近代物理学等的重要工具。伽罗瓦是一位有才华的数学家，可惜早逝（终年不满21岁），而且他的著作长期无人重视。直到1846年，在他死后14年，才由法国数学家刘维尔把他的数学遗稿进行汇集，加以出版。其中最重要的一篇著作是：《论方程可以用开方法求解的条件》。1870年，也就是伽罗瓦死后38年，法国数学家约当，根据伽罗瓦的思想写了一本书，即《论置换与代数方程》，伽罗瓦的思想才得到进一步阐述。
2.1.4 现代数学时期（公元19世纪以后）
从19世纪末到现在的时期，是现代数学时期，其中主要是20世纪。这个时期是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重大创造与发展。在这个时期里数学发展的特点是，由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学越来越显示出科学和技术的双重品质。20世纪初，涌现了大量新的应用数学科目，内容丰富，名目繁多，前所未有。数学渗透到几乎所有的科学领域里去，起到越来越大的作用。今天，在人类的一切智力活动中，没有受到数学（包括电子计算机）影响的领域已经廖廖无几了。从19世纪起，数学分支越来越多，到20世纪初，可以数出上百个不同的分支。另一方面，这些学科又彼此融合，互相促进，错综复杂地交织在一起，产生出许多边缘性和综合性学科。因此，数学发展的整体化趋势日益加强，同时纯数学也不断向纵深发展。
美例点滴2.2 功不可没的0:0可以说是位值计数法的必然产物。否则人们便很难区分301和3001了。古印度最早使用0，而且最早承认0是一个数。我国古代曾经也用空格表示 0，后来用□示之，最后演变为O（1247年, 秦九韶的数书九章）。比印度晚了两个世纪。但在当时的世界上仍处于领先的地位，欧洲直到 13 世纪初，才由斐波拉契引进印度－阿拉伯数字，又过了两三百年才广泛流传开来。
有趣的是，汉字零公元前就已出现，比数位O早一千多年。其本意不含有空和无之意，而是指雨后的小雨滴。后来引伸为零头。
古罗马使用的是非位置计数法。有七个基本数字：I(1)、V(5)、 X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)。罗马教皇禁止使用从东方传入的0。
美例点滴2.3 令人着迷的π：圆周率π是数学和其它自然科学中经常使用的一个重要常数。一位德国的数学家评论到：历史上一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以做为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志。公元前2000年左右，古巴比仑尼亚人最早定出π的比较精确的值为π= 3+1/8 = 3.125。
公元前500年左右，古希腊人定出π= 3.1416。
公元前200年间，阿基米德用圆外切与内接正多边形的周长逐步逼近圆的周长，求得 。
公元前150 年左右，另一个古希腊数学家托勒米用弦表法，以 1 度的圆心角所对的弦长的 360 倍再除以圆的直经，也定出π=3.1416。
我国则迟至东汉初年(公元前 100 年) 仍在普遍使用周三径一的古率。直到三国时代(公元 200 年间)，数学家刘徽首创割圆术，得到 3.1410<π<3.1427。
继刘徽之后，我国南北朝时期的数学家祖冲之在世界上第一次得到3.1415926< π<3.1415927。这一惊人的纪录，直到一千多年以后才被打破。祖冲之还发现现今称为祖率的π的近似值335/113（即3.1415926），比欧洲早1000多年。
1949年，两个米国人斯密司和伦奇，把π计算到小数点后1120位，他们成为用笔算求π值的世界冠军。
1766年，德国数学家兰伯特证明了π是无理数。一百多年后，又一位德国数学家林德曼进一步证明了π是超越数。
美例点滴2.4 神通广大的e：e是自然对数的底，其值约为2.718281828，是无限不循环小数。
人们对数e的认识，还是在 17 世纪中叶，数学家发现之后。人们逐渐了解到，许多重要的函数，极限以及物理现象和生物现象都与数e有着密切的关系。
对于数学家来说，数e的另一个也许更值得赞誉的作用就是它帮助人们证明了π的超越性。1873年，法国数学家厄尔米特证明了e是超越数。1882年，德国数学家林德曼在此基础上，借助欧拉公式，终于证明了数e也是超越数。知道了e是超越数，古希腊遗留下来的三大难题之一，化圆为方也就迎刃而解了。一个几何图形可用标尺作出，必需且只需要作出的几何量可以由给定的几何量经过有限次的四则运算和开平方所得。在化圆为方问题中，因为π是超越数，所以（R是给定圆的半径）不可能由R经过有限次的四则运算和开平方得到。
美例点滴2.5 虚无飘渺的i：i是什么? 用较现代的数学术语来说，i是虚单位，他满足关系i 2= -1。
有文字记载最早接触负数开平方的是12世纪的印度数学家培斯卡拉。他在解一元二次方程时发现了负数开平方。可惜他并不承认负数有平方根。16世纪中叶，意大利数学家卡丹在研究三次方程的解法时，公开了他从数学家塔尔塔里亚那里得来的著名的求根公式. 其中含有负数开平方。尽管感到十分为难，他还是不管良心受到多大责备，承认负数的平方根仍然是数。他解释为虚构的数。16世纪末，另一位意大利数学家邦别利比卡丹进了一步。他不仅承认负数的平方根是数，还建立一套有关的运算法则。
18世纪70年代，瑞士数学家欧拉引进了i，并且发现了著名的欧拉公式。18世纪末，挪威的一位测量学家威塞尔给出了复数的向量表示以及复数四则运算的几何解释，但没有得到足够的重视。
19世纪初，高斯道出了i的真缔：假如人们最初不是将-1、1、i说成正、负和虚单位，而称其为正、反和侧单位的话，那么就会很自然地接受复数了。
美例点滴2.6 裴波拉契数、黄金分割：12、13世纪欧洲数学界的中心人物是意大利比萨的裴波拉契（1170-1250）。他的著名著作《算盘书》中，由一个熟知的例子：一对兔子一年繁殖多少对兔子？导出了有名的裴波拉契数列：
1,2,3,5,8,13,…，un,… un=un-1+un-2 (n≥3)
这就是著名的黄金分割数。
还有称为第二类的裴波拉契数列：
2,1,3,4,7,…
1964年柯召和孙琦证明了：第一类的裴波拉契数列中除1和144外，第二类的裴波拉契数列中除1和4以外再无其它平方数。
米国数学家迈克尔. 斯皮瓦克说过：这个数列的有趣结果的数目确实惊人－甚至有一个裴波拉契协会出版一种杂志，叫做《裴波拉契季刊》。
1970年，前苏联数学家马蒂雅谢维奇（Matiyasevich）解决了希尔伯特的第十问题，在其证明过程中巧妙地使用了“裴波拉契数列”理论。
17世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作为宝石矿。”可见黄金分割在数学中的重要性。
最早提出黄金分割这一名称的是中世纪著名画家达芬奇。艺术家们都着力于研究自然界，为的是在画布上忠实地再现它。于是他们面临着一个数学问题，就是怎样把立体的现实世界绘制到平面的画布上去。达芬奇与他同时代的一些绘画家经过研究认为，数学特别是其中的几何学，与绘画有着密切的关系。达芬奇尤其坚信数学的透视法是使画面再现实体的唯一途径，因此他十分注意对透视原理和线段间比例关系的研究。在达芬奇的绘画法则中，充分吸收了黄金分割的几何意义，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。这一点在他的名画《圣杰罗姆》中有很好的体现。人们惊讶的发现画中的圣杰罗姆的躯体用一个矩形就是黄金分割矩形。人们对黄金分割的美感，首先来自自然界。自然界中有许多形体呈现出黄金分割，而且这种形体显得特别美。树杈的叉点常是黄金分割点。正因为如此，它才给人以茂盛和壮实的感觉。不少四肢动物的前肢位置，也近似的处于它全身的黄金分割点上，从而给人以一种匀称和坚实的感觉。古希腊人还发现，人的肚脐把人从头到脚作了黄金分割。弦琴的“千斤”应该安放在黄金分割处，这样就可以获得最优美的音色；神庙的建筑应该以黄金分割矩形设计，这样才能表现出神圣的美。调查显示，人体躯干的宽高比约为1:1.618。
美例点滴2.7 平行公设：欧几里德在几何原本中很晚用到的第五平行公设是过一条直线l外一点仅可做一条直线与l平行。由于此公设看起来更象一个定理，在近两千年的时间里，许多数学家都试图证明它。结果都以失败而告终。到19世纪初，匈牙利的波耶、德国的高斯和俄罗斯的罗拔切夫斯基彼此独*立地发现了一种新的几何学，现称做双曲几何学(亦称罗氏几何学)。过了二十多年，德国的黎曼又发现了一种既不同于欧氏几何学（亦称抛物几何学）也不同于双曲几何学的椭园几何学（亦称黎曼几何学）。
三种几何学的异同。差别仅限于平行公设。凡与此公设无关的几何命题，在三种几何学中都成立，构成基础几何学。否则，则各异。例如，三角形的三内角和与面积等就与平行公设有关。
美例点滴 2.8 综观进制：通常使用得最广泛的是十进制。有很多证据表明，十进制与我们的一双手有十个手指有关。二十进制曾被玛雅人普遍使用。我们还常使用六十进制。古巴比仑人很早就已使用此进制了。可能是因为一年有12个月，一只手有5个手指。也可能是60的约数比较多。还有些不大常用的进制，如英国有些计量单位就采用12进制（1英尺=12英寸，1先令=12便士）。我国、英国和俄国还曾采用过16进制。许多人认为，12进制比10进制优越。因为12含有的约数比10要多。
然而，电子计算机中却要采用2进制。一个原因是2进制仅需2个数码，机器容易实现。另一个原因是运算简单。第三个原因是2进制不仅可进行数值计算，而且只要将其运算法则稍做修改就可进行2值逻辑运算，从而使计算机能够进行判断和推理。
趣话2.4 2进制是17世纪德国的数学家莱布尼兹最早明确提出的。但其思想萌芽却可追溯到公元前一千年左右成书的我国圣典著作－易经。易经中的符号系统实际上就是2进制的符号系统。这还是莱布尼兹首先看出来的，对此他非常激动，甚至表示愿意加入中国籍。
数学家小档案 2.11 莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)：莱布尼兹于1646年诞生在德国的莱比锡（Leipzig），并在莱比锡城读大学。由于他的聪明才智与勤奋努力，1663年，年仅17岁的莱布尼兹便获得了学士学位。如果当时他的大学老师不妒忌这个才华出众的学生的广博知识的话，他会在20岁得到博士学位。
莱布尼兹的一生的大部分时间是作为一个巡回外交官度过的，他的许多最好的数学思想，就是他在17世纪欧洲的崎岖道路上旅行时产生的。1672年，他出差到巴黎，接触了许多数学家和科学家，由于他的谦虚好学，使他在和这些人的接触中学到了不少的数学知识和探讨问题的能力。1673年以后，莱布尼兹主要从事微积分的研究，他和牛顿几乎同时独*立地完成发明微积分的研究工作。由于牛顿未及时发表自己的学说，致使莱布尼兹与牛顿之间进行了长期的论战。到底是谁第一个创立微积分，还是一直存在着争论的。
莱布尼兹一直致力于要建立发展一个能回答所有领域里的一切问题的数学，这促使他研究了逻辑，形成了现在符号逻辑的基础。他发明了二进制数。他还创造了微积分的一些基本概念的记法。莱布尼兹还设计了一部乘法计算机，1642年法国数学家帕斯卡创造了第一台计算机之后，莱布尼兹认真研究了帕斯卡计算机的结构，经过努力，他设计了可进行四则运算和开方运算的计算机。
美例点滴2.9 欧拉公式： 所谓的欧拉公式就是 ，由此公式不难得到 。只要考察一下此式的要素和运算的性质，就会为这个关系式所表示出的高度神秘性和极度的奇异性所倾倒。
美例点滴 2.10 牛顿二项式公式与杨辉三角：英国数学家牛顿在数学上的一项贡献就是给出了现所称谓的牛顿二项式公式：
。
该式右边的系数就是为众人所熟悉、应用广泛、内容丰富的杨辉三角。
数学家小档案 2. 12 牛顿(I. Newton 1642-1727)：英国数学家、物理学家、天文学家。1665年毕业于剑桥大学，1669年任该校数学教授。1703年被选为伦敦皇家学会主*席，1668年成为英国国会议员，并于1705年被授予爵士称号。
在力学上，牛顿总结出机械运动的三个基本定律，并发现了万有引力定律，创立了经典力学体系。在光学、热学和天文学上，牛顿也作出了杰出的工作。在数学上，牛顿与他同时代的数学家莱布尼兹几乎同时独*立地创立了微积分。牛顿在这四个主要领域中的任何一方面成就都足以使其挤身于世界一流的科学家行列。
