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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
: C1 l7 l& o) k5 T. h6 L
缉古算经4 S/ \! S! O: f! i
% X. W% Z; r4 s/ Q/ i. D! Q) ?
上辑古算经表* ~; ?" L+ G; e/ y8 Y! V
  a" @' I0 d, c( X8 T! ?* K: L
  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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7 }& _. _- h0 C$ a
: p! S9 S; \: W缉古算经  t1 _+ t* Q( R- c4 y5 l7 k% b$ x
& U/ a8 F% M$ D& V1 ]6 }' M: Q, N/ Q
  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
# H; {- U8 a  d5 u- C/ G  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。. O8 R) D# c) }: U6 \2 M
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
, T+ J! d& m! \4 h. H8 c* o3 e  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:55:43 | 显示全部楼层

5 W9 L! s; F; d" D5 ~  w答曰:6 i: e' C" O4 }
  台高一十八丈
1 u* H# _* x% p5 [3 U) f0 I/ q  上广七丈,. [7 m- _2 r$ J" H2 |, q, h. Q# `/ e
  下广九丈,
0 N, R" Q; }* I& b1 @% M/ e; G" r6 ?  上袤一十丈,
2 W8 C1 j" j9 i  [+ [+ q) A  下袤一十四丈;; o9 A( r! t: a/ ?# X/ i, _$ {
  甲县给高四丈五尺,/ ~# q# O, P3 f; c) p1 O( M
  上广八丈五尺,
- f( q7 _% \6 E+ l9 I5 g  下广九丈,
9 Y8 ]  c! k1 U  上袤一十三丈,
7 {/ z# A$ ^& C8 I" u$ }3 R  下袤一十四丈;
2 ~3 `& T" z& Q/ n7 N, e7 k  乙县给高一十三丈五尺,; S. w9 S8 R( c- e' C
  上广七丈,% r: U  w* y! n4 d  C) P
  下广八丈五尺,' J5 G0 t; z% ^( F6 {2 Y
  上袤一十丈,
/ }. l  @, H( y  下袤一十三丈;
/ k4 v  i+ _( |& z, R  羡道高一十八丈,
. I5 T. R  J9 U2 \7 n1 R  上广三丈六尺,1 o! y; x* w6 @7 I  s
  下广二丈四尺,
0 i0 h) V7 g  \3 a  袤一十四丈;
- y8 X7 v# w& G  甲县乡人给高九丈,
  g: P! k3 M+ z: K- K  t  上广三丈,7 a' c8 _8 s! `9 ~0 }
  下广二丈四尺,& X! }# C. Q) d9 b9 d# B4 N" q
  袤七丈;
$ a; W5 K" c+ A: w  乙县乡人给高九丈,- k9 `' z7 w, R
  上广三丈六尺,& A1 {4 ~5 }0 E5 a8 M& o/ p
  下广三丈,
4 w2 e9 d. P* I6 ]9 f" R4 j  U* r' f  袤七丈。1 i$ e# o( W2 t6 F. d' o3 ^% T6 e# s9 k
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。: _/ K& a+ V/ q
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。
, L, _2 d0 M- F  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
  {; Y, n5 {$ z. a6 S1 A0 m- h! n# w  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。5 v! e) }) \$ j- M: \7 V
  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:08 | 显示全部楼层
7 B6 Z- n/ n7 {& Z* E. Y8 K& A3 q
答曰:4 ~2 x* m+ _* `% E; Z' p6 t
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
0 C  n/ L. h3 N5 K# p  u  西头高三丈四尺一寸,; K3 @: e& f$ g, p5 Z9 J- `) [- K2 F
  上广八尺,
' I% [- ?4 c8 f& W5 c, v' M  下广七丈六尺二寸,4 e) R3 i$ Q! V3 v# x3 w$ @
  东头高三尺一寸,+ ?0 K) w$ E0 [% ^; v% y7 U- }
  上广八尺,
. O* u" A! V, g* O/ V# J; E# ?  下广一丈四尺二寸,
9 z8 T6 v( `7 X7 U" g# @  正袤四十八丈,) u5 v- p* J7 Q6 a4 {
  斜袤四十八丈一尺;( t& j/ E$ k1 Q; c- m( `$ }5 ~: x
  甲县正袤一十九丈二尺,
. ?9 i1 v% i5 _2 z  斜袤一十九丈二尺四寸,5 V5 m) O6 X# P- S9 a- v
  下广三丈九尺,& t. c0 m  w$ W. ]$ \  ?
