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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

+ G% E! S1 \$ d) e  }6 v缉古算经
! c% z. H+ H1 n' m" X7 j9 n7 T% c4 ^: ^. X5 l. n$ n' e& |. A7 c
上辑古算经表
+ R& p. i) Q" {% K* R# t9 _: x
+ }$ z& m2 ?% f; O! G- M3 W1 a  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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6 t' t4 V: \+ S. v. Z9 J2 \3 W1 `9 j# Z* q( K: Y
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缉古算经
7 G' o8 e. M, N4 w: R, S% n
- Z5 o7 g0 d' }" j1 v  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)9 e6 q- F4 M0 r1 {' t6 I
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
' E$ F$ p* ?/ p6 s9 G1 p  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
; Y' c+ s' W9 j% F& I/ _3 f  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:55:43 | 显示全部楼层
- L4 ~7 C3 \1 k8 C4 N0 `: x' s
答曰:) Y# ]3 h( j: m6 X) x% _
  台高一十八丈( e& F6 ?& J. c, l( r& h6 Q
  上广七丈,% o6 W' f. r. `" j; [
  下广九丈,
3 P# A6 k, O/ @9 i! F  上袤一十丈,9 J0 R9 I" Z* I3 H
  下袤一十四丈;* Z. ^5 N" \+ m; H: K
  甲县给高四丈五尺,8 Z  p. {" T; z1 U/ o5 n
  上广八丈五尺,
+ p  g& }6 c+ k$ f3 S5 H  下广九丈,
9 w5 B! N* }- P; M  上袤一十三丈,
0 T' h) k5 m7 ?$ e. v" E  下袤一十四丈;$ V9 X; G. F& ?  d  d( c
  乙县给高一十三丈五尺,
3 F' ~' {; W5 W3 l3 Y& |/ N  上广七丈,- j0 Y2 G" \1 V9 R
  下广八丈五尺,
, X$ T- c: o$ z$ M' W  上袤一十丈,+ ^: ^5 @( |) K* @8 c4 R4 r
  下袤一十三丈;
7 _( S' Q+ @+ p  羡道高一十八丈,
: ~) [- H2 N: r" v3 _! `6 c  上广三丈六尺,
: F* `+ ~3 E- J2 S  e% r& {  下广二丈四尺,6 i/ b& x# ?/ c& l
  袤一十四丈;
# i" i% m3 F8 x# ?1 d* U. ?/ z  甲县乡人给高九丈,
/ S" S" \( i( r' p# K  上广三丈,
  s; Z: W, R1 l  下广二丈四尺,
' B) y- N$ j1 e) V' `# A  袤七丈;
1 G. A4 v8 Y- M  F  乙县乡人给高九丈,
" W' K% @& Q0 m0 X9 I5 B5 B  上广三丈六尺,0 @0 p1 H2 j1 u* r! F. H
  下广三丈,% L( W& T% t  U
  袤七丈。
+ \3 h" E6 p# H( T, u& t  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。
$ X! i3 y/ {+ u# K" |9 C$ D  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。; o7 e, x# [2 g; n7 q
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
! p! D- T' B7 E( ?+ ^  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
5 ~+ N& I. z* P( @  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:08 | 显示全部楼层
. |7 h! Z- b4 X' q' k0 n
答曰:
4 w- j8 ?& T- n& a. |: k  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
+ r2 P( ]" A1 c; P! N# [  西头高三丈四尺一寸,( V7 C2 x% o: h. t, U& E% P. K
  上广八尺,
, {% q' w6 w# z7 d, W' w  下广七丈六尺二寸,/ \: |. V' X7 p" T
  东头高三尺一寸,
& V' R* P- R1 F2 _$ b  上广八尺,9 X8 U+ R% F# i
  下广一丈四尺二寸,  c0 z" S% A+ Y8 s7 y7 [
  正袤四十八丈,
8 C6 Y% J9 g- O) _& q' E2 W3 b% y  斜袤四十八丈一尺;' F: ^% N3 r* t" |' ]1 K( L
  甲县正袤一十九丈二尺,0 u/ h4 h8 C4 ~
  斜袤一十九丈二尺四寸,; V' K; _0 n' r# K  X  ?; Z$ }
  下广三丈九尺,& Y  g1 F- j+ C/ M
  高一丈五尺五寸;* z) J7 X3 J% x- H/ A0 }
  乙县正袤一十四丈四尺;+ T9 b( q  [! ^& S' g
  斜袤一十四丈四尺三寸,% m/ \5 I+ c" ^9 U' X
  下广五丈七尺六寸,
; C3 E* y% [: q9 B: \+ A- H4 H  高二丈四尺八寸;
: x0 Y, L- C8 U7 l# e  丙县正袤九丈六尺,
' T4 W1 B, A& L  斜袤九丈六尺二寸,
3 j1 i4 h8 a. h- z) |( x. u  下广七尺,
5 z  M& w3 d  b  高三丈一尺;8 h8 ?6 G0 g+ ]! w; ]
  丁县正袤四丈八尺,
) P  S+ n4 R; l  斜袤四丈八尺一寸,: |" w6 z! _9 e$ J9 p% E& o( w8 Y
  下广七丈六尺二寸,; c$ P+ L) e: S
  高三丈四尺一寸。
" Z$ F, r) K3 L5 J  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