数学家小档案 2. 13 杨辉：南宋数学家。13世纪。主要著作有《详解九章算术》12卷（1261）、《日用算法》（1262）2卷、《乘除通变本末》（1274）3卷、《田亩比类乘除捷法》（1275）2卷、《续古摘奇算法》（1275）2卷。他的《乘除通变本末》中列有“九归”口诀和当时出现的一些算法口诀，如用于斤两换算的“化零歌”等，并介绍了有关乘除的各种简捷算法。杨辉在《详解九章算术》中引用了贾宪的《黄帝九章算法细草》中“开方作法本源图”。这是一个指数为正整数的二项式定理系数表，在欧洲把这个表成为“巴斯加三角形”，要比杨辉的晚400多年。
美例点滴 2.11 罗素悖论：大家知道，我们把具有某些特征的事物的全体称做集合。组成集合X的事物x称为集合的元素，记为xÎX。于是著名的罗素悖论（1902 年提出）可表示为：设X :=｛x: xÏx｝，试问 XÎX 吗? 不论你怎样回答，都将得到矛盾。
后来罗素又用一个浅显的理发师悖论来形象地说明这一矛盾：
一个理发师宣称，他要给所有那些不给自己理发的人理发。我们可问这个理发师：你该不该给自己理发? 无论如何，这个理发师总会使自己左右为难。
罗素悖论引发了第三次数学危机。即便是现在，这个危机也不能说已经完全被排除。
美例点滴 2.12 中国剩余定理：自从《孙子算经》提出了“物不知其数”以后，直到秦九韶才给出了理论上的说明，定名为“大衍求一术”。欧洲人称之为中国剩余定理。“大衍”一词取自“易经”。德国康托尔称：发现大衍求一术的人是“最幸运的天才”。
美例点滴2.13 洛书与幻方: 标志着中华民族远古文化的洛书（传说最早记载于五、六千年以前，大禹治水时在洛水一带发现的刻有图纹的龟甲）至今仍象一颗璀灿的明珠，堪称数学史上的一绝。洛书就是三阶幻方。幻者，奥妙无穷也。将它用当今的阿拉伯数码翻译过来，就成了由1到9这九个数按一定次序排成的三行三列的方阵—
(A) (B) (C)
在方阵(A)中，数的大小分布与奇偶分布十分匀称。其每行，每列以及两对角线上的三数之和都是15；万符形两分支以及反万符形两分支上各五数之和都是25；从 2 出发按逆时针方向可以得到2,22,23,24,从3出发按顺时针方向可以得到 3,32,33,34,洛书是组合首先的起源，是位置几何的先河。体现了许多数学、物理的原理和功能。
洛书是唯一的三阶幻方（不包括它的旋转和反射象）。还有四阶幻方（共880种），五阶幻方（共275305224种之多），甚至任意阶幻方。有一种被称为具有灵魂的四阶幻方，不但每行，每列以及两对角线上的四数之和都是34，而且随意圈出一个含四个数的正方形，其中的四个数之和也都是34。方阵(B)基本符合上述条件，随意圈出一个含四个数的对称长方形，其中的四个数之和也都是 34。
在方阵(C)中，任选一数，划去所在行和列后得一三阶方阵。重复这一过程三次，任选的三个数加上最后留下的数之和也都是34。其原因就是生成元之和是34。
新近，A.T.Benjamin和K.Yasuda发现（The Amer. Math. Monthly, 106<1999>, 153-156）洛书的新性质：
6182+7532+2942=8162+3572+4922 （行）
6722+1592+8342=2762+9512+4382 （列）
6542+1322+8792=4562+2312+9782 （对角线）
6392+1742+8522=9362+4712+2582 （反对角线）
6542+7982+2132=4562+8972+3122 （对角线）
6932+7142+2582=3962+4172+8522 （反对角线）
2.2 中国数学简史
我国古代有着辉煌的数学历史。在16世纪以前，我国的数学在世界上一直处于领先的地位。这是值得华夏子孙骄傲的历史。
2.2.1 古代中国数学发展简史
创造世界最古老符号系统的中国人，却没能借助象数原理和象数符号系统创造出适于近代科学的符号系统，这给中西文化比较留下了一个疑难。还不能说我国古代数学没有发展出一套演绎推理的形式系统。易经本来就是一套演绎推理系统，可惜后来被一味的人文化了。另外，在中国思想史上，重道轻术的思想始终比较明显，其弊则在于阻碍了科技专业化的形成，使科技长期沦为儒学的附庸。
《周易》作为中国古代的一部重要的典籍，对中国文化，包括中国古代自然科学和社会科学的形成和发展影响巨大。《四库总目提要》说到：“易道广大，无所不包，旁及天文、地理、乐律、兵法、韵学、算术、以逮方外之炉火，…。”
《周易》是一本有符号系统和文字系统共同构成的书。卦，即“易卦”，是《周易》的符号体系，由阴爻、阳爻组成。易卦分为八卦、六十四卦两种。卦在《易经》中主要用于占卜，后用以象征自然现象和人事变化，成为描述宇宙万物的模式符号。
数学小典故2.1《周易》的发生史可以追溯到新石器时代晚期，即传说中的伏羲时期。《周易》分为《易经》、《易传》。《易经》是一本占筮之书，成书于西周(约公元前11世纪—前256)前期；《易传》成书于战国（公元前475－前221）后期，是对《易经》的解释和发展（即所谓的“十翼”）。《易传》的最大特点就是将《易经》人文化：从迷信转变为理性，从巫术转变为哲学。有关卦的起源，观点众多，但有一点可以断定：易卦源于我国上古时代先民长期的伟大的生活实践，是我国先贤的伟大创造。它有简洁、对称、优美的形式和“广大悉备、无所不包”的内涵，是中华民族精神文明世界中的“金字塔”。
数学小典故2.2 《易经》是一部占筮用的书籍。我们暂不论及古人揲筮成卦的成因并以此预测万事万物的演变规律是否有科学性，仅从其揲筮成卦的过程可以看出：其操作过程可以机械化并蕴涵着高深的数学内涵。并能用“符号”来表示“数”。这一方法，是非常了不起的事情。用我们今天的数学语言来说，世间万物的运动和演变是“数”的几何形式，而八卦、六十四卦是“数”的代数形式，用代数方法研究几何问题，正是西方17世纪由笛卡尔和费马所创立的“解析几何”的主要方法。
恩格斯说“数学是研究物质及其运动的空间形式和数量关系”。数与形是数学研究的基本对象。从这一点上看，《易经》是我国古代在人类数学史上的伟大创举，可以说，《易经》是我国历史上有文字记载以来第一本数学著作，因而是我国数学发展史的渊源。三国时期的数学家刘徽(约225--295)认为，数学来源于伏羲画八卦，八卦的基本原理是“作九九之术以合六爻之变”，由此他“观阴阳之割裂，总算术之根源”，而为《九章算术》作注。他接受了《天圆地方》，地阴天阳的观念，同时认为阴阳是相反而又转化的。刘徽创造的割圆术，即用圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，得到圆周率3.1416。后来的大数学家祖冲之(420－500)用同样的方法，得到3.1415926。
最近，又发现，八卦图中的每一个卦图代表一个八元数的乘法算式，于是我们可以在古老的伏羲八卦和西方人1845年才发现的八元数之间建立数学意义上的同构。即在两者之间，建立一一对应，而且这种对应保持乘法运算。对应次序浑然天成且不能随意改变。我们的结论是：在同构意义下，八卦图就是八元数。八卦图可以看成是八元数的“量子化”或“数学模型”。
数学小典故2.3 文字的发明，是从实际需要上产生的数字开始的。《系辞下传》说：“上古结绳而制，后世圣人易之以书契。”中国的数目字，最早始见于半坡、姜寨等仰韶文化中出土的陶器上。半坡仰韶文化时期的炭C14测定，距今四千九百一十六年至六千六百五十六年。以半坡、姜寨遗址时代的平均数字，距今六千零七十八年。我国古代人们发明了数，不仅将数应用于记事、记时、记数方面，而且还将数应用于哲学方面，即奇偶数的八卦。奇偶数的八卦出现，这是我国先民对数的科学发展的巨大贡献。《易》与数有着密切的关系，所以我们说《周易》不但是我国最早的一本哲学著作，而且也是我国最早的一本数学著作。也是世界上最早的一本数学著作。
数学小典故2.4 十进制数学的发明，可能比四大发明有着更大的力量和更深远的影响。英国人李约瑟在其所着《中国科学技术史》中说：“奇怪的是，忠实于表意原则而不使用字母的文化，反而发展了现代人类普遍使用的十进制制的最早形式。如果没有这种十进制制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”《孙子算经》中引用了九九歌诀。“九九之数（术）”就是以乘法口诀为代表的十进制制数学。马克思称十进制制记数是“最妙的发明之一。”（《数学手稿－关于初等数学的一些札记》）
自秦至西汉中期这两百年间，我国工农业生产与科学技术有了很大的进步，从而促进了数学的迅猛发展。《周髀算经》、《许商算术》与《杜忠算术》（后二者已失传），都在这时期出现。我国最主要的一部传于后世的数学著作《九章算术》，也基本上成书于西汉初年，其内容为以后一千多年的辉煌成就奠定了基础。
中小学数学中的算术、代数这些部分，从记数、以至解联立线性方程与二次方程，实质上都是中国古代数学家的发明创造，早就见于中国的《九章算术》甚至是《周髀算经》等书。负数的概念，在16世纪，欧洲最博学的数学家也感到难以理解，甚至把负数叫做“虚构的数”，“荒谬的数。”而在我国，于两千年以前西汉初年写成的《九章算术》就已经运用了正数和负数。
中国古代数学的成就决不止于算术与代数方面。恩格斯曾经说过：“和其它科学一样，数学是从人的需要中产生的；是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。”我国古代人民，通过“仰观俯察”、土地的丈量、容积的测量、时间的计算等等生产活动，创造了我国固有的古代几何学。从远古时期起，即能应用勾股定理于测日高远大小，具见于《周髀算经》一书。秦汉时期又发展了勾股理论并导致了二次方程。到魏晋时期，建立了测高望远的重差理论。另一面，土地的丈量与容积的测量产生了面积与体积理论，并提炼出出入相补这一一般原理，到5世纪南北朝时期又提出了祖暅原理。这些原理，在欧洲直至19世纪末才弄清楚。而且，与希腊欧几里得的形数割裂的方法恰恰相反，到宋元之世天元－也即未知数概念的明确引入，代数式与其代数运算的阐明，以及几何代数化的逐渐成熟，更为解析几何的创立开辟了道路。
17世纪以后才出现的解析几何与微积分，乃是通向所谓近代数学的主要的两大创造，一般认为这些创造纯粹是西方数学的成就。但是中国的古代数学是起着重大作用的。
先说解析几何，Smith曾认为解析几何的发展有主要三个阶段：（1）坐标系统的发明；（2）几何与代数间的意义对应的认识；（3）函数y = f(x)的图形表示。西方向来认为17世纪的Descartes（以及Fermat）是解析几何的创始人，但实际上在Descartes的有关主要著作中既无坐标也无坐标轴的概念，更无所谓直线与曲线的方程。Descartes的贡献在代数与几何建立关系方面，在他的主要著作中，给出了二次方程的几何解法。
事实上几何与代数的统一处理乃是我国古代数学的一个传统特色，从伏羲卦画到《九章算术》以来就是如此。可以说，易经符号是最早的解析几何思想的渊源。刘徽九章注序中说：“析理以辞，解体用图”。刘徽海岛算经本来有注有图，注以析理，图以解体，只是失传而已。我国在数学发展过程中自始至终是把空间形式与数量关系融合在一起的。《周髀算经》中已有“分度以定则正督经纬”以及“游仪所至之尺为度数”等语。注中并屡言“引绳至经纬之交，以望之。”中国又有世界上最早的星表（甘石星经，战国中叶，公元前三百五六十年），公元2世纪张衡就作星图与浑天仪，又有世界上最早的石刻星图（宋，公元1247年，在苏州）。我国的天文数学历来紧密结合。由此可以看到以经纬度表示位置的这种坐标概念我国是最早的创始人之一。我国又是罗盘的发明者并曾经是航海最发达的国家之一。用经纬度表示位置的概念与方法后来必然有所发展。
微积分，这是西欧数学一跃而居世界领导地位的重大成就。但在作为产生微积分所必需的条件中，有些是在我国早已有之。极限的概念，作为微分学的真正基础，从刘徽以至宋代的我国十进制小数法，与极限概念一衣带水。而十进制小数迟至16世纪才在西欧被重新发明。面积与体积的计算乃是导致微积分发明的另一重要问题。在微积分的创造过程中起了重大作用、为西方数学史家盛称所谓的Cavalieri原理，事实上早就见于祖冲之父子的著作，即所谓的“幂势既同则积不容异”并具体用之于球体积的计算，比Cavalieri的发现要早了1100年。
中国古代数学在有文字记载以来，许多方面一直居于世界上遥遥领先的地位，发展到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件，不妨说我们已经接近了微积分的大门。如果照此发展下去，我们是有可能先于欧洲发明微积分的。到明、清以后，中国的数学基本上停滞不前，以至于大大的落后了。数学家们基本上都忙于将西方数学输入中国，没有多少可圈可点的数学成就。直到1919年以后，才有了近代数学文章出现。我国的传统数学有过辉煌，但今天我们大部分人即使是数学工作者，若非数学史专业，对这些辉煌历史，除勾股定理、剩余定理及少数内容外，基本上并不甚了解。因为现在我们的数学教材，从小学到大学，完全是西化的。因此也就难免“言必称希腊，对于自己的祖宗，则对不住，忘记了”。即便是今天，也有为世人称道的数学成就。在此，就手头点滴资料，不揣冒昧，将我国著名的数学著作和世界领先的数学成就汇总如下：
