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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 |显示全部楼层

$ E, p1 i' k3 ?" [% G5 `7 y缉古算经
. r0 Y7 `* {0 O! J. C* p+ u& H
9 [5 l- m6 L+ ~6 m/ H8 u* r3 w上辑古算经表
1 I7 Y. X. h+ |$ D
; a( b! y9 s* ~& Q% w1 w  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。1 {9 V/ l! S' `# e9 w, j. i, v

6 V8 Y. b4 e1 r9 g+ c3 d! F* ?" o2 P6 M( _0 R7 a, r' q$ U
8 h. }, H0 ]* m. O
缉古算经5 v, i/ d0 L: N$ u: G6 s

  N* d8 R- ]: R% A  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
( m$ Z; k0 Y  O3 T  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。8 m8 ?" ^. c$ B4 x
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
5 V+ {, ], L1 R8 v8 ^2 B4 b% P* L  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。
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发表于 2017-3-19 09:55:43 |显示全部楼层

, o, k$ Y- U$ ?; @答曰:0 a: Z! P& F" G/ B) ]' n" r! }
  台高一十八丈( M% R! a5 J/ O" ]
  上广七丈,. L8 H7 k. O$ T& F
  下广九丈,
# k8 l4 `% `" Z% E  上袤一十丈,
- U+ I4 s4 m8 I* Q6 z$ ^0 F  下袤一十四丈;
# R; W- s5 D; l6 h3 P  甲县给高四丈五尺,) A% Q9 e* ]/ p. O
  上广八丈五尺,
% [8 ~2 j# V5 V' }5 c& Y$ S  下广九丈,1 c7 x* i9 G  `+ u# ~" P
  上袤一十三丈,
$ c2 Y1 t& x8 V  下袤一十四丈;
' b5 p: m5 G8 M  乙县给高一十三丈五尺,
1 S3 T! E" v; x  上广七丈,
' ?) p  C  z/ }9 a; O' h  下广八丈五尺,
- ^$ J# O8 ^3 a# M  上袤一十丈,8 s. s* Y- Q5 _7 M0 ?4 A. {
  下袤一十三丈;
7 E7 Z+ @$ _6 D, I  羡道高一十八丈,& b4 K8 p  H1 Z; f
  上广三丈六尺,8 q6 b' D6 u7 g& Y( P8 m4 e
  下广二丈四尺,0 m+ ]9 S. a$ L" B0 Z  V! z( f
  袤一十四丈;
$ `9 B4 v4 h* `0 O; e/ A6 `3 k  甲县乡人给高九丈,5 |( [! x! Y3 H. l8 {$ }
  上广三丈,  y; a* e5 f3 y
  下广二丈四尺,
% w  h" ^  J- G% |& ]  袤七丈;; ]$ W; O1 h6 _  [6 v5 w
  乙县乡人给高九丈,
: y* v7 z" e; x  上广三丈六尺,
' g, {4 Y; ^: y, t: L% T: t  下广三丈,
. }3 `4 A  J# C" P* Y) W4 S( k  袤七丈。+ _1 {. Q9 Q2 T( I! b
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。  X5 F2 H- q. f9 s
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。5 I8 n7 Q% d2 \; ?% Y, P! S# L
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。4 D" Q6 I3 [! G! ?4 h
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。/ x, x8 U1 {6 }1 g7 v! s
  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:56:08 |显示全部楼层

