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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

1 L& b6 _: |( ~+ t缉古算经
$ W# Z& v/ i' D4 Z  e& S" ~$ p) E0 F1 H1 ^% \+ w4 p3 q; U! h  D
上辑古算经表! O7 O$ t- t2 [. \# i3 F
& x) |' K' ^$ F: J
  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。$ w' ~0 o7 K, v

3 t" i( ]7 i' l' ?" n+ d' j) `6 G) X9 N
9 @" Y, ]3 q0 ^% v5 }
缉古算经( ?; D6 f/ d6 O2 o5 b
8 z" `+ m2 x$ N3 ~
  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
" a4 p  }3 H# Q' d  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
/ n; U2 J8 E5 q# n" I  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。7 ^" ^8 N' I$ j7 B4 a! k! k
  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:55:43 | 显示全部楼层
6 X+ H3 S( |1 N; i( S8 n' _
答曰:6 y# [1 y- ^: Y- ^0 R
  台高一十八丈
$ R; A: M9 @* ~- a* k' B' f/ Q/ A  上广七丈,
+ w, Q/ V( \* K/ M# F: D" g  下广九丈,6 B. e% M- E& x/ |( ?4 J! R: a. p
  上袤一十丈,* k+ p4 o( x/ A. V0 B& V: V) b0 v
  下袤一十四丈;' q* E( |+ R- J. s: Z( S
  甲县给高四丈五尺,
4 I* R5 ?5 q/ V+ v" q; [; ~  上广八丈五尺,
& E" Z" x) S0 E3 A  下广九丈,
/ m9 F4 f( h; Q1 h  上袤一十三丈,
: K8 O9 G+ o; q* h$ f1 T- @  下袤一十四丈;, p2 Q0 F7 Q% C1 J; N$ v
  乙县给高一十三丈五尺,
8 \* K) b" Z" F- [- A  上广七丈,' X8 I+ H$ R0 v& ]: F$ d
  下广八丈五尺,
. P/ @. V9 k" g; o  上袤一十丈,
; y, b8 B; ]. J6 \3 _" C; N  下袤一十三丈;: Y5 V# a" W8 ^* Z0 w
  羡道高一十八丈,
8 y1 K3 y. T- S; z" G) f8 B5 n* g  上广三丈六尺,: U/ `, Q4 L/ L
  下广二丈四尺,# V5 ?, c* m' F  @1 g7 ], ^8 M
  袤一十四丈;
! O. ^$ Z% |9 i6 k. y- K  甲县乡人给高九丈,% I6 D) L+ ~$ K$ M1 D9 V
  上广三丈,! g; ?0 S: N0 k8 j: S+ I
  下广二丈四尺,
4 @7 r  C+ d5 V  S3 F: H# D  k) ?  袤七丈;
9 o* M: N& u  T9 \  P  乙县乡人给高九丈,
/ a# H$ C0 i0 E6 Z. A& h  上广三丈六尺,) _1 l+ s, A. z( i/ H
  下广三丈,4 a/ Z% V# P  Z4 y& N: W# T
  袤七丈。9 |7 i" {+ \6 D0 k+ v* Q) m
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。1 ~7 A  s  _9 w
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。( ]4 |2 B) Q1 y) R% N% J- v
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。6 z) S4 x+ l8 h( q" t
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
4 [) _- ?- Q9 q% T) {6 i6 o  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:08 | 显示全部楼层

- k& c1 }2 w* A4 A4 @1 x0 _答曰:
! I( R# i$ ~- j% P  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;, }( `; L8 x0 l: [6 e/ Z- H