数学家小档案 2. 14 商高： 中国周朝数学家。（当为中国有记载的最早的数学家）生卒年代不详。他的数学成就据《周髀算经》的记载主要有3个方面：勾股定理、测量术和分数计算。《周髀算经》中记载了这样一件事。一次周公（西周初约公元前11世纪）问商高：古时作天文测量和订立历法，天又没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？ 商高回答说：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来。矩是根据乘、除计算出来的。这说明了“勾股测量术”，即可用3:4:5的办法来构成直角三角形。《周髀算经》并有“勾股各自乘，并而开方除之”的记载，说明当时已普遍使用了勾股定理；勾股定理是中国数学家的独*立发明，在中国早有记载。《周髀算经》还记载了矩的用途。“周公曰：大哉言数！请问用矩之道。商高曰：平矩以正绳，偃（放倒）矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”据此，可知，当时善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。“环矩为圆”，即直径上的圆周角是直角的几何定理，这比西方的发现早好几百年。（矩：画直角或正方形、矩形用的曲尺。）
数学小典故 2.5 算学：中国古代培养天文、数学人才的学校。设于京师。隋隶国子寺，唐隶国子监，宋属太史局。教学用书有《孙子算经》、《五曹算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《周髀算经》等算学书。
数学小典故2.6 算经十书：唐代国子监内设算学馆，置博士、助教，指导学生学习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部书为课本，因而后世有“算经十书”之称，是汉唐千年间的数学代表作，我国历代数学家给以注释的颇不乏人。现在流传的为北宋元丰七年（1084年）秘书省刻本的各种传刻本。在元丰年间刻书时间，《缀术》已失传，后来代以《数术纪遗》、《夏侯阳算经》亦未找到真本，所刻的是由别人托名编撰的。
表2.4 算经十书概况
书 名
作者、成书年代
内 容 概 要
周髀算经
作者不详；西汉或更早的天文历算著作
阐明当时的盖天说和四分历法。使用了相当繁复的分数算法和开平方法，并最早应用勾股定理。
九章算术
作者不详；至迟公元1世纪时
系统总结了我国先秦到东汉初年的数学成就。经过多次增补，至迟在公元1世纪时，已经有了现传本的内容。
孙子算经
著者和年代不详
上卷叙述算筹记数的制度和筹算乘除法则。中卷举例说明筹算分数法和开平方法。下卷有“物不知数”一次同余问题。
夏侯阳算经
唐中叶（8世纪）的一部算书
引用当时流传的乘除捷法，解答日常生活中的问题，保存了一些算法改革的史料。
海岛算经
魏晋时刘徽撰，附于他所注的《九章算术》后。题为《重差》
唐初这一卷单行。它的第一题是测量海岛的高和远问题，因而得名。所收集的都是利用两次或多次测望所得的资料来推算远处目的物的高、深、广、远的问题。
张丘建算经
南北朝时北魏张丘建撰
有等差级数、二次方程、不定方程等方面问题。
缀术
南北朝时祖冲之撰
可能有精密的圆周率、三次方程的解法和正确的球体积计算等成就。
缉古算经
唐初王孝通撰
全书共20题，讨论从各种棱台的体积求边长以及勾股形解法。是我国古代解字三次方程现存最古的著作。
测圆海镜
元李冶著(1248年)
论述170个用天元术解直角三角形的容圆问题，是我国现存最早对天元术 进行系统叙述的著作。
五曹算经
数学小典故2.7 九章算术：算经十书中的一种。系统总结了我国先秦到东汉初年的数学成就。经过多次增补，至迟在公元1世纪时，已经有了现传本的内容。其中负数、分数计算，联立一次方程解法等都是具有世界意义的成就。有魏晋时刘徽和唐李淳风等的注释。是世界古代著名的数学著作之一，已被译成多种文字。
数学家小档案 2.15 刘徽（约225－295魏晋时代）：刘徽是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的最主要的成就提出了计算圆周率的科学方法－“割圆术”。他用正多边形面积逼近圆面积的极限思想，计算了圆内接正12边形、24边形、48边形直至3070边形的面积，求得p=3927/1250=3.1416的较准确的数值。他研究了圆锥和圆台的体积公式，应用了一条有名的法则：圆锥、圆台的体积和它的外切方锥、方台的体积之比等于圆面积和外切正方形面积之比。他还提出了球体积和相互垂直且同高的两个圆柱的共同部分的体积之比等于圆面积与外切正方形面积之比。得出了与现在开平方求无理根的十进小数近似值方法完全一致的方法。另外，他在方程中直接消元法的基础上根据齐同术原则，创立了互乘相削法（和现在的加减消去法一致）的解方程组的方法。同时，他注意到了用比例分配的方法来解一次方程组的问题。他还给出了等差数列求和的公式：。同时还完成了“勾股容圆公式”的证明，并总结了“重差术”。在他所着的《海岛算经》中利用相似形与勾股定理测量高深远近，在当时中国还未有三角学的情况下是很了不起的事件。刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。此外，他还引进了正、负数的定义。刘徽在整理数学材料中也有极大贡献。他在“以类合类”的思想指导下，将246个复杂的数学问题，按其性质与解题方法分成9类，为中国数学向更高更细的方向发展打下了基础。公元263年，他所撰的《九章算术注》10卷与《九章重差图》1卷，是中国数学史上划时代的著作。唐代初年，《九章重差图》已失传，《九章算术注》10卷则演变为《九章算术注》9卷与《海岛算经》1卷而流传至今。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外接正多边形穷竭的一种求圆周面积和圆周长的方法。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，失之弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。刘徽思想敏捷，方法灵活，即提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
表 2.5 九章算术内容
章序
章名
内 容
1
方田
分数四则运算和平面形求面积法
2
粟米
粮食交易的比例方法
3
衰分
比例分配的算法
4
少广
开平方和开立方法
5
商功
立体形求体积法
6
均输
粮食管理运输均匀负担的计算法
7
盈不足
盈亏类问题解法及其应用
8
方程
一次方程组的解法和正负数
9
勾股
勾股形解法和一些测量问题的解法
数学家小档案 2. 16 赵爽：生平不详。东汉末及三国时人。名婴，字君卿。他是一位博学多才的学者，尤其在天文学和数学上有独到之处。他注释的《周髀算经》流传到现代。著作中的《勾股圆方图》、《弦图》，对于勾股定理、有关勾股弦的各种关系和二次方程的解法都有几何证明。其中《勾股圆方图》这一段仅500字，却精炼地总结了我国后汉时期在勾股定理研究方面的辉煌成就，并且附图六张，以他独特的证明方法，显示了我国数学家杰出的才能。他创造性地论述了勾、股、弦及其和差的互求问题。他并利用平方差公式作因式分解，得到了一元二次方程的一个求根公式。赵爽的这一证明方法比当时世界上勾股定理的其它证明方法简明而直观，这使米国科学史家李约瑟为之惊异。12世纪印度数学家拜斯伽逻曾用过赵爽类似的方法，但这已在赵爽之后九百年了。赵爽在解方程理论上也有杰出贡献。大家熟悉的韦达定理，其实在赵爽的《勾股圆方图》中已有类似结论。在时间上，韦达定理在赵爽之后约1300多年。另外，一般认为二次方程求根公式最早出自公元628年印度数学家婆罗摩笈多，看来这是不确切的，因为赵爽在讨论二次方程时，曾用类似的求根公式。因此这一发明似应属于赵爽。
数学家小档案 2.17 祖冲之（429-500）：南北朝时杰出的科学家（而并非单纯的数学家）。他推算出圆周率p的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出了圆周率p的约率在22/7和密率355/117，密率值要比欧洲早一千多年。（他编制的《大明历》，首先考虑到岁差问题的计算，对于日月运行周期的资料比当时的其它历法更为准确。又曾改造指南车，作水碓磨、千里船等。）
数学家小档案 2.18 朱世杰（1290年前后在世）： 元代数学家。燕山（今北京附近）人。他是中国古代第一个以数学为专业“周游四方”的职业数学家和数学教育家。西方的数学史工作者都认为朱世杰是他所生存时代同时也是贯穿古今的杰出数学家。朱世杰兼有秦九韶、李冶、沈括、和郭守敬之长，他将天元术推广为四元术，对差分法也大加发挥，曲尽其妙，宋、元数学演进至此，达到登峰造极的地步。朱世杰出在1299年着《算学启蒙》刊行于世，后来曾一度失传，使明清时代学者只知道书名而不见原著。（此书幸好传到朝鲜，后据朝鲜金治振重刻本转刻，中国才又重见《算学启蒙》一书。）朱世杰在1330年刊行《四元玉鉴》，集贾宪、秦九韶、李冶等前贤之大成，建立了四元高次方程理论，用天、地、人、物表示四个未知数，相当于现在的x, y, z, u。1764年法国数学家培祖(Etienne Bézout,1730-1783)提出的消去法，比朱世杰迟四五百年。朱世杰非常熟练地掌握了多元高次方程的解法。他对高阶等差数列的研究也独步一时，发展了沉括的隙积术、杨辉的堆垛术、郭守敬的平立定三差法，求出各种高阶等差数列的和，解决了堆垛和“招差”问题。他把“招差术”和“堆垛术”均归纳为高阶等差数列问题，可应用到内插上去，这就是现在的有限差分法。
朱世杰首次提出了正负数乘法的正确法则。朱世杰的成就，把祖国数学发展到了顶峰。
明清的数学家也有很多，但一大部分都忙于介绍、引进西方数学。只有戴煦（1805-1660）拒绝介绍西方数学。这一时期对中国传统数学的发展，已经乏善可陈。承前启后融中西为一体集大成者非李善兰莫属。
2.2.2. 现代中国数学发展概况
中国现代数学的发展从辛亥革命胜利后至今大约经历了四个时期。
一、兴起时期（1912－1949）
19世纪50年代起，李善兰等人*大量翻译引入西方的数学著作，对于近代数学在中国的传播起了积极作用。当时的中国数学落后于世界数学水平200年以上。
辛亥革命前后，大批知识分子怀着“科技救国”的抱负，远涉重洋，赴东瀛和欧美留学，其中有不少人专攻数学。这批热血青年学成回国后，成了中国现代数学研究和教学的中坚力量，如熊庆来三次赴法，陈建功和苏步青留日，华罗庚、许宝禄先后出访英美从事研究等。他们都没有被国外优越的工作环境和舒适的生活条件所吸引，学成后毅然回归祖国，为中国的现代数学事业奉献上颗颗赤子之心。
辛亥革命后，一批年轻有为的数学家纷纷在全国各地大学创办起数学系。例如，留日归来的冯祖荀在北京大学建立了数学系（1912年）。1920年，从米国哈佛大学毕业返国的姜立夫单枪匹马地去天津南开大学创办数学系。熊庆来和段子燮在南京办东南大学（1921年）。在米国康奈尔大学获得博士学位的胡明复和哥哥胡敦复回上海办大同大学，陈建功和苏步青先后到浙江大学工作，等等。这些大学的数学系培养了大量人才，日后成为我国现代数学的宝贵财富。
1919年和1921年，胡明复和陈建功先后在国外数学杂志上发表论文，无论从时间上或质量上，都标志着中国现代数学的兴起。此后，华罗庚的解析数论、陈建功的函数论、苏步青的微分几何、许宝禄的数理统计等方面工作都赢得了世界声誉。
陈省身于1943年在米国普林斯顿完成的工作，成为整体微分几何基础，他在1946年任中央研究院数学研究所代理所长期间，培养了一大批青年数学家。
当然，这一时期我国的数学研究主要属于经典数学范围，与当时世界数学主流和前沿的抽象代数、泛函分析、拓扑学的研究相比，还是相对落后的。
二、转折时期（1949－1965）
新中国诞生后，党和国家十分重视科学事业，关心人才的培养和使用。不少海外数学家陆续归来。1952年，在北京成立了中国科学院数学研究所并陆续建立了许多数学学科的研究室，各大学数学系也广泛开展了科研工作，并先后开始招收研究生。