3 `* w8 E4 v# W4 K/ c  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。
9 G6 l, }4 Q# s6 X0 W) `  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:56:32 | 显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。/ f( |. C# J: d' f
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
% }* ~( d: V+ r' q8 b7 _  答曰:
  G/ L+ x; x4 y5 d  高三丈,
; a' T1 u* d! g% V  上广三丈四尺,
6 Z# v1 R* ?$ v+ O8 ]$ N  下广一丈八尺,* j; M, I& M1 y2 E7 R0 ^! o
  袤六丈六尺;2 P4 ^/ p# P. P1 f8 g
  甲县高一丈五尺,
: w) C9 g$ X2 c$ z  袤三丈三尺,2 W  y# Q! g  b  I0 t, c6 W) j
  上广二丈一尺;% D5 ~5 o. o/ N) R) G, o& R* O; Y
  乙县高二丈一尺,+ C3 l- L) v, F- D
  袤一丈三尺二寸,' _  p) G* T0 d1 x8 ~
  上广二丈二尺二寸;
& ^3 K: I! s' o. M* m6 V. ^# D) a  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,
6 Y' n& D& Q( o2 F2 i) v  上广二丈四尺。
5 d$ E- d' w) ]# s/ }1 s4 K  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。4 A" D0 u' d( S/ d0 P: V$ ]
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
" c6 M( t4 ]' X4 B& v  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?
0 O% v: p; g; u" ], b  答曰:$ d. A3 x/ M; f4 m3 v7 d; A0 b- u( p
  漘上广五丈八尺二寸一分;
% Y9 H; k: M, J  甲郡正袤一百四十四丈,
* D6 v; \; |2 g# E  I0 G" G  斜袤一百四十四丈三尺,
" r7 b) L+ i, Z  上广二十六丈四寸,7 V8 q8 X' P; S* h: R
  深一十一丈一尺六寸;
$ y/ s/ |$ ~6 j9 H* N8 J8 n3 p2 U  乙郡正袤一百一十五丈二尺,
  R8 P2 j5 {- E6 ^* K( E' f  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
: r# g8 K7 z' B7 H  上广四十丈九尺二寸,; x3 D& A( V% y! b* d5 }
  深一十八丈六尺;
2 w$ q# o9 U5 \' C6 L5 Q  丙郡正袤五十七丈六尺,
; l5 Q+ W+ @0 D  L6 ~) D/ T1 l2 G8 ^  斜袤五十七丈七尺二寸,5 y0 g  s5 Z5 x6 A( T
  上广四十八丈三尺六寸,6 J' P& y9 s. m$ y; V! W# u6 m
  深二十二丈三尺二寸,. H4 N" Y9 x' A  m
  丁郡正袤二十八丈八尺,
# N, ]# K8 z! n  b' V  斜袤二十八丈八尺六寸,5 W) ]5 G' k7 O$ c/ n$ P
  上广五十二丈八寸,
* h0 g5 h* C, G  深二十四丈一尺八寸。
0 B" @; r  s' B. g1 E3 ]
国学复兴 文化传承 兼容并包 百家争鸣
     
 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:00 | 显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。
' _3 l( u7 M/ E! a6 N  N  {# D  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。6 b# J& I# u6 k
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?
+ v8 l9 V. |2 b9 h1 {6 @2 e/ e. x! g  答曰:% m: L" C6 |' h# N7 W3 C0 }
  窖上广八丈,, W( T/ H2 p& _2 X( @( g6 a6 A* b
  上袤九丈,3 f$ j$ y' P4 b9 F3 p8 |& @$ _7 b
  下广一十丈,; x  t2 n  l! F9 t/ t9 J
  下袤一十二丈,
3 O, u3 z: q. R% q" s' q9 E  深三丈;
; A" _( z9 [8 R) D  甲郡八千七十二人,
" x* l% U7 ^; _& A; u( F/ o  深一十二尺,7 ?) K  }  q5 m
  下袤一十丈二尺,: C& h5 V4 \( A4 F0 o
  广八丈八尺;
7 C. I( v2 Z& q& m' h' s! H  e  乙郡七千二百七十二人,
% z3 W, T, J) X# f8 F  深九尺,. {! t/ J# C2 z: t, r
  下袤一十一丈一尺,
: {2 Z, {) M0 Y9 b& l+ R! W  广九丈四尺;
' ^1 o' t- E# i8 E% g  丙郡五千四百七十三人,
+ G- Q$ e$ D( S( `/ Z. W1 ]/ s  深六尺,下袤一十一丈七尺,
5 C" s. v) \. b& z6 ?; o  广九丈八尺;
! K- M" F  C7 S; @) i  丁郡二千九百三十三人,) `( A7 l' K9 Z4 t4 [2 {
  深三尺,. H+ a9 I0 C. c
  下袤一十二丈,
0 d0 u) L( Y8 U; B  广一十丈。
( T" V; X) f7 g, P  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。# S# i6 k. |( \2 m- M1 e: W
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。) {4 S9 i7 }) I9 I8 u2 q3 R
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:27 | 显示全部楼层
0 Z) n. `3 B- X+ l/ Q$ s8 S
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?