  西头高三丈四尺一寸,
( W( X! ]+ q# H* ?, X6 e+ I7 @  上广八尺," R" o% B: E8 J+ M( V
  下广七丈六尺二寸,
; W. N& d8 F4 ^$ O3 t  东头高三尺一寸,
' ?7 r6 R: t. H5 g- @0 U  上广八尺,
4 K" a! h# X0 X: q9 H0 V* q/ ?& g  下广一丈四尺二寸,
- s; ]+ i$ ^! W. l1 Q; q  正袤四十八丈,
) Z5 W1 \# D0 |  斜袤四十八丈一尺;
% o9 K' s9 W- O' m" [  甲县正袤一十九丈二尺,
! `, B, z$ B' {1 Q  斜袤一十九丈二尺四寸,
. X" [; R8 c5 Z0 J( U, m; c; B  下广三丈九尺,
1 K2 a) ?) n# ~7 g; L2 Q1 ~  高一丈五尺五寸;1 g' F4 {. l8 s9 C5 k
  乙县正袤一十四丈四尺;/ H1 V# k2 R- {: z0 \. P0 q7 E
  斜袤一十四丈四尺三寸,5 e+ G6 ~6 j& W9 R8 |- M0 J1 q
  下广五丈七尺六寸,
" t) S9 H* j0 r. x  高二丈四尺八寸;, v) ?- h0 y7 y6 g. a! q1 C# I3 v
  丙县正袤九丈六尺,
$ c/ r& O, y4 t* x  斜袤九丈六尺二寸,/ p( r/ [( ^$ ~4 k7 r: R$ U5 X
  下广七尺,
; e& v- l, I4 ?% |- P7 m  高三丈一尺;
( A; p& {0 C9 R2 H# l& R  丁县正袤四丈八尺,
( j- v8 X5 {8 k0 E2 H  斜袤四丈八尺一寸,
6 a) e' ]3 k) D, J* S) w4 o  下广七丈六尺二寸,
$ z+ r9 E( i% W" J& f  高三丈四尺一寸。( V$ G9 N9 K( U  o
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
/ R6 H: Z. n& ]  y) F) k9 |  j! e  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。" x% i/ O* a0 t, ~3 u
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:32 | 显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。* W5 ~$ Y9 C% l  K1 |
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。! L* E2 s+ B' M7 Q& F$ z
  答曰:
1 |2 t( u6 I( S2 W. N4 w5 P! Q  高三丈,. d* D) B' J* c( Q& u! Z
  上广三丈四尺,
% p1 `1 }- k; I% f0 N  下广一丈八尺,7 O; C0 M5 a2 K8 h2 t5 ^( C* W
  袤六丈六尺;0 C' Y( ]( N1 i% G8 \
  甲县高一丈五尺,
% H  o8 k1 X: u0 m  袤三丈三尺,6 x5 A% H# Q6 H- i  g
  上广二丈一尺;
' y, h4 s4 y0 u  F4 `  f+ o  乙县高二丈一尺,
* ~( n  C( E# @; c+ L) T4 p  袤一丈三尺二寸,
) o4 `. \& |# \( _  上广二丈二尺二寸;
5 R/ `" I  }+ L$ L, T+ Q4 e  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,# M; o% v! w$ S- f8 e. u/ T- [& x
  上广二丈四尺。& M/ _: @# B5 C- N' H( l
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。
, H$ _+ i! F& u: L9 p  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。4 t6 b4 P! ?" ~* M
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?% k9 S1 c2 K& @
  答曰:( E7 B8 T% y: |1 @, W# \$ l
  漘上广五丈八尺二寸一分;. F0 s. t$ L* z; I6 A+ L2 C
  甲郡正袤一百四十四丈,
. D" [# M- w6 n6 n( y  斜袤一百四十四丈三尺,/ b! f! k* r7 E5 o- [" r
  上广二十六丈四寸,
) n* }( F: @( m7 T/ M/ y- e  深一十一丈一尺六寸;3 x3 j; s7 n8 `! ?