老一辈的数学家成了学科研究的带头人和辛勤的教育家，他们从无到有开创了我国数学许多新的分支和研究方向，培养了大批数学人才，一支生气勃勃的科研、教学队伍逐步形成。这一时期，在现代数学的一些分支不同程度地取得了一些显著的成果，有些达到了国际水平，特别值得一提的是形成了中国数学的四大流派：以陈建功、熊庆来为代表的函数论流派，以华罗庚、柯召为代表的数论流派，以苏步青、严志达为代表的微分几何流派和以江泽涵、吴文俊为代表的拓扑学流派。
1956年评定国家自然科学奖时，华罗庚的“典型域上的多元复变函数论”、吴文俊的“示性类及示嵌类的研究”均获一等奖，苏步青的“K展空间和一般度量空间”获二等奖。
到1966年，我国数学水平经过17年的努力，正接近当时的国际水平。出版或发表了数量较多、质量较高的论著，某些分支学科已经作出了相当出色的成就。
三、低潮时期（1966－1976年）
十年动*乱是中国数学发展的低潮时期，不少数学研究机构被取消，研究人员流散，大学的数学系也是一片痪散，数学研究与其他学科一样，几乎处于停顿状态。这使我国数学和国际水平本已缩小的差距又拉大了。
但是在这十年内，仍有少数人，不管风吹浪打，坚持数学研究，取得了世界一流水平的成就。
陈景润在歌德巴赫猜想研究上取得了世界领先的结果，一位英国数学家致函陈景润，信中写到：“您，推动了群山！”在古典的函数值分布论方面，杨乐和张广厚取得了一系列具有国际水平的成果；侯振挺在《齐次可列马尔可夫过程》一书中提出的“非保守Q过程唯一性准则”，被国际上誉为“侯氏定理”，荣获1978年度戴维逊奖；冯康从事的有限元方法研究在国际上居领先地位；陆家羲彻底解决了组合数学中的“寇克曼序列”和“斯坦纳序列”两大世界著名难题。
在应用数学方面，以华罗庚为首的数学工作者在全国积极推广“统筹法”和“优选法”，以苏步青为首的数学工作者在上海江南造船厂结合船体放样，开展了曲线奇点和拐点的理论及计算几何的研究都取得显著成绩。此外，关肇直、秦元勋、周毓麟、李德元等在国防建设方面作出了重大贡献。
四、发展时期（1977－现在）
拨乱反正后，迎来了科学的春天，数学百花园中出现了百花争艳、万紫千红的景象。1977年制定了新的数学发展规划，恢复了全国数学会和各地数学分会，加强了基础理论和应用数学的研究工作。《中国科学》、《数学学报》、《应用数学学报》及各大学的学报每年发表大量的优秀数学论文。中国学者在国外发表数学论文约每年300篇（1990年统计数字）。
1980年以前，中国数学家在国外出版的专著只有6本，但到1990年统计，在国外已出版专著44本，另有10余本在印刷中，若将约稿计算在内，则总数将近100本。国际上最负盛名的斯普林格出版社出版了36名数学家的选集，其中有三名华人：陈省身、华罗庚、许宝禄。这家出版社出版的数学丛书已收有三位中国青年数学家的著作：肖刚（华东师大，第1137号），时俭益（华东师大，1179号），王小路（北京大学，1257号）。
我国在1956、1982、1987、1989年共四次颁发国家自然科学奖。各个自然科学学科共有394项成果获奖，其中数学有39项。近年来，还出现了不少以数学家名字命名的数学奖，如“许宝禄统计数学奖”（1984年）、“陈省身数学奖”（1985年）、“华罗庚金杯奖”（1986年）、“钟家庆纪念基金”（1987年）、“苏步青数学教育奖”（1991年）等。这些数学奖的设立，进一步推动了我国现代数学的蓬勃发展。
到了1986年，中国在国际数学*联合会（IMU）的代表权问题终获解决。国际数学*联合会第十届会员国代表会议，于1986年7月31日至8月1日在米国加利福尼亚州的奥克兰举行。在这次会议上，一致通过了中国数学会提出的方案，即中国为第一类会员国，共5票投票权，其中有中国数学会3票和位于中国台北的数学会2票、中国数学会理事长吴文俊和秘书长杨乐以观察员身份参加会议。此后，中国数学界与IMU的交往增加，1990年我国派出70人的队伍参加了在东瀛京都举行的国际数学家大会。
关于应邀在国际数学家大会上做报告，我国曾经有华罗庚、陈景润、冯康接到过邀请，但因当时代表权未获解决没有出席。1986年在伯克利的会议上，吴文俊应邀作45分钟学术报告：“中国数学史的新研究”。1990年京都会议上，我国旅美的数学家田刚（原北大）、林芳华（原浙大）各做了45分钟报告。
中国派往国际数学教育委员会（ICMI）的国家代表先后是吉林大学伍卓群、山东大学潘承洞和复旦大学李大潜。1980年华罗庚等5人参加了第四届国际数学教育大会（ICME-4），并且华罗庚作了大会报告。此后1988年的ICME-6和1992年的ICME-7都有我国代表参加。1994年，华东师大张奠宙应邀担任国际数学教育委员会第8届执行委员会（1995－1998）的8名委员之一。1996年8月的ICME-8上，张奠宙为国际程序委员。唐瑞芬在大会圆桌讨论会上发言。顾泠沅、王长沛、裘仲沪作45分钟报告。叶其孝任数学应用和建模小组的召集人，另外，1991年和1994年分别在北京师大和华东师大成功地举办了两次国际数学教育大会的地区性会议。这些都标志着中国的数学教育开始走向世界。
在陈省身教授的倡导下，1988年和1991年在天津南开大学召开了两次“21世纪中国数学展望学术讨论会”。会议提出了“数学科学研究率先赶上世界先进水平”的口号。陈省身说：“要有信心，千万把自卑的心理放弃。要相信中国会产生许多国际第一流的数学家，也没有理由说中国不能产生牛顿、高斯级的数学家。中国应该能够有自己的数学研究课题，平等独*立地开展与国际数学界的交流。”我们坚信，“21世纪数学大国”的目标一定会成为现实！
面对未来世纪，中国数学界正在实行新的赶超世界先进水平的计划。
2.3 世界之最的中国数学成就
一、最早应用十进制
中国是最早应用“十进制制”计数法的国家。早在春秋战国时期，便已能熟练地应用十进制的算筹记数法，这种方法和现代通用的二进制笔算记数法基本一致，这比所见最早的印度（公元595年）留下的十进制制数码早一千多年。
二、最早提出负数的概念
中国的数学专着《九章算术》，是世界上杰出的古典数学著作之一，这本书中就已引入了负数概念。这比印度在公元7世纪左右出现的负数概念，约早六百多年。欧洲人则在10世纪时才对负数有明确的认识，比中国要迟一千五百多年。
三、最早论述了分数运算
中国在《九章算术》中，最早系统地论述了分数的运算。象这样系统地论述分数的运算方法，在印度要迟到公元7世纪左右，而在欧洲则更迟了。
四、最早提出联立一次方程的解法
中国最早提出联立一次方程组的解法，也是在《九章算术》中出现的。同时还提出了二元、三元、四元、五元的联立一次方程组的解法，这种解法和现在通用的消元法基本一致。在印度，多元一次方程的解法最早出现在7世纪初印度古代数学家婆罗门笈多（约在公元628年）的著作中。至于欧洲使用这种方法，则要比中国迟一千多年了。
五、最早论述了最小公倍数
在世界上，中国最早提出了最小公倍数的概念。由于分数加、减运算上的需要，也是在《九章算术》中就提出了求分母的最小公倍数的问题。在西方，到13世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年了。
六、最早研究不定方程
中国最早研究不定方程的问题，也是在《九章算术》这部名著中，书中提出了解六个未知数、五个方程的不定方程的方法，要比西方提出解不定方程的丢番图大概早三百多年。
七、最早运用极限概念
大约在公元3世纪，中国数学家刘徽在他的不朽著作《九章算术注》中，讲解计算圆周率的“割圆术”和开方不尽根问题，以及讲解求楔形体积时，最早运用了极限的概念。虽然欧洲在古希腊就有关于这一概念的想法，但是真正运用极限概念，却是在公元17世纪以后的事了，这要比中国大约要晚一千四百多年。
八、最早得出有六位准确数字的π值
祖冲之是中国古代杰出的数学家，他在公元五世左右就推算出π的值为3.1415926<π<3.1415927,这是中国最早得到的具有六位数字的π的近似值.祖冲之同时得出圆周率的“密率”为355/113，这是分子、分母在1000以内的表示圆周率的最佳近似分数。德国人奥托在公元1573年也获得这个近似分数值，可是比祖冲之已迟了一千一百多年。
九、最早创立增乘开方法和创造二项式定理的系数表
中国最早创立了“增乘开方法”和“开方作法本源”。公元11世纪中叶的中国数学家贾宪，是他最早创了“增乘开平方法”和“增乘开立方法”。这一方法具有中国古代数学的独特风格。贾宪提出的方法，可以十分简便地推广到任意高次幂的开方中去，并可用来解任意高次方程。他的方法比西方的类似的“鲁斐尼－霍纳方法”要早770年。同时贾宪的“开方作法本源”图，实际上给出了二项式定理的系数表，比法国数学家帕斯卡所采用的相同的图（被称为“帕斯卡三角形”）要早五百多年。
十、最早提出高次方程的数值解法
中国南宋的伟大数学家秦九韶，在《数书九章》（公元1247年）中最早提出了高次方程的数值解法，秦九韶在贾宪创立的“增乘开方法”的基础上，加以推广并完善地建立了高次方程的数值解法，比欧洲与此相同的“霍纳法”要早八百多年。
十一、最早发现“等积原理”
在中国，“等积原理”是南北朝时的杰出数学家祖冲之和他的儿子祖暅共同研究的成果。他们在研究几何体体积的计算方法时，提出了“缘幂势既同，则积不容异”的原理，这就是“等积原理”。所指的意思是：“等高处平行截面的面积都相等的二个几何体的体积相等”。这一发现，要比西方数家卡瓦列利发现这个原理时，大约早一千一百多年。
十二、最早发现二次方程求根公式
二次方程的求根公式也是中国最早发现的。中国古代数学家赵爽，在对中国古典天文著作《周髀算经》作出注解时，写了一篇有很高科学价值的《勾股圆方图》的注文，在此文中赵爽在讨论二次方程x2-2cx+a2 = 0时，用到了以下的求根公式：
这个公式与我们今天采用的求根公式是很相似的。赵爽这一发现，比印度数学家婆罗门笈多（公元628年）提出的二次方程求根公式要早许多年。
十三、最早引用“内插法”
早在公元6世纪，中国古代天文学家刘焯为了编制历法，首先引用了“内插法”，亦即现在代数学中的“等间距二次内插”。这个方法，直到17世纪末，才被英国数学家牛顿所推广，但已是时隔一千一百多年以后的事了。
十四、最早运用消元法解多元高次方程组
公元1303年，中国元代数学家朱世杰在其所着《四元玉鉴》等著作中，把中国古代数学家李治（1192－1279）总结的“天元术”（即列方程解一元高次方程的方法）推广成为“四元术”，创造了用消元法解二、三、高次方程组的方法，这是世界上最早运用消元法解高次方程组的例子。要西方，直到18世纪，法国数学家皮兹才对这一问题作出系统的叙述，朱世杰比他要早五百多年。
十五、最早研究解同余式组的问题
南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“大衍求一术”，他对求解一次同余式组的算法作了系统的介绍，与现代数学中所用的方法很类似，这是中国数学史上的一项突出的成就。实际上在秦九韶推广了闻名中外的中国古代数学巨著《孙子算经》中的“物不知数”题，取得的解法被称为“中国剩余这理”，就是在这一方面的重要成就。他的这项研究成果比在18、19世纪欧洲伟大数学家欧拉和高斯等人对这一问题的系统研究，要早五百多年。
十六、最早研究高阶等差数列并创造“逐差法”
早在北宋时期，数学家沈括（公元1030－1904）就创立了与高阶等差数列有关的“隙积术”；南宋末期数学家杨辉亦研究了高阶等差数列，并提出了“垛积术”；到了元朝，优秀的天文学家和数学家郭守敬（公元1231--1316）在以他为主编著的《授时历》中，就用高阶等差数方面的知识，来解决天文计算中的高次招差问题。朱世杰则在其所着的《四元玉鉴》（1303）一书中，把中国宋、元数学家在高阶等差级数求和方面的工作更向前推进了一步，对这一类问题得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他创造了“招差法”（即“逐差法”），在世界数学史上第一次得出了包括有四次差的招差公式。在欧洲，首先对招差术加以说明的是格列高里（1670），在牛顿的著作中（1676－1684）方才出现了招差术的普遍公式，朱世杰比他们约早了四百年。
十七、位置计数法的最早使用
所谓位置计数法（参见美例点滴2.2）是指同一个数字由于它所在位置的不同而有不同的值。例如，327中，数字3表示三百，2表示二十。用这种方法表示数，不但简明，而且便于计算。采用十进位置值制记数法，以我国为最早。在殷墟甲骨文就已经对此作了记载，它用9个数字、四个位置值的符号，可以表示出大到上万的自然数，已经有了位置值制的萌芽。
2.4 近代中国数学落后的成因与剖析