6 \  r" y4 f0 w% z* ^答曰:0 r: C2 G# u! R! y1 ^6 ^" B
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;- S" V* Q1 V8 B! {. t
  西头高三丈四尺一寸,9 \* j$ D: ~, q8 |- J
  上广八尺,
& K1 `5 n, \3 S  下广七丈六尺二寸,0 w; g" z* l5 T5 Z7 H
  东头高三尺一寸,- |/ Q. n9 y% u3 t0 u  H7 P4 M
  上广八尺,
3 m6 j/ I# x9 o  下广一丈四尺二寸,
- j4 @. Y% s$ {$ Z; W* S7 E  正袤四十八丈,  B/ ~3 w  C" a* q
  斜袤四十八丈一尺;
% y+ n: l6 S5 S5 v  甲县正袤一十九丈二尺,8 n2 o) S* P; W/ x
  斜袤一十九丈二尺四寸,
9 s; [: ~/ Z4 f& K8 a& ^6 s  下广三丈九尺,! I% O+ V% t- ^1 v  t( o
  高一丈五尺五寸;
/ m+ R6 F  U# O! z  ]  乙县正袤一十四丈四尺;! d+ ?9 A6 S+ V
  斜袤一十四丈四尺三寸,
5 j% }; F# D' [4 \  下广五丈七尺六寸,3 \7 R) }6 Y% F" l0 B
  高二丈四尺八寸;
$ j; w3 T; ^* V+ G4 x  \  丙县正袤九丈六尺,0 S0 t# z: b, d# Z1 W! |
  斜袤九丈六尺二寸,* W% K* w8 k- g3 h' {# E
  下广七尺,4 u! d7 G* E/ o( H3 ?
  高三丈一尺;
6 Q: V/ A) q% N0 A* s; X+ S  丁县正袤四丈八尺,
7 I! _6 `/ D+ }. i; v; s  q; i  斜袤四丈八尺一寸,9 H. }' r! [+ r5 E: b9 Y8 X
  下广七丈六尺二寸,- K1 k. o6 v5 F. G' Q5 z# d5 K3 e# n
  高三丈四尺一寸。* l' I) h5 }1 f2 p) r
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
4 c4 X& J7 |& x" D; a2 h  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。" T* E+ |$ h! m
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:56:32 |显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。
" \/ T& H2 b; Q3 H$ F  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
4 b$ X8 g. M7 l" v  答曰:6 x. t2 I9 E& F5 d1 L
  高三丈,
' |1 t: j0 ]( @" x# E  上广三丈四尺,
* z$ g0 k% A2 C5 q, m  下广一丈八尺,
  Q% y8 }% L5 F# F2 o+ E2 x  袤六丈六尺;3 {& \3 z# U& H* N- z; W4 l9 ?9 S
  甲县高一丈五尺,  \5 K! m5 i4 _  W6 G- E# d
  袤三丈三尺,
" D  n. t+ a' X: g8 _  上广二丈一尺;- o! g, Y  J: J6 s1 i, m) G, m
  乙县高二丈一尺,/ U7 q0 C# E, ~9 b
  袤一丈三尺二寸,6 p( ?% b3 ^. ?: T  |# O$ n$ M. c
  上广二丈二尺二寸;7 `1 [3 J" u# F" C- h
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,* ~% N$ s7 E/ R, `% n8 x+ n0 L/ i
  上广二丈四尺。0 Z' {: ?/ u3 ^/ I. T2 ]+ X- @
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。
" q7 o; f8 ^' g  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
* J' G* e! g% |0 `' p+ a! K  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?
- k- O1 U6 N* B+ F& c  答曰:4 O, Y& }1 t# V0 R; M" H
  漘上广五丈八尺二寸一分;4 [% n  k" _( R5 V$ Y
  甲郡正袤一百四十四丈,
; n- s7 a4 S; H  斜袤一百四十四丈三尺,7 D  ~4 s$ d6 Y; R2 P# ^
  上广二十六丈四寸,5 K+ R1 W9 q' k4 u' b0 }
  深一十一丈一尺六寸;
% N! ?% c' j: Z0 a- `  乙郡正袤一百一十五丈二尺,, l2 a+ ~" w7 }$ w" g% j+ l
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,$ |  G! B  s1 o) c1 c0 Y" x& C
  上广四十丈九尺二寸,3 M6 y1 T- l* m+ u  _6 |5 w
  深一十八丈六尺;5 K' m- [3 X+ r8 x7 q
  丙郡正袤五十七丈六尺,
7 f4 z9 k; u' J" t4 D6 }  斜袤五十七丈七尺二寸,$ u# }8 Y9 ^! C: v: f! E
  上广四十八丈三尺六寸,
, q5 T' _- y/ l/ X$ b, l4 ^& X- w: M  深二十二丈三尺二寸,- e7 S, e/ O2 _* r' W" L, `
  丁郡正袤二十八丈八尺,
  W( @$ h4 W+ K9 N* k, j  斜袤二十八丈八尺六寸,
, g- q9 G7 L9 ]5 g$ U8 U+ L3 k" S4 _  上广五十二丈八寸,
3 K+ u( c% O; v# b2 j  深二十四丈一尺八寸。
) [( H! D1 F' f. Z" N7 M; {
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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江都郡公光禄大夫