  高一丈五尺五寸;. k7 b& f" f8 }' o9 ?5 z) N/ ?0 q
  乙县正袤一十四丈四尺;
5 |" z# |* w3 w6 Q' G# f4 S  z  斜袤一十四丈四尺三寸,7 J1 J/ W( I* W
  下广五丈七尺六寸,( Q$ z5 B5 a+ z7 h7 p
  高二丈四尺八寸;' F! C) r& T7 k) C" N
  丙县正袤九丈六尺,
/ L0 s" Q  I/ T) }& Q  W( n  斜袤九丈六尺二寸,5 I, F/ h3 T' m, Z4 k% }( u# A4 z
  下广七尺,* e' v' B+ g4 }& T& j0 I9 w! k
  高三丈一尺;$ i: A2 v# c" U4 ]
  丁县正袤四丈八尺,' b" J3 }# ]) `# q
  斜袤四丈八尺一寸,5 _4 |3 }: @' M3 ~, m
  下广七丈六尺二寸,' y+ _. N) \5 U& p; S
  高三丈四尺一寸。0 j9 y. [9 e5 O" \& Q
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
( r9 a, f7 w8 r0 x  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。4 G0 x5 |* m2 M' I! Y# X! I
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:32 | 显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。
. o7 ^/ [3 o0 h/ H+ A; q: k( H. F  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。, A; _- \) W- T
  答曰:
; N6 j- g7 G' A, w1 P4 y! G  高三丈,
% U0 t5 M9 |- t9 }$ B+ T5 j  上广三丈四尺,1 {% Q  G! d6 W
  下广一丈八尺,3 ]( J9 c$ k! W1 }, p- `
  袤六丈六尺;
# w& x0 p5 w* T- U  甲县高一丈五尺,
3 i4 d$ {7 F9 t  袤三丈三尺,
$ q# z' s% R& K/ [+ p1 c  上广二丈一尺;
( f& r& N! H, p: D0 O/ o  乙县高二丈一尺,- w# \4 t4 S: S0 ]9 d$ w
  袤一丈三尺二寸,0 \; I0 f' [! G& S, P: @7 i
  上广二丈二尺二寸;+ k& B' {/ I$ P/ k+ X* J. |
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,
# p  X' F# d2 C% ~' D6 b  上广二丈四尺。/ s3 W" K; Y* f1 N
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。- \; t% t: \( Y0 t
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
+ N* }9 v3 N* ]$ z' m6 a. P* L  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?3 d# e/ H% K0 X" ^8 e6 |  [* P
  答曰:$ V+ L9 K, t: q* \  j; |( |1 e( _
  漘上广五丈八尺二寸一分;
+ S, x& O1 }2 H5 q: Q. j  甲郡正袤一百四十四丈,0 f" B; `5 [/ A# F- o# K2 ]
  斜袤一百四十四丈三尺,9 N5 D7 l9 B$ m" N7 W8 W0 I" D
  上广二十六丈四寸,
1 _, z0 O! L2 {: x7 r" ^  z  深一十一丈一尺六寸;+ n& C5 S) @5 r- k3 J- D- t
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,
- T; G4 r+ ]; ?8 I! N4 E  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
( Z0 P- i' g: u% n, ]% Y5 T: J4 s/ r1 m  b  上广四十丈九尺二寸,
# d/ B8 H- N. h) C# R4 u  深一十八丈六尺;2 R+ b- p( m) ~: e
  丙郡正袤五十七丈六尺,% ^$ a& q; m/ F2 g* z5 @; ~
  斜袤五十七丈七尺二寸,6 i. b% q! k2 i3 P7 d3 U. i
  上广四十八丈三尺六寸,9 j& A, K) i* |* b! ~! l' e- M: f