从1303年朱世杰的名著《四元玉监》之后，到1592年明朝程大位的《算法统宗》之间近三百年，中国的数学出现了明显的衰退。正如中国古史算学者李俨在《中国史算学史》中所说：“公家考试制度，久已废止，民间算学大师，又继起无人，是称中算沉寂时期”。其原因为中、外数学史界所重视和探讨，所论各有异同，也常各有独到深入之处，这里略述几点，以供参考和启发，都并非定论。
一、社会方面的因素
中国几千年的封建社会经济和政治的持续，也同样是历史界探讨的问题。无疑它对科学、文化具有重要的基本的影响。
1．在中国思想史上，重道轻术的思想始终比较明显，其弊则在于阻碍了科技专业化的形成，使科技长期沦为儒学的附庸。
宋朝两宋共历18帝，320年。综合国力“积弱积贫”的局面，在宋代已经形成。
元朝自成吉思汗（1206：建立蒙古汗国）起，历15帝，163年；自世祖（忽必烈）定国号（元）（1271-1368）起，历11帝，98年。虽为外族统治，然而，疆土扩大且巩固和发展了我国统一的多民族国家。
元代统治时间较短，我国的数学以朱世杰为代表，尚有较大的发展。
明成祖（朱棣1360-1434；1402-1424在位。年号永乐。朱元璋第四子）解除藩王兵权，巩固中央集权，重用宦官。派郑和出使西洋（分七次先后28年，遍访30多个国家。明初大规模的远洋航行，世界远程航海史上的创举。永乐三年，即1405年，与王景弘率水手、官、兵27800余人，乘“宝船”62艘。至1407年返国。最大船只可容纳1000人。促进了中国与亚非各国在经济、文化上的交流。命解缙等编纂《永乐大典》，保存了大量古代文化典籍。
最近一则新闻报道（参见2002年3月26日《广州日报》），中国明代航海家郑和比意大利探险家哥伦布1492年到达美洲大陆早70多年。我们暂且不论这一报道最终能否得到认同，让我们看一下哥伦布航海的规模和过程。哥伦布（约1451-1506）：意大利航海家。1476年移居葡萄牙。相信地圆说，曾向葡王建议探索通往东方的航路，未被采纳。1485年移居西班牙。终得西王资助。1492年8月率“圣玛丽亚”号等3艘船和水手87人（一说90人），横渡大西洋。航行至古巴、海地等。后又3次西航（1493、1498、1502年。）到达中南美洲的加勒比海沿岸地带。因误认为其所到达的地方即是印度，故称当地居民为“ 印第安人”。郑和的航行比西方哥伦布、达·伽马等的航行早半世纪以上，船队规模与船只之大，都超过他们几倍。
明朝共历16帝，统治277年。过去的帝王，大部分不死不“退休”。真正的“死而后已”。还有封建王朝的“世袭”制度，几岁大的孩童，也可尊位天子。在这些荒唐帝王的“领导”之下，还能指望科技进步，国富民强？特别是宋末明初，宋明理学派成为垄断一切的统治思想，明代并以八股取士，以及其它一些原因，科学技术的发展受到扼杀，除了民间的计算技术还有重要发展外，数学已相应地大为衰落。当时中国古代的传统数学已几近失传。从明末利玛窦（伽力略的老师）怀着不良企图以介绍西方数学为名打入我国统治集团内部以来，我国的数学与古代相比已谈不上什么创造，基本上依靠国外的技术输入，在外国人屁*股后面爬行了。
清初数学这一阵地上已为西算所占领，我国古代传统数学几成绝学。直至乾隆38年（公元1773年）开始编辑《四库全书》，古典数书陆续发现，引起了研究古典数学的高*潮。19世纪初李潢作《九章算术细草图说》与《海岛算经细草图说》，为《九章算术》注疏作图并补出证明。
西方资产阶级革命已轰轰烈烈，工业发展如火如荼，我国还处在一片山呼“万岁”之声浪中，得意于“泱泱大国”、“中心大国”之美誉。但实质上，已是“大国殃殃”。自鸦片战争以后，由于外国资本主义的入侵，中国一步步变成了一个半殖民地、半封建社会。中国的数学乃至科学技术从此衰微。
从宋、元、明、清几个朝代的更替和发展来看，开国时期的几代帝王，较能励精图治，国家也因此能较快、较好地发展。但腐朽的封建制度，使得以后的多数帝王们在其位不谋其政。国力焉能不衰落？这些缺德少才的昏君，在位时间越长，为害愈甚。
另外,外族入侵，摧残民族文化最甚。 如古希腊的辉煌文化，在公元前146年，随着罗马帝国的入侵，其发达的数学文化随之中断。我国唐宋年间，科技文化尚属强盛，但随着北方辽、金国的入侵，以至元朝的建立， 虽然扩大了我国的疆土，但辉煌的中原汉文化的发展，却受到了一定程度的影响。 在以后的年代里，除个别时期和个别方面，整个华夏科技文明程度，基本上处于下滑状态。因而形成了近代中国常常处于落后挨打的局面。科技的创新、发明，需要稳定的社会环境，可以想象，在侵略者坚船利炮的“照顾”之下，生活流离失所，即使再伟大的天才，也难以有发明和创新。
2．长期自给自足封建落后和经济，对科学、数学的需要和推动是有限的。元代以后社会经济、商业又受严重破坏。
3．科举本始于隋，历代科举考试中曾有“明算”（数学）科，几经反复，元朝后则完全废止数学内容的考试。
以四书为主，后又大兴“八股”，耗尽中华子孙的天赋和智能。顾炎武指出，“八股之害”，甚于焚书。
4．知识分子地位之低下，自由思想的窒息。元朝以来等级制度森严，知识分子社会地位低下，俗称：一官二吏三僧四道五医六工七猎八民九儒十丐，又称七匠八娼九儒十丐，真可谓：“臭老九”。
元朝以后的封建统治者更残暴专*制，政界腐*败，学界亦是如此，清初仅新旧历法之争，也曾遭杀身之祸。文字狱叠起，学者无发表意见之自由，欲得科学的繁荣，岂非缘木而求鱼乎！
5．由于社会的经济、政治等因素，很少形成职业科学家、数学家及其团体
朝廷官方的必须的实用的数学应用，当然也是发展科学、数学的重要动力，而离开原始状态的人类，仅有这一点是不够的，又何况中国古代的经济、政治尚有好多不利的因素。
东瀛的三上义夫也称“中国之算学，历史甚长，且生于伟大文明系统中，然不能比较的丰富发达者，其主因盖在中国算学家，多不以算学为专业，此种意见，或亦非过言”。应当指出这一点常常是由某些社会因素而造成的。
二、数学内部的因素
一个民族的科学及其发展的特点与其社会方面的因素当然难于绝对截然分开，只是相对而言。
1．较强调具体和计算，而抽象的逻辑理论比较差。
如前所述，如刘徽的一些理论虽除具体计算外也有某种程度的抽象思维和推理，但还远远不够也是明显的，没有更高的并逐步提升的抽象思维，要创造出新的概念和新的计算方法也是困难的。如高次方程的解法仅在我国古算法的方法上是没有更大出路的，数学史表明只有在伽罗瓦、阿贝尔的群论思想提出才带来代数学上的革命。李约瑟指出中国数学“只重视具体数字，并阻碍他们去考虑抽象概念，中国人重视实践经验的性格总是使他们倾向于向这方面发展”，又说“专门致力于统治官员要解决的问题­­……‘为数学’而数学的场合极少，这不意味着中国计算人员对真理不感兴趣，但他们感兴趣的不是希腊人所追求的那种抽象的、系统化的学院式真理”，他说“中国人注重具体事物的特殊性格，使他们对希腊几何的抽象性，像对佛教徒的形而上学唯心论那样格格不入，因为后二者都是脱离实践和经验，脱离具体和实际”这些话不一定绝对的符合我们的全部历史，但总是反映了我们历史上某些方面的现象和原因，值得参考。
东瀛的三上义夫中肯的指出“中国先秦时代名家者流论理（即逻辑）思想已有相当之发达，若其倾向连续而进，则论理学之成立，或能期待，亦未可知，然其倾向不能继续”，他说“中国之思想上，无所谓三段论法”，虽未免有些过份，也反映了一定的问题，至于中国逻辑史与西方逻辑的差异，此不能详论。
2．适当的、系统的数学符号的使用，是我国古算学中很弱的一环。
应该承认，这一点对数学的提高和发展是大有影响的，有人指出“中国代数学在13世纪以后停滞不前的事实，主要是由于它不完善的，无适应性和符号”这一点从近代数学的发展更加容易理解的。形式化的数学语言，是数学发展的重要条件，没有适应的完整的数学符号系统就没有现代数学。
更值得思考的是，我们民族古代没有产生必要的符号系统的社会因素和思想因素又是什么呢？！这恐怕要溯源于逻辑及其悖论和数理之发展等。
3．缺乏学术交流。我国古代某些时期，各地区“鸡犬之声相闻，而老死不相往来”的隔绝，缺乏交流，也是学术发展一障碍。像秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰这样的大家之间都很少有交流，秦九韶和李冶都各自完成了一套解方程的术语，而总的体系又相似。
以上所论我国古代某些现象，而现代当然不复存在了，相信我国古代算学某些传统，古代哲学的精华会给我们科学现代化以裨益。当然每个民族应从历史吸取有益的教训，否则难于达到国家、民族之兴旺发达！
新中国的诞生，结束了中国近代一百多年不断遭受帝国主义列强的欺凌、侵略、蹂躏反而向侵略者和刽子手赔款的耻辱历史。为我国大力发展先进的生产力和科学技术、提高我国自立自强的能力、复兴祖国传统文化进而赶超世界先进水平，提供了极好的契机。但令人遗憾的是，我国科技文化发展的道路并非一帆风顺。在个人崇拜等封建习俗影响之下，中国人又陷入了十年“无产阶级文化大革命”的旋涡。又拉大了与世界先进科技水平的差距。虽然在人类历史长河中，“十年”是多么地微不足道，但对我国的科学技术的发展造成的损失却是巨大的。
和平年代中，民族的忧患意识，良好的社会制度体系，是科学技术快速发展的必要前提。从元朝至明清，除少数时期（如明永乐年间、清康雍乾年间等），正是其腐朽的社会制度加之朝廷对科学技术特别是基础科学重视不够，才使得我国科技水平一蹶不振。使生产力发展缓慢和停滞。造成了落后则挨打，挨打就更落后的恶性循环的局面。
中国数学只是在近几百年才落伍了。我国也是在近几百年由“中心大国”衰落成为“发展中国家”的。自1978年中国实行改革开放的基本国策以来，我国取得了举世瞩目的成就。我国的综合经济实力和科技水平大幅度提高。在我国现代数学史上，初步形成了复兴中国数学的新局面。在复兴中国传统数学文化、建立具有我国特色的数学学派这方面，吴文俊教授已为我们做出了榜样。吴文俊教授于40年代因在代数拓扑学与微分拓扑学方面取得的世界先进水平的结果而获得1956年的国家自然科学的一等奖。1956年当选为中国科学院学部委员（现称为院士）。1976年粉碎“四人帮”后，年近花甲的吴文俊教授，在对中国古代数学研究的基础上，开拓了机械化数学的崭新领域。中国数学不再是沿袭他国的主题、问题与方法，从而引起了国际数学界对我国的数学研究工作的日益密切的注意。1986年，吴文俊教授在国际数学家大会上作关于中国数学史的报告，引起广泛的兴趣。把中国古代辉煌的数学成就推向了世界。
我们有五千年的文明史，我们曾经非常地辉煌过。我们当代人有责任、有义务为复兴我国传统数学文化进而使我国的数学水平再度辉煌于世界而努力。
2.5 悖论与数学的三次危机
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛而艰深的论题。在此只能介绍点基本知识，以引起兴趣和讨论。
悖论与通常的诡辩或谬论是不同的。诡辩、谬论不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论、逻辑可以论述其错误的原因。而悖论虽可感到它的不妥，但从它所在的理论体系中，却不能阐明其错误的原因。也就是说：若某理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在该理论中却推出了两个矛盾的命题，或是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价形式。那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。
悖论通常分为两类：逻辑悖论（集合论悖论）与语义学悖论。其著名之例分别是罗素悖论和理发师悖论。
关于悖论的起因与解决的方案都是较艰深的问题，在此略去。我们仅简述悖论与数学“危机”。
1．希帕索斯的不可通约量，芝诺疑难－数学的第一次“危机”
公元前5世纪的毕达哥拉斯学派相信“宇宙间的一切现象都能归结为整数和整数比”。希帕索斯发现的“正方形一边与对角线不可通约”，严重冲击了当时希腊人的普遍信条。在惊异不安之后，还是被迫努力寻求对“自然数及其比不能包括一切几何量”这一事实的理解，毕氏学派提出的单子论概念解决这悖论，而单子论又遇到芝诺疑难的否定；进一步促使人们从直觉、经验转向追求逻辑和理性，到柏拉图、亚里士多德、欧几里德的公理几何体系和逻辑学的出现和发展。
2．贝克莱悖论、微积分基础的争论－数学的第二次“危机”
这主要表现为对无穷小量的认识和刻画。它对宗教、哲学的冲击是严重的，对科学的推动是深刻而广泛的。
一般认为ε－δ方法，实数理论的建立，康托集合论的出现是数学基础的完成。这种发展、进步本身，孕育和产生着更深刻的矛盾。这里面关于无限，逻辑的问题出现了一系列悖论，以及鲁滨逊的非标准无穷小分析。
3．罗素悖论－数学的第三次“危机”