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发表于 2017-3-19 09:57:00 |显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。9 f: p# f: {3 N% h. s
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。
) s( N: O' a2 I( u" W/ D  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?
# A; R/ [: b' X  答曰:
, J. l7 v( `& l  窖上广八丈,' Z: ?( c& v6 n
  上袤九丈,
% k, w" n" Z# @6 F6 {0 N  下广一十丈,
" t+ H( e9 W" _4 q3 P  下袤一十二丈,
$ \1 |( }! C( T" c. b# @  深三丈;* _) v3 t7 ^5 m- Q* }
  甲郡八千七十二人,
! H+ o0 d0 X0 b! \( ?$ R( |; ~  深一十二尺,
  O4 u* Z3 @+ u# f, Z2 Z2 w* j3 R7 C  下袤一十丈二尺,) y4 c/ \: }5 w+ ]0 L* i
  广八丈八尺;
& W, ^" g! Y$ K, J9 W1 t( a* J  乙郡七千二百七十二人,8 B4 N, H/ h/ {9 S4 T0 J
  深九尺,) f0 h$ x/ [5 B/ R, [! ~4 s) q, y
  下袤一十一丈一尺,
5 g4 r& O6 f, U% K" _  广九丈四尺;) X# q1 I3 c: ^% j' Z6 c7 Z
  丙郡五千四百七十三人,
6 \+ f+ d9 N; ?. B/ F& Q  深六尺,下袤一十一丈七尺,9 c# \2 S0 P& k7 K; O
  广九丈八尺;
  H9 J0 d6 d$ J% E# a1 H  丁郡二千九百三十三人,& P% W, S2 ?) Q4 X( y' ^
  深三尺,
; o0 A; T* U5 a/ D9 B# `+ G. D3 `9 l" S  下袤一十二丈,
5 T7 B1 t, [) Q0 P  广一十丈。% |( m5 ^8 @' a- R( g2 I* ?" A3 a
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。6 V. T3 E; C* w- W+ K  E
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。" q$ a1 o% ^, i  }  H3 Y/ k/ l
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:27 |显示全部楼层