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,4 G9 L: {/ _) V! k: S' V
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,, ^9 z- r& ^! H, ^
  上广四十丈九尺二寸,1 X% q0 i1 q- l! G1 t* S% i! u
  深一十八丈六尺;+ M* ?% z) P8 O$ w8 n) N! _
  丙郡正袤五十七丈六尺,% X+ y- m$ i2 a7 m' t6 E
  斜袤五十七丈七尺二寸,4 M3 V/ X/ e, ~8 J
  上广四十八丈三尺六寸,9 M% t! [8 u: V9 R6 ~
  深二十二丈三尺二寸,
1 O2 Z7 W4 S; t7 r, L5 x  丁郡正袤二十八丈八尺,0 @, G8 j1 [6 e/ c4 t+ R) Q
  斜袤二十八丈八尺六寸,4 C+ }& T# z, h* [) v: w
  上广五十二丈八寸,/ s; n+ k1 m3 S: R# A! `" g8 p" l
  深二十四丈一尺八寸。" _7 ^" T$ ?# b0 `& j5 z+ G  o6 W
国学复兴 文化传承 兼容并包 百家争鸣
     
 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:00 | 显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。
2 Q2 y& {0 P+ R/ k$ y  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。
/ z( |, v4 f0 K$ x: Z& ?  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?6 ^7 A& A0 H6 o& s/ i: u
  答曰:, _  Y. \7 W$ p6 w
  窖上广八丈,# B) p1 b% n  M
  上袤九丈,  I' D& t( ^9 Y# V5 l. e. K0 X8 l+ `
  下广一十丈,0 K  m8 {# ~4 y" X  b0 }
  下袤一十二丈,; O9 u+ G1 I) X5 U
  深三丈;
$ m7 P! ]* ?4 d6 M' G4 ~( O6 H  甲郡八千七十二人,* u3 s% I( H+ S' j) s! p9 B0 i
  深一十二尺,( _, s5 V1 F3 }" v
  下袤一十丈二尺,
& D" X7 D- j6 ~! m  广八丈八尺;! {9 q, H. @5 t% N2 \; L, o' P" o+ y
  乙郡七千二百七十二人," \' N, A+ H  B7 T+ K- ?5 n
  深九尺,: H4 u" C" b+ D4 [
  下袤一十一丈一尺,- E- ^: f! b# W0 P% f3 E
  广九丈四尺;1 K8 h4 c( }" _6 h6 K0 q4 e
  丙郡五千四百七十三人,
: D/ |: x0 o7 w  深六尺,下袤一十一丈七尺,
5 z  E3 J, W' D5 y) n' Y0 A: _  广九丈八尺;
5 q0 G, d  i4 k0 a! L- U, }7 C' u  丁郡二千九百三十三人,! x& ?7 l( E6 [  h" ?0 q8 b4 g
  深三尺,0 l( }3 k* D' f4 ^  O
  下袤一十二丈,) I8 y) Y7 B& ~6 d' U
  广一十丈。1 Y8 s! |9 P; r. {( m, }
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。
$ u5 L* z6 W2 `1 I7 A+ r5 j0 c' C  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
* \+ z( w% {, l+ I( k
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:27 | 显示全部楼层

. }0 T7 W: I9 a: X& x; ~假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?% y5 m' R0 g5 g0 ^2 i/ b* h/ m
  答曰:7 s: S" w. {$ {- I3 S0 Y
  上方三尺,
9 H  g6 X% b# j- N7 ^  下方九尺,
+ B! }+ V" H) s% N# p  高一丈二尺;
* l3 x( H9 a! _3 L) z& R  余粟深、上方俱六尺。+ H9 }7 ~# R! y/ l# c
  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
7 t& c; s2 m7 L5 i  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
; j5 g4 c4 h3 I0 Q; H- _, a! l  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?: ~, T3 d' j' o- a! {! k
  答曰:
% g0 U; x! V& @1 s* L$ `$ i; I  高四丈八尺,8 a) h8 ~4 ^" U+ a
  上广三丈六尺,2 g+ {' d( S! F' f9 g5 n! U3 W
  袤六丈六尺。% @, h# d+ {: U
  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
' b6 U  G! h; w9 C) v  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?: c1 H/ Q7 P% t
  答曰:7 p# U4 ~$ @* l- G* L: r
  一周一丈八尺,
1 ?9 T0 y0 C9 \# q  下周三丈,
: o0 }& U* e* @& a" Y4 G% t0 D  高三丈六尺,1 R6 _9 _1 j$ m8 x2 W5 M2 b
  去口一丈八尺,
7 w9 ~. f& H! C  粟周二丈四尺。, ?7 d2 n0 l8 z+ T! k
  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
" m4 b3 {9 r) r' {6 N( P  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。" J) k# |" R/ Z8 T0 Y
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
' j9 m; u; E/ C8 J( m  答曰:; v8 u, Z7 i$ u, _  a
  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
7 _/ M/ v- O& {  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),# e. y8 w- t$ H: l; M