19世纪中叶以后“数学这棵繁茂的大树已形整貎美”。一般气氛是自庆自*慰的，数学终于达到了逻辑严谨的水平，它绝不可能更臻完善。庞伽莱(Poincare)在1900年第一次国际数学家大会上自信而兴奋的宣称“数学已经被算术化了”“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格”。
1902年，罗素悖论出现，一片哗然！弗雷格正要出版的“算法基础”第三卷，他称“一个科学家所遇到的最不合心意的事。莫过于是在他的工作即将结束时，使其基础崩溃了，罗素先生的一封信正把我置于这个境地”。戴德金收回了正欲出版的名著“什么是数和数应是什么”。发现拓朴学中“不动点原理”的布劳威尔，认为自己过去的工作都是“废话”，声称要放弃“不动点原理”。
以罗素悖论为起点，连续出现了一系列悖论，尖锐的冲击了当时沉醉于丰硕成果的过分乐观的人们。在惊异之余，人们还是获得了更大的进步，如前面所说的类型论、公理集合论等，特别是对数学、逻辑、语言，乃至科学、哲学理论有了更加冷静、本质的认识，这是作为“智慧的人”一步重大的提高。这也固然反映了人类认识过程中的形而上学，绝对化的观点的受挫，然而，历史上又有多少不受挫而取得的进步呢？
由于经过了多次的数学、物理、化学、生物等等,乃至哲学思想上的重大突破，人类实践上的重大突破，到现代人类才比较习惯、比较理解了实践、科学、思维不断变革，不断前进的路程。
第三节 数学的展望
3.1 20世纪数学的简单回顾
20世纪的数学大致可分成两个部分。前半叶被称为“专门化的时代”，这是希尔伯特的办法大行其道的时代。即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。布尔巴基的名字是于这种趋势联系在一起的。在这种趋势下，人们把注意力都集中在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。后半叶被称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。下面从六个方面进一步概括20世纪的数学：
3.1.1 从局部到整体
在古典时期,人们大体上已经研究了在小范围内,使用局部坐标等来研究事物。在20世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难于研究，所以大多数只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是庞加莱，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为20世纪数学的一个重要的组成部分。希尔伯特的二十三个著名问题没有涉及拓扑学，他没有意识到拓扑学的重要性。但对庞加莱而言，他相当清楚地看出拓扑学将起到重要作用。
考虑一下复分析（函数论），这在19世纪是数学的中心，也是象外尔斯特拉斯（Weierstrass）这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变函数；对于外尔斯特拉斯而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以写下来，并且可以明确描绘的东西或是一个公式。也就是说：函数是一些公式，它们可以用显式写下来。然而接下来阿贝尔（Abel），黎曼（Riemann）和其后许多人的工作使我们远离了这些，以致于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质（奇异点的分布、定义域的位置、取值范围等）来定义。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。
一个类似的事情发生在微分方程中。最初，解一个微分方程，人们需找一个明确的局部解：是一些可以写下来的东西。随着事物的发展，解不必是一个显函数。人们不必用一个好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在函数论中的一切相比，这一切是多么地相似，只不过在细节上略有不同罢了。
在微分几何中，高斯和其它人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图像以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。
数论也有类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家讨论单个素数以及有限个素数时，被称之为“局部理论”；当他们讨论全部素数时，被称之为“整体理论”。这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论。
当然这种情况也发生在物理学中。经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程。接下来就要研究一个物理系统的大范围的性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。
数学家小档案 2.19 阿贝尔（N.Abel 1802-1829）：挪威数学家。生于奥斯陆，从小酷爱数学。1825年公费出国留学。1827年回国，在克里斯提安大学任教。不久患肺结核病。1829年被聘为柏林大学教授，未及到任即病逝。
在阿贝尔的数学研究中，“五次方程的代数解法问题”是其重要的部分。从16到18 世纪的三百年间，许多数学家对这个问题进行过研究，但未得到解决。1824年，还只有22岁的大学生阿贝尔第一次作出了“五次方程的代数解法不可能存在”的数学证明，引起了当时数学界的很大震动。
阿贝尔在数学方面的研究是多方面的。他与德国数学家雅可比共同奠定了椭圆函数论的基础，开辟了数学上的一个新分支。
3.1.2 维数的增加
还是从复变函数论开始：经典复变函数论主要是详细讨论了一个复变量理论并加以精练。推广到两个和多个变量基本发生在20世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内。不是所有的现象都与一个变量的情形相同。这里有完全新的特征出现，并且n个变量的理论的研究越来越占统治地位，这也是20世纪数学的主要成就之一。
另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何。大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变。在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间看到的东西。而高斯则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象，但当时人们也许没有认真对待它们。认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是20世纪的产物。同样地，也没有明显的证据证明我们19世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究的不单单是一个而是几个函数，或者是向量值函数（vector-valued function）。所以这里有一个独*立和非独*立变量个数增加的问题。
线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性。它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间。当然这涉及到了分析。在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论。一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中。这是一个古老的问题，但真正取得卓越的成果是在20世纪。
3.1.3 交换到非交换
从交换到非交换的转换，可能是20世纪数学，特别是代数学的主要的特征之一。代数的非交换方面，已经非常重要，当然它源之于19世纪。它有几个不同的起源。哈密尔顿(W. R. Hamilton 1805-1865)在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时，所采用的思想所启发。还有格拉斯曼（H. Grassmann）在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中。当然，还有凯来(Cayley)以线性代数为基础的矩阵方面的工作和伽罗瓦在群论方面的工作等。
所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，可形象地说成是20世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”。我们现在可以不去思考这些，但在19世纪，以上所有例子都以不同的方式取得了重大突破。当然这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展。矩阵和非交换乘法在物理中的应用，产生了量子理论。海森柏格（Heisenberg）对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被冯. 诺依曼(von Neumann)推广到他的操作数代数理论中。群论也是在20世纪占重要位置的理论。
3.1.4 从线性到非线性
古典数学的大部分或者基本上是线性的。即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动来研究的近似线性。真正的非线性现象的处理是非常困难的，只是到了20世纪，才在很大程度上对其进行了真正的研究。
我们从几何谈起：欧几里得几何、平面的几何、空间的几何、直线的几何等都是线性的。而非欧几何的各个不同阶段到黎曼的更一般的几何基本上是非线性的。在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了许多用经典的方法所看不到的新现象。例如，孤立子和混沌，它们构成微分方程理论两个非常不同的方面，在20世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本上都是非线性的。
当然，物理学中的麦克斯维尔方程是线性偏微分方程。与之对应的著名的Yang-Mills方程是非线性的。这是因为Yang-Mills方程本质上是麦克斯维尔方程的矩阵体现，由矩阵的不可交换这一事实导致方程中出现非线性项。于是我们看到了一个有趣的现象：非交换性产生一类特殊的非线性性。
3.1.5 几何与代数
几何和代数是数学的两个形式支柱，都有悠久的历史。几何学源于古希腊甚至更早，代数学则出自古阿拉伯和古印度。一直以来它们似乎都是两个道上跑的车，有着某种不太自然的关系，尽管笛卡尔（R. Descartes, 1596-1650）的解析几何将它们联系在一起。
回顾历史，我们可以看到：一个对象，不同类的专家研究它所得结果差异很大。例如，欧几里得和笛卡尔考虑几何问题、牛顿和莱布尼兹考虑分析问题、庞加莱和希尔伯特研究数学的观点和方法、以至于到今天代表性的传人是阿诺尔德和布尔巴基。
笛卡尔的做法是将几何问题化为代数运算。这当然是对几何学的一个重大突破和冲击。
牛顿基本上是一个几何学家而莱布尼兹基本上是一个代数学家，这其中有深刻的道理。牛顿发展起来的微积分学，是用来描述自然规律的数学尝试。他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理。在他看来，如果有人想了解事物，就得用物理世界的观点来思考它、用几何图像的观点来看待它。当牛顿发展微积分的时候，他想要的是一种尽可能反映物理内涵的表现形式。他用的是几何论证，这可以与实际意义保持密切的联系。另一方面，莱布尼兹有一个目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器。这多么象当年的笛卡尔啊！这与牛顿的思考截然不同，二者使用了很多记号。正如大家都知道的，莱布尼兹的记号最后得胜。牛顿的精神尚在。
庞加莱思考更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具。希尔伯特更多的是一个形式主义者，他要的是公理化、形式化，并且要给出严格的、形式的描述。