  深二十二丈三尺二寸,* [+ M, @; ?/ N" E1 C3 g
  丁郡正袤二十八丈八尺,3 q2 a7 w* U! H+ I3 b0 g0 \9 w- G1 b
  斜袤二十八丈八尺六寸,
- `+ d* q8 x9 e/ n" G  k: a  上广五十二丈八寸,
9 E, l. E0 l5 s, e$ h" v  深二十四丈一尺八寸。! L1 t+ ]: U- h2 p
国学复兴 文化传承 兼容并包 百家争鸣
     
 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:00 | 显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。' D/ e$ C6 `2 @' X- h" m9 _
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。
4 G; R1 ~9 y! y% [  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?" B) \$ `4 y! o$ L' ]6 x
  答曰:* S  S) f5 o% r# o) p7 c9 y
  窖上广八丈,
( C5 Z9 T3 N4 D: E+ W3 p  上袤九丈,
' g& T, s/ w7 Y# h" F1 R! w* V  下广一十丈,5 j0 o) v  q; Z$ g% ^
  下袤一十二丈,
5 u) p" P/ l- Z  深三丈;
. [; \. I1 W  K" ^# h  甲郡八千七十二人,
! U" X) N/ y" p, O" [, ^  深一十二尺,1 |  _# E2 C1 `) b7 U
  下袤一十丈二尺,
; a" N2 i! k* @: }' v. d  广八丈八尺;- H- D- n* m0 T# r* U
  乙郡七千二百七十二人,
, x! P, H6 r/ P. y. s  深九尺,
$ m1 v( P1 ?# X% t  下袤一十一丈一尺," w7 w8 X7 C, j4 U1 b5 N
  广九丈四尺;
5 K' z6 D  o. Z6 j+ V: P# {# C  丙郡五千四百七十三人,
( T* K/ X/ X* Z3 T7 b6 k  深六尺,下袤一十一丈七尺,& f3 B- Q0 a  [, [- z
  广九丈八尺;4 W* d: F1 f6 \8 o& V3 b
  丁郡二千九百三十三人,
1 J5 ~% C+ ?: B7 k  深三尺,+ c7 ]; k! u, K1 k
  下袤一十二丈,. X9 s2 T$ l6 I5 V
  广一十丈。; f+ S& P5 F4 n0 W
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。
1 ]  @! f& y! x' [$ e5 }! R7 _; W  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。, P  v: I7 I+ M! Q% Y$ q
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:27 | 显示全部楼层
: b/ o4 P3 x( t  _
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?4 I$ T1 B. w1 f% _- v- b
  答曰:9 L6 r, x* J" C9 w
  上方三尺,
1 S( t3 f) s: m  v5 A) d  下方九尺,
" c) S  ]) N* S  高一丈二尺;
2 s/ t" z+ ]4 U* V" d1 N7 j/ Y  余粟深、上方俱六尺。: M- u- q5 t. }# r- |) _& q1 H6 y& i
  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。8 d  D0 b( I& I; z
  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
7 K! k4 q7 E9 h0 v, A  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?
, Q  }$ A9 R, [  答曰:
2 o6 g" e6 V  R: u" Y. {  高四丈八尺,, i! _! @& h  t" b6 o$ n4 s
  上广三丈六尺,
+ l, P& `6 Q  O! w+ E  袤六丈六尺。
- c5 w) t- _$ t: L5 L  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
2 x) Z0 ~* p. ~) o/ A( V/ O  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?