  高与深各一丈五尺五寸。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:53 | 显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
% Y7 }  E! t! |& e( c  u  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。- C/ P! D! z# ^! J3 D0 C
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
3 E5 c4 H8 x7 }" D3 S; Q  答曰:
( {1 T0 j  T, |, ?6 A  方一丈八尺,
% _  U3 i% n8 W2 L: D0 ^( S  高深一丈三尺,
1 [2 ]7 T1 g8 J  ?6 m8 V  圆径二丈八尺。
- A2 P6 e" s) U( r' c2 N  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。/ P. q+ |0 h, D5 g9 ~3 S
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?! F* y/ O8 E( h) c
  答曰:+ X& O0 {, V* E7 N1 q
  方、径各一丈六尺,! w4 l  p' J3 C. [! C, r# C; \
  高一丈九尺,+ V, |  D+ ]; ]% e+ D: p5 g/ F9 J
  深一丈四尺。% I9 D6 h& `) Q. H
  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。  m3 t4 O, ]! k9 m, O+ |' ]
  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?; I  d# Q0 v0 L3 \; C) u% I( \
  答曰:& T+ l3 S# w) }. }( k) V
  上方、径各七尺,. Z3 r( Q5 k' O) W4 U$ e
  下方、径各二丈八尺,2 b7 n5 U  I' o4 }9 i3 s7 s1 k
  深各二丈一尺。
9 j6 U3 I3 `5 ~  s- N  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
6 T& ?& E; h2 }- Z. K; j1 U
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:58:17 | 显示全部楼层

1 v" f1 ]1 H3 V  T假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
% {, U3 F2 c3 N; [! X5 N  答曰:" R& y& S5 ^. t* V- f
  方窖上方七尺,
' S; ~5 d% V" P  下方二丈八尺,- R8 z- Y& l# Z. a/ o) V2 d* R
  深二丈一尺,
% {" S! `' q  T/ t/ B4 g  圆窖上下径、深与方窖同。! j; G3 g/ b. l% ?
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。8 [8 l( S  V0 C* X4 N" B1 Z7 R
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?/ C. E7 E( d/ K) y$ X
  答曰:$ l% m* E8 X: ^1 l: H9 x
  句十四二十分之七,& M! J# X  }5 g) ]0 [! Z+ p
  股四十九五分之一,
0 S8 J3 y1 m1 `  @7 P8 s! y8 ]# G/ P  弦五十一四分之一。
6 d; F8 w9 X9 {$ T) D# M4 ?  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。8 z  D0 Y. x4 ]- i& ~6 ?4 e
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
" d; O8 `! p! P" ]. o! E, Q4 ?- S9 N  答曰:弦一百一十四十分之七。
* J2 a- m( x# k4 y& e  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。( b4 K! E; A, z( g4 b
  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
% x% F$ ~, e# i) ~4 N: r+ z4 p% G  答曰:九十二五分之二。
0 x9 l" ~( X5 H8 d' f  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
5 d! a6 B5 U* G+ V0 t- F& @  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。* ?  ?% l$ k2 ~0 O* U
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
) p4 I; ], V1 S, }  答曰:六十八。
' ?5 E3 [' U" p9 }  N  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。0 E9 T- u9 z! [4 z* m
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?, t) M9 s+ l. `8 B3 `
  答曰:股二十六五分之二。
7 x# A  D- J/ W1 x* o/ R9 O& X  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……): G% y% \5 B. |$ E4 ~% l. B8 A2 Y# ^
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?1 M5 E( U0 e" j- I+ |
  答曰:句八、五分之四。* y* v7 p* b  b$ e; ]8 Z/ Q, S
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
; c+ {) Q% F1 x+ A: E9 I! k
, c# j: p. h: A1 T5 n' J& J- L  r缉古算经跋
7 S+ O5 b7 |/ a: c% N
- _5 @+ N) x, t& ~( K7 ]! Q  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
4 F/ }# O; T  t% m9 v  U2 Y5 |- d# a' T" k, e  u( n
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识1 d8 a% _+ N# g  L
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