阿诺尔德毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点是几何的，是源自于牛顿的。布尔巴基努力继续希尔伯特的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功。
可以粗略地讲：几何涉及的是空间，而代数涉及的是时间。除了极少数人（如黎曼）外，数学家只能归为其一类。不是代数学家、就是几何学家。
趣话2.5 用较哲学或文学的语言来描述上面的现象：就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”。在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他想要的一个漂亮女人的爱，其代价就是出卖他的灵魂。代数就是由魔鬼提供给数学家的供品。魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，他可以回答你的任何问题，你只需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”（现在可以把它想象为一台计算机！）。当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假如我们出卖灵魂，但不真的给它。不过对我们灵魂的威胁依然存在，因为当我们转入代数计算时，本质上会停止思考，停止用几何观念来考虑问题，不再思考其含义。
数学家小档案 2.20 笛卡尔（R.Descartes, 1596-1650）：笛卡尔是法国的伟大数学家。他出生在法国图朗的小城拉哈的一个名门家庭，自幼丧母，体弱多病，加之父亲的溺爱，他在床上度过许多时间。八岁上学，教师特许他早晨可以晚起，为的是让他多休息些时间。但小笛卡尔并没有因此睡懒觉，而是利用这段时锻练晨思。传说笛卡尔的坐标概念，就是他躺在床上观察虫子在天花板上爬行时的位置而想到的。
笛卡尔八岁进入拉哈城的天主教耶苏会学校读书，这是当时最好的一所学校，由国王亨利赫四世创办。他后来在自己的回忆录中曾说：“从我的贪婪的学习中，只得到了一个益处－能够越来越深刻地发展我的无知，而我是欧洲最有名学校的学生。”
1616年笛卡尔毕业于普瓦界大学，后来在巴黎当律师，1617年他参加了奥伦*公爵摩里士的队伍。部队驻在荷兰南部小城市勒达时，一个偶然的巧遇，笛卡尔成功地解决了贴在街头海报上征解的数学难题，这次的成功使笛卡尔确定终生研究数学的意向。1619年11月，当他所在的部队驻扎在多瑙河上的一个小镇时，他不断地思考、研究他在数学、哲学中的新想法，于是一个伟大的思想进入了他的梦中，11月10日晚上在梦中，他见到怎样把代数应用到几何中去。那天他的思想完全被梦中的伟大想法所占据，因为他感到“发现了一种不可思议的科学基础”。后来他写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理。”这就是指他创立解析几何的线索。从此笛卡尔致力于研究数学的一个完全新的领域－解析几何，这是科学家用来研究自然现象的最有用的工具之一。
1621年笛卡尔退伍后，在欧洲漫游了一段时间，1625年回到巴黎，1628年到荷兰定居，专心研究哲学和数学，写下了许多著作，其中主要的有《方法*论》（1637年）、《形而上学的深思》（1641年）、《哲学原理》（1644年）、《论心灵的各种感情》（1649年）。他的解析几何著作《几何学》是作为《方法*论》一书的附录发表的。当时有人认为笛卡尔的《几何学》是“有史以来在精密科学的进展中所迈出的最大的一步。”
笛卡尔的《几何学》中提到的解析几何，现在看来虽然很不完备，但可贵的是他引入了新思想，开始了数学中的一次革命，即常量数学发展到变量数学。在笛卡尔之前，早在埃及和古希腊，就有人粗略地知道以坐标系为参数来考虑点的位置，费尔马也曾系统研究平面直角坐标系下的直线、圆、二次曲线的方程。而笛卡尔的真正进展是他证明了几何问题可以归结为代数问题，因此可用代数方法求解，他的方法极大推动了对曲线的深入研究，因为疑难的几何命题转化为代数问题后，就能用代数技巧使之化难为易了。他的这一工作不仅使整个古典几何领域处于代数学家的支配之下，而且大大加速了微积分的成熟，对牛顿等人发现微积分起着重要的作用。恩格斯把解析几何称为最重要的数学方法，并且高度评价了笛卡尔的革新思想，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，微分和积分也就成为必要的了，而且他们也就立刻产生……”马克思也在他的《数学手稿》一书中说：“由于笛卡尔把代数应用于几何，也就是由于解析几何或高等几何，函数的概念获得了新的发展和重要意义。”
1649年冬，笛卡尔担任了瑞典年轻的皇后克里斯蒂娜（Christina）的教师。但是不幸的是这位二十三岁的皇后坚持要求笛卡尔每天清晨五点到没有暖气的图书馆里去给她上课，因为他睡眠不足，身体虚弱，受不了瑞典冬天的酷冷，终于得肺炎，1650年2月11日，这位解析几何的奠基人，伟大的数学家、哲学家和物理学家与世长辞了。如果这个愚蠢的皇后不下这个奇怪的命令，可以预料笛卡尔将给这个世界作出更多的贡献。
数学家小档案 2.21 阿基米德（Archimedes,公元前287-212年）：
阿基米德是古希腊的一个最伟大的数学家，公元前287生于意大利西西里岛东岸的叙拉古城，公元前212年在故乡逝世。
阿基米德曾经在著名的亚历山大科学院求学，在那里生活了几年以后就回到他的故乡，他的全部数学和力学著作，都是在他的故乡写成的。他在世界数学史上占有很高的地位。他刻苦钻研的精神是十分令人敬佩的。当他在思考和专心研究的时候，他会忘记吃饭、休息和娱乐，他常常会面对着画在炉灰上的一些几何图形，一动不动地坐在那里思考好几个小时。
阿基米德在数学上有一个值得纪念的功绩，这就是他建立了通过内接和外切多边形计算圆周长的方法，使以后的数学家能够更精确地计算圆周长同直径的比。他将圆和多边形作比较，并使多边形的边数增加，计算出π大于223/71而小于220/70。他所用的方法在以后好几个世纪内被其它数学家反复使用。他还证明了许多几何图形的面积和体积公式，其中有一个是将圆柱和球作比较，他的这个想法有点类似于牛顿所发现的微积分。
平面几何中的有些定理，也是阿基米德首先证明的。例如根据三边求三角形面积的公式
一般人都认为这一公式是海伦发现的，其实最早是阿基米德提出的。（我国宋朝大数学系家秦九韶在“数书九章”[1247年]里提出“三斜求积”的公式，同上面公式的一样的。故人们常称此公式为海伦—秦九韶公式）。
阿基米德留下的数学著作有：《论平板的平衡》、《论抛物线求积》、《论螺线》、《论劈锥曲面体和球体》、《关于圆的计算》、《论球和圆柱》、《方法》等，从这些著作可以看到阿基米德的数学成就和卓越的思想。
阿基米德在解决数学问题和力学问题时，曾使用了“穷竭法”以及求面积和体积的“原子法”（这一方法，成为17世纪无穷小分析的思想基础）。他自己觉得“原子法”很有价值，他在给一位朋友的信上说：“我想，现在或者将来熟悉这个方法的许多数学家，将会发现越来越新的定理。”事实上过了2000年后，开普勒（J.Kepler，德国人，1571—1630年）和莱布尼兹等人都部分运用了接近于阿基米德原子法的方法。
阿基米德对不定方程亦有研究，他提出的一个从多七个方程解出八个未知数的所谓“群牛问题”，这是不定方程的最早例子。
阿基米德善于将数学知识应用到实际中去，特别是应用数学、力学原理，发明了许多机械，其中不少是军用的。他还发现了一个重要的原理，即浸在液体中的一个的物体所受到的浮力，等于该物体所排开的液体的重量。人们传说他在洗澡时产生了这一想法，他兴奋之余来不及穿好衣服，就跑去向皇帝报告。
阿基米德是一个真正的爱国者，他那高尚的品质使人敬仰。当时罗马军队包围了叙拉古城，情况非常危急，被围困的人们都感到绝望了。就在这个时候，阿基米德开动了他制成的机械，“用令人可怕的速度，轰隆轰隆地向敌人的步兵投下许多预料不到的石头，发射了各种各样的箭。……敌军溃败了，队伍被打得落花流水。”当时罗马军队指挥官马塞尔侥幸逃出了危险，后来他对自己的技师和机械师开玩笑说：“我们是在同数学家打仗吗？他安稳待在城里，能够击沉我们的船只，一下子向我们发射很多的箭，赛过了神话里巨人。”
阿基米德的机械虽然击退了敌人的进攻，但并没有使这个城市解围。最后当罗马军队攻占了叙接古城后，阿基米德也惨遭杀害。传说当时他正在考虑一个画在沙盘上的几何图形。当他发现有一个影子落在他的图形上时，他对这种打断他思考的行为提出了抗议，就在这时，一个罗马兵一剑刺死了他。
阿基米德是科学史上第一个将数学与物理融会贯通的人。在数学领域里他又是第一个将熟练的计算技巧和严格的证明溶为一体的人。虽然用今天的眼光来看，阿基米德在数学上所得出的结论并非惊人，但是他探索了前人未曾研究的问题，他的方法又有独创性，从这点来看，他无疑是古代伟大的数学家。
阿基米德曾经说过：“如果你给我一个足够长的杠杆，我可以移动世界。”实际上，他在数学和科学上的贡献，确实把世界向前推动。
趣话2.6 柯西－黎曼积分与勒贝格积分的形象描述：柯西－黎曼求和是这样来操作的，象无经验的店员清点硬币那样，检到哪个就点哪个。而勒贝格求和就象老练且有条理的店员那样，一法郎有多少、二个法郎有多少、等等先分类，再相加。当然结果相同。可是，在这些和数不清时，两种方法的差异可就大了。这导致了20世纪初诞生的新数学学科－测度论和函数的度量论。
趣话2.7 布郎运动的数学刻画：当英国的植物学家布朗（Brown）在显微镜下发现了液体中小质点的无序运动时，数学家和物理学家开头都没有认为这有什么特殊意义。在物理学水平上的布朗运动理论是由爱因斯坦（全都在1905年，此时他奠定了特殊相对论的基础，并对未来的量子理论的建立做出了差不多是决定性的贡献）以及波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基（Smoluchowski）提供的。数学理论的原理是由诺伯特．维纳（Nobert Wiener）建立的，并且在其中发现，布朗质点的轨道是没有导数的连接函数。外魏尔特拉斯于1872年造出了第一个连续而无处可微之函数的例子。数学界以怀疑的态度接受这一发现：很多人认为这是怪物，与现实无任何关系。19世纪最著名的数学家之一－夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）感慨地说道：“我以极其恐怖的心情不理睬这些恶魔－没有导数的连续函数。”那种认为世界上一切都是“光滑的”的习以为常的观点又一次破灭了，原来世界上住着一些“怪物”和“恶魔”。
布朗运动的完整数学理论是由哥尔莫戈罗夫建立的，并且这也是二十世纪中最重大的数学成果之一。
在20世纪的最后25年里，有一种巨大的从物理学的新思想到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一。量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术。物理学家通过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了，当然，这不是一个精确的证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和模拟所支持。数学家们经常来检验这些由物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的，而且它们中许多还没有被完全证明。
3.1.6 20世纪关注的若干重大数学问题
其中最古老的是费尔马问题（亦称费尔马大定理），即当n＞2时丢番图（Diophante）方程xn + yn = zn 在自然数中不可解。这是在17世纪提出的。数论中的两个著名问题－哥德巴赫问题与欧拉问题是18世纪提出的。是否每个大于6的奇数都是三个素数之和？哥德巴赫（Christian Goldbach）于1742年向欧拉（Euler）提出这个问题。欧拉在回答时说，要解决所提出的问题，只需证明：每个偶数是两个素数之和。这也就是目前家喻户晓的哥德巴赫猜想（可简记为（1，1））。
黎曼关于ζ函数的零点问题以及康托尔提出的连续统问题是19世纪的问题中最有名的。
在20世纪最著名的是希尔伯特的23个问题。连续统问题列于希尔伯特问题之首位：是否存在这样的不可数集，它可以单值映像到单位线段内，但同时单位线段不能单值映像到这个集合内。换言之，是否存在一个集，其势大于可数集之势，但小于线段之势？