- h  S# d" L2 @: X  答曰:
& {7 K8 x& m2 }6 r  一周一丈八尺,
) J1 d3 A$ i2 R  下周三丈,0 E1 X6 s, ]# K, K# w* h
  高三丈六尺,. a' o( d2 ?# \3 {
  去口一丈八尺,
( }9 }9 F5 H9 h" X  粟周二丈四尺。
1 C0 [/ e. q9 `# Q3 {  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。8 t/ _# o& [; y1 J4 h3 b
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
) c& Q2 n, {6 H- C' m  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?1 b' J4 G  t" i
  答曰:/ Q2 h. v& a; T: B: _- Z0 }4 [3 T" R
  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
7 ~6 j  |. H/ }$ m, {  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
6 g5 _; g2 Q" I  高与深各一丈五尺五寸。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:53 | 显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
) }) ^$ ?" @" o" i/ ~  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
. |. {9 ]7 N* I! C  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
' d0 C0 X9 }* _  j) e  答曰:
: @* l( N. \' S' a. F  方一丈八尺,
1 w, U- d$ g9 E6 S2 r  高深一丈三尺,
( d" Q: s' z: Q9 l. g  圆径二丈八尺。
" T4 w3 _7 Q6 k) ~; m  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。- p! e8 I, `* |1 I% M9 ~& Z5 y, N
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?' {2 i+ v% V9 R. L% r. j
  答曰:  k+ A4 D' r% X! J
  方、径各一丈六尺,: O- L+ l8 S* `/ v9 \
  高一丈九尺,
# E8 ]* E% R, P8 O  深一丈四尺。
7 P1 ^' B& g3 C, T  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
) s" Y. k4 R' x, ?  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
! d6 y) P% B  D9 C7 s! _# q  A; w4 H  答曰:1 o2 f) t! O; \- m) W
  上方、径各七尺,
. j3 @1 w+ u6 @- f* `" G7 c4 o  下方、径各二丈八尺,
. d" G9 b5 u! M' X# P  y  深各二丈一尺。
* A9 O+ X3 J4 Q  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。1 B( c4 l2 w& |
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:58:17 | 显示全部楼层

& G0 z6 H6 [$ }, l4 I( k0 C假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?- p5 j$ f' R$ T* ]. P4 W& F( X
  答曰:
% X4 `: X+ j( l9 |# e7 _3 ^+ R  方窖上方七尺,# a0 ]+ w7 D' p
  下方二丈八尺,: S0 |9 G9 w% Y: K) k) e
  深二丈一尺,/ I- P7 T* b8 {+ ~
  圆窖上下径、深与方窖同。
9 o( C( w6 B0 v+ m2 q  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
) |( S( f) n# R6 U6 ^+ Z  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?
# b& N5 C% c% b0 ^3 O+ I  答曰:' \( r  b" X4 h: {, {8 R- c
  句十四二十分之七,1 W; u4 n3 t; I! s
  股四十九五分之一,3 E7 S9 ?# @, W: |- R& c2 p
  弦五十一四分之一。9 ]+ o# o6 I% l' r! T
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。
" O% C5 F6 t3 `( t  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。) x4 c  S9 i$ ?
  答曰:弦一百一十四十分之七。
, V* n' \# z2 ?* T  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。1 j8 G6 M2 E2 n* |0 e6 W: ^
  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
9 \/ M2 U% g0 C/ E, ^9 x$ O' n  答曰:九十二五分之二。2 C9 V' o7 r2 x, e8 Z0 T
  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。* g0 L; D! Z2 C* g# R
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。: h% \  l! K- W" x
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?/ L9 g  z. o  i( [: n$ }
  答曰:六十八。: P% B, ]# {. F: ?% y6 ^, a' Z
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。1 x+ a: V, w4 l- m: x
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?. R. K/ J$ M3 J0 o; D' L; E
  答曰:股二十六五分之二。
2 ^+ t8 [8 F- v" K% }7 w! A  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)8 I7 x: a6 S0 T( t. F( K
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?+ L- s+ E  r$ j8 D
  答曰:句八、五分之四。
& e3 P$ g. O' b. m  S  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
' @9 R! [" F5 r+ a* _: M3 G0 Z# g3 R4 u! j6 k: P, O* Y2 T
缉古算经跋& {2 @% {2 V! h& @1 l6 @5 Z
. o/ k: ?9 W! J0 E" W, p# \
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
" c( b  l. c8 v+ o& O# [+ O
) Y8 s7 \* {1 G. f! p$ T康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
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