7 C# m' U4 Z2 k6 O假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?* ^3 _, F9 V0 R8 [
  答曰:
& F, ~; C6 f' C* P1 ~! J  上方三尺,5 I- d: P3 \- U0 Z" ^
  下方九尺,
, H) s+ s- t& o  高一丈二尺;# B+ H, k! O+ x4 m, C
  余粟深、上方俱六尺。
1 w0 U- ]2 l2 o2 E5 d+ F  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
# r6 K) V: E! y$ j" K5 u. `  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。! Z9 i/ K1 \2 h
  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?5 N" ^6 ~4 v- D9 k
  答曰:
' d+ W* b- J; R  高四丈八尺,
8 o8 v; b  ~5 E" ^  上广三丈六尺,1 k: Q: ~4 v$ j3 B
  袤六丈六尺。
& n8 I& J0 B- X( m$ l: g  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。% [, I; L) e' P2 a0 A8 R0 ?# f
  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?+ J; `% |$ Z3 ?- S
  答曰:. @( i5 ?1 l; d' A# P
  一周一丈八尺,
4 v8 s2 C% l* z8 R" p* ?' b0 ]  下周三丈,  }7 F$ C; X0 g$ n. S
  高三丈六尺,/ b+ B5 ?3 J& V5 E% E
  去口一丈八尺,1 G9 r- w% N" z4 D4 p" W, `
  粟周二丈四尺。
" o( ~+ p4 J) u. @  a  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。  `  |- Q+ I0 N! t/ j: n
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
5 w" {( B5 ]) p1 f  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
0 H* \" a0 X( P" p  答曰:
' _  i! D% z9 R7 G! E  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),5 ?6 ~0 t$ s" J5 M7 D, m6 H
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
3 ]" q- o: |* B3 h4 G% U' v  高与深各一丈五尺五寸。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:53 |显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。& s5 i8 T' P" z
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
& v5 m0 k) [4 G, d7 {2 Z  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
& O8 ^  p( C) q: v1 x; E7 r  答曰:$ v5 M+ L: X0 z8 Y
  方一丈八尺," x% X: R2 H# Y1 a
  高深一丈三尺,+ C5 R+ i( G6 M! [. B; Q1 ?, ]
  圆径二丈八尺。6 t" @% ^) b  d$ k: q2 e
  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。
2 \+ i( R0 R  V1 P# H  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?- _% p( g' h1 h$ \0 A& L. A# n& n, s
  答曰:3 T; P1 N* O9 E& o" D! s' N. i
  方、径各一丈六尺,
/ E6 P( }5 b8 z7 Z9 u+ f  W  x" g* p  高一丈九尺,
8 Y; U/ z9 J, p! @1 D  深一丈四尺。
) k- p+ Q4 w1 D% v% n) X) S  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
7 t8 x0 T  \, n- p5 p  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?8 }& l, ?' ?* M; a8 K2 `1 v
  答曰:8 N0 ?) R; A5 _5 ]" r, W  J4 U4 ]9 z
  上方、径各七尺,
! ~* m( l& A/ z. d8 |5 j% k! B  下方、径各二丈八尺,& W% f8 @: j* C6 l
  深各二丈一尺。' [* B* a, z: n5 P7 ]! a7 W
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
2 A7 V, ^5 u2 g
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:58:17 |显示全部楼层
" Z1 x/ \* t7 T2 O
假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
! b; v: S" X: n3 ~  答曰:
/ l8 S* @. y. Z2 ~7 Q8 t1 _9 u  方窖上方七尺,
; D. i8 P8 ~% [% |2 X0 l1 u. N# j  下方二丈八尺,  x" L. X8 H7 b( t% z7 ]1 F. A
  深二丈一尺,1 J9 `4 F2 A& W! W: R
  圆窖上下径、深与方窖同。5 ~" j* U& ]6 E, J1 [& Q
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。) Q% S! Q  D- I9 S7 [
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?
9 y3 S& Q$ u5 V  F  答曰:
, q) D- t* H# f" i# ^" z  句十四二十分之七,; s% S; m8 t2 o9 X
  股四十九五分之一,
& @7 _1 g; W# n& u" ]  弦五十一四分之一。( [, x3 j. m& P' A3 y* j) U
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。9 v7 S3 G2 ?0 P7 L
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
2 e4 S' K$ y3 G( P. ~$ ~* x1 d% m1 e  答曰:弦一百一十四十分之七。. E: N4 }9 M) z/ K
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
: l1 d- H2 h4 c2 k. ~4 o2 p' C0 ^& W  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?' j3 ]1 U2 H, X+ N& v3 W6 S8 d1 [4 P
  答曰:九十二五分之二。
* `: b6 a$ `4 h, ^" s' c2 q$ ]8 U6 H- m  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
5 l/ c% ?( T" m5 Q( Q# G  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。! R  }+ e5 o" P: Y0 p* z; q0 L
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
* q# \6 ~* t. g" T  y( f2 r  答曰:六十八。
* P5 }5 f4 R5 O5 V8 T  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
. o. g' K7 H, |1 `  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?) O4 B% a1 s4 g( K; [
  答曰:股二十六五分之二。5 P9 ]5 K( X% q' k" m( k% z7 n+ q
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)
8 s# f. |5 {- {* N" O  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?
9 f: P) w& [' s2 P0 t0 w  答曰:句八、五分之四。) j, l) ]. n& s( }
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
9 ~* q1 @" m& S5 v9 u2 F* L7 {' y4 M, M1 R! o2 m' I  h3 [
缉古算经跋
" A: Q3 c. ~/ W8 D" U" w, @" b# @+ Z. H; j+ e- T  a1 l
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。- B" |8 ]1 }8 q8 A) W; J
0 x8 c1 d8 V/ A6 ^& `( C: r
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
# M. \- n# g; u" \- n+ M
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。
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