费尔马问题业已在20世纪解决，正好在世纪尽头（参见数学小典故 2.14）。哥德巴赫问题差不多被维诺格拉夫（I.M. Vinogradov）解决了（1937），他证明出任何充分大的奇数可表示为三个素数之和。欧拉与黎曼的问题至今仍未解决。我国数学家陈景润于1966年证明了（（1，2），1973年发表）：每个大于6的偶数都是一个素数与两个素数乘积的和。这一结果离完全证明哥德巴赫猜想只差一步，是在这一猜想上保持领先记录最长的。
我们讲一下希尔伯特的几个问题是如何解决的。很大程度上，希尔伯特是个好的预言家，但某些情况下，直觉也曾使他的预言不灵。一般说来，这与出生于19世纪的人所固有的那种乐观主义世界观直接有关。希尔伯特重新把重点放在连续统问题上，所持的出发点是从两方面解决此问题的可能性：是或非。但业已弄明白了，用数理逻辑的方法和一套通用的公理化集合论，即不能证明也不能推*翻这个问题。它不可能被推*翻这点是哥德尔证明的（1936年），科恩（Cohen）证明了逆定理（1963年）。
希尔伯特对人类智能之无限可能性的坚强信念可在其自由奔放的格言中找到他自己的说法：“我们想要知道，我们就会知道”，这更加使他“深信每个确定的数学问题都应该有解”，这激励他提出第十问题：“指出一种方法，用此法，经有限次运算后，可以判明给定之整有理数方程是否可解”（或者换句话说，证明存在一种算法，对给定之整数系数n变元多项式P，用此法判定方程P＝0在整数中有没有解）。这个问题的答案也已证明是否定的（马蒂雅谢维奇（Matiyasevich）1970年）。
希尔伯特曾经如此地相信，三元函数的构造比二元函数更复杂，因此提出这样的假设，某个具体的三元函数不能表示为二元函数的叠合（第13问题），希尔伯特的假设被非常彻底地推*翻了：业已证明，借助于一个，并且是最简单的二元函数－加法（x,y）→ x + y－和单元连续函数，可以重新造出任何n元函数（哥尔莫戈罗夫、阿诺尔德，1957年）。
拓扑学的诞生伴随着伟大的成就。这里有几个例子。圆周将平面分为两部分：圆外任何一点都不能不穿过圆周而于圆心相连接。法国数学家约当于19世纪证出：圆周的同胚（即双方连续且1－1对应）象也将平面分为两部分。荷兰数学家布劳维尔将此结果推广到多维球面之同胚象的情形，同时，他利用并发展了庞加莱的思想，其中，他证出了现被称为布劳维尔不动点定理的美妙结果。该结果最简单情形是这样的：平面圆到其自身中的连续映像有不动点。拓扑学的进一步发展使这些结果得到了非常好的推广。
庞加莱提出过几个卓越的拓扑问题。例如，关于三条闭测地线这样的问题。假如取一块光滑的小石头，并且试着将一个橡皮筋圈套在上面，如果套好了，就表明获得了闭测地线。对任何光滑长圆形物体，必定有三条闭测地线－这就是庞加莱的假设－而且不会多于三条（对三轴皆不同的球面恰好有三条测地线）。这个问题已被苏联数学家柳斯捷尔尼克、施尼雷尔曼解决。
20世纪数学还有一些重大成就，例如，高斯-博内公式的推广（1941-1944）；米尔诺怪球（1956）；阿蒂亚-辛格指标定理（1963）；四色问题（1976）等。限于篇幅，在此不一一介绍了，读者若有兴趣，可参见文献《数学译林》杂志。
趣话2.8 费尔马大定理表述十分简明，自从三百多年前被费尔马提出后，曾吸引了象欧拉、高斯、柯西、勒贝格等这样的著名大师试过身手，却始终未决。高斯在尝试n=7的情形失败后，就放弃了这个课题，并说“费尔马大定理作为一个孤立的命题对我没有多少兴趣，因为可以容易地提出许多这样的命题，人们既不能证明它们，也不能否定它们。” 勒贝格曾向法国科学院提交过一个证明，勒贝格的名声使法国科学院大为振奋，以为这个难题终被本国人证明了。但经仔细审查，发现了漏洞。有些著名的数学家对这个难题敬而远之。例如，希尔伯特的23个数学问题中的第一个就是费尔马问题，当有人问他为什么不自己试试解决这个难题，他风趣地回答道：干吗要杀*死一只会下金蛋的鹅？
美例点滴 2.14 外尔斯（Andrew Wiles）证明了费尔马大定理：
费尔马大定理于1994年获证，可以说是20世纪数学的一首美妙的终曲。这使得以希尔伯特问题开场的20世纪数学发展更加富有戏剧性。
1637年前后，费尔马在阅读巴歇(G. Bachet)校订注释的丢番图《算术》一书第2卷第8题的页边批注道：“将一个高于二次的幂分为两个同次幂的和，这是不可能的。我发现了一个奇妙的证法，可惜这里的地方太小，无法写出。”但数学史家一般认为他无法完全证明此定理，但他可用无限下推法，证明 n=4的情形。
费尔马之后，整个18世纪关于费尔马大定理只有一个本质的结果，就是欧拉证明了n＝3的情形。
容易明白，若要证明费尔马大定理，只需考虑n为大于2的奇素数和n＝4的情形。因此下一个目标就是 n＝5 的情形。这一步到1825年才由狄里赫莱和勒让德证明出来。
1839年，法国数学家拉梅（G. Lame）证明了n＝7的情形。
高斯的学生库默尔(Kummer)证明了：对于所有小于100的素指数n，费尔马大定理成立。这是历史上第一次对一批整指数n证明了费尔马大定理。这一结果的领先地位保持了一百多年。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。这被认为是第一次突破。
直到1983年，费尔马大定理的研究才出现新的转机。这一年，德国数学家法尔廷斯(G. Faltings)证明了一条重要的猜想，称做－莫德尔猜想。由此猜想可以得出结论：费尔马大定理至多对于有限个整指数n不成立。法尔廷斯因此项工作获得了1986年的费尔兹奖。这被认为是第二次突破。
又经过了十年，终于有数学家登上了费尔马大定理这座高峰。最后的登山路线不同于前人，综合利用了现代数学许多分支的成就，特别是1950年代以来代数几何领域中关于椭圆曲线的深刻结果。这最后成功的登山者是英国数学家外尔斯。外尔斯从小就梦想证明费尔马大定理，当他成长为一名职业数学家后，从1986年起，开始竭尽全力但却默默无闻地投入到费尔马大定理的证明中。椭圆曲线恰好是外尔斯的专长，这给了他机遇，经过七年的努力，1993年6月，外尔斯在英国剑桥大学的一次例行的学术报告会上，在冗长的学术报告之后，轻声地说到：由此我证明了费尔马大定理。吵杂的会场，瞬时鸦雀无声。短暂的沉寂之后，爆发出长时间的掌声。人们普遍认为是第三次突破－最终证明了费尔马大定理。这一成就被列为1993年世界十大科学成就之一。但外尔斯长达200多页的报告，按照惯例，在得到最后的确认前，必须经过同行的审核。一个由六名专家组成的小组负责这项审查工作，他们以数学家特有的严格性一丝不苟地进行工作，果然发现了漏洞。又经过一年多的苦搏，到1994年9月，漏洞终于被补上，并经过了权威检查。这个数学难题在经过了357年之后终于获得了解决。外尔斯关于费尔马大定理的证明，分两篇论文（分别题为：《模椭圆曲线与费尔马大定理》和《某些赫克代数的环论性质》）后一论文系与泰勒(R.Taylor)合作，刊登在1995年米国的《数学年刊》(Annals of Mathematics)上。
外尔斯1994年刚过40岁，这使他错过了获得费尔兹奖的机会。不过在1996年，他成为迄今为止，最年轻的沃尔夫奖得主。在1998年柏林国际数学家大会上，外尔斯又被授于了特别荣誉奖。
3.2 21世纪数学的展望
21世纪的数学是量子数学的时代，或者称为无穷维数学的时代。这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数。在这里，“恰当地理解”是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。
Connes的非交换微分几何构成一个相当宏伟的框架性理论。它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论等几乎所有的数学分支。它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。这个理论至少会在21世纪初得到显著发展，而且找到它尚不成熟的量子场论之间的联系是完全有可能的。
试图将尽可能多的代数几何和数论的内容统一起来的算术几何也会是一个成功的理论。它已经有了一个美好的开端，但仍然有很长的路要走。我们将拭目以待。
3.3 21世纪数学的难题
变量数学时期也可称为近代数学的时代，这个时代是与欧拉和高斯这样伟大的数学家联系在一起的。所有伟大的近代数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。19世纪末就有不少人认为那几乎就是数学的终结了，优美的数学大厦已经建好了，蓝天白云下一派歌舞升平景象。罗素悖论的出现将这些幼稚的看法彻底粉碎了。相反地，20世纪初，大数学家希尔伯特提出的著名的23个数学问题几乎引导了20世纪的数学。世纪交替之时，全世界都祈望能出现20世纪初希尔伯特提出的著名的23个数学问题的类似物。数学发展到今天，已不可能出现象庞加莱和希尔伯特那样的通晓全部数学的大数学家了。许多世界一流的数学家，例如：陈省生、丘成桐、斯梅尔（S.Smale）、阿蒂亚(M.F.Atiyah)、阿诺尔得（V.I.Arnold）、郝曼德（L.Hormander）等也都只能就他们熟悉的部分领域提出问题。限于篇幅，在此就不罗列了。读者若有兴趣，可参见原文。下面给出的是每个奖励百万美元的7个千禧年数学问题。
表 2.6 百万美元奖励的7个千禧年数学问题
序号
问题的简称
内 容
1
P与NP问题
一个问题称是P的，若它可通过运行多项式次（即运行时间至多是输入量的多项式函数）的一种算法获得解决。一个问题称是NP的，若所提出的解答可用运行多项式次算来检验。P等于NP吗？
2
黎曼猜想
黎曼ζ函数的每个非平凡零点的实部为
3
庞加莱猜想
任何单连通3维闭流行同胚于3维球
4
Hodge猜想
任何Hodge类关于一个非奇异复射影代数簇都是某些代数闭链类的有理线性组合
5
Birch及 Swinnerton-Dyer 猜想
对于建立在有理数域上的每一条椭圆曲线，它在1处的L函数变为零的阶等于该曲线上有利点的阿贝尔群的秩
6
Navier-Stokes方程组
在适当条件下，对3维Navier-Stokes方程组证明或反证其光滑解的存在性
7
Yang-Mills理论
证明量子Yang-Mills场存在并存在一个质量间隙
最后我们以外尔斯（Andrew Wiles）在千禧年数学悬赏问题发布会上的讲话作为结束：
我们相信，作为20世纪未解决的重大数学问题，第二个千禧年的悬赏问题（黎曼猜想）令人瞩目。有些问题可以追溯到更早的时期。这些问题并不新。它们已为数学界所熟知。但我们希望，通过悬赏征求解答，使更多的听众深刻地认识问题，同时也把在做数学的艰辛中获得的兴奋和刺激带给更多的听众，我本人在十岁时，通过阅读一本数学的普及读物，第一次接触到费尔马问题。在这本书的封面上，印着WOLFSKEHL奖的历史，那是50年前为征求费尔马问题而设的一项奖金。我们希望现在的悬赏问题，将类似地激励新一代的数学家及非数学家。
然而，我要强调，数学的未来并不限于这些问题。事实上，在某些问题之外存在着整个崭新的数学世界，等待我们去发现、去开发。如果你愿意，可以想象一下在1600年的欧洲人。他们很清楚，跨过大西洋，那里是一片新大陆。但他们可能悬赏巨奖去帮助发现和开发米国吗？没有为发明飞机的悬赏，没有为发明计算机的悬赏，没有兴建芝加哥城的悬奖，没有为收获万顷小麦的收割机的发明悬赏奖金。这些东西现在已变成米国的一部分，但这些东西在1600年是完全不可想象的。或许他们可以悬赏去解决诸如经度的问题。确定经度的问题是一个经典问题，它的解决有助于新大陆的发展。
我们坚信，这些悬赏问题的解决，将类似打开一个我们不曾想象到的数学新世界。
关于本课程的考核与评分的若干说明
1. 完成一篇读书报告。选题最好从指定的题目中拟定，也可自己另定。
2. 读书报告的字数四千以上，用 Word 编辑并打印。
3. 交读书报告文本及软盘。
4. 思考题：
(1)数学中的轶闻趣事；
(2)中国近、现代数学落后的原因探析；
(3)数学中美的事例集粹；
(4)中国数学的世界之最汇集；
(5)大众趣味数学。
5. 参考文献与推荐阅读书目：
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[2] 岳建尧《数学资料集锦》 M 北京 北京师范大学出版社 1985
[3] 曾睁《数学教育的现代发展与研究》 M 长沙 湖南师范大学出 2001
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发表于 2014-8-9 11:41:50