0 D2 X$ P* Z' v9 `  l% x  答曰:9 l- S2 ?; V% \4 E7 C6 J+ p9 T, _
  上方三尺,% ~9 {) |! r: M$ |# Y1 b' P
  下方九尺,
. s$ h% R- A8 Y  a) x5 L  高一丈二尺;6 d. h  J0 O: D. k) E5 P
  余粟深、上方俱六尺。( F/ }& D; k: O- }$ o
  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
' W0 I1 U, z- i( Y  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
3 P/ `& J1 T. h# ~  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?) k8 B1 C# r0 E6 P
  答曰:0 G: u# q- c! C: ]+ T$ I- l! Y
  高四丈八尺,( N( ~0 K2 l0 `" Y
  上广三丈六尺,
0 {3 v) y+ m) o; T* I  袤六丈六尺。
1 r( E+ x) V0 o4 F& K; l5 a5 H5 ]+ q  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
5 u  i; K) q4 i% `# z6 C8 e  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?1 n5 r. o( r( `  z  T1 y
  答曰:
( G, ]( e6 h( t4 i6 p  一周一丈八尺,& t- K7 G. }. [- W7 y9 j' k
  下周三丈,
5 g- ~# n+ N2 i/ J: g. |  高三丈六尺,
. d1 W, x1 e" `$ n# u  去口一丈八尺,3 z% b( R* B: H( e  Q. X  ]& h
  粟周二丈四尺。- W& o$ n9 ^1 G% B% s
  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
8 B' C" B/ a1 o0 b  |) Q  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
. ~$ i9 A  Y5 \, T8 f+ o% K& v  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
$ T1 l8 {+ h$ V! a2 d  答曰:9 ]' r( G. P- G# }
  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
5 D" x" \  j. O/ n8 k. h/ y2 Y  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
$ ~5 j% @, y# X6 Y& l  z' I  高与深各一丈五尺五寸。
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:57:53 | 显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
2 B: i+ J+ V3 ~8 `+ C5 y9 G" E5 o; f  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。& c7 U5 D& i. h0 }1 g
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
5 A3 U- |) E( l& r  答曰:
. P, Q* M! f2 x' _8 y  方一丈八尺,
' F  W6 x' D) U4 i6 m/ R) H' ?, i  高深一丈三尺,
! L* p1 I" D) M2 {' Z9 H  圆径二丈八尺。
; O8 J! u% A8 u6 j% e  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。! M% n+ W3 u+ F+ T9 H! m
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?8 p* |  j$ _8 O& d! a
  答曰:- i4 l9 K9 S3 J
  方、径各一丈六尺,1 x0 V, L0 H* K" |
  高一丈九尺,
) t1 g% S& B3 j: R+ m: }  深一丈四尺。
* Z6 a8 f8 @! v6 o# R  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。" z" |" x+ i0 A( q: a( x) m
  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
1 J$ e# C' v2 i, z4 y) _8 }; S: d  答曰:
$ X/ f) K7 V; J$ v. G7 q# \  上方、径各七尺,
2 t9 K) H1 S' j9 }: b% V  下方、径各二丈八尺,
2 S, j# a! s  n& `  深各二丈一尺。5 n( g5 _# G; t4 ~! R
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。; O5 V! [0 {% s
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 楼主| 发表于 2017-3-19 09:58:17 | 显示全部楼层

8 q2 h" A+ e" j: Z) k假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?8 L7 O0 R+ g% `- E* U; ]
  答曰:
- d' m( w# D+ Q0 K1 x5 V# w  方窖上方七尺,
5 @$ b2 @* ~$ o$ F' m  下方二丈八尺,5 ^+ X9 @5 s1 p$ \0 T2 Y; _
  深二丈一尺,3 r0 D9 Q" }+ S" e0 b
  圆窖上下径、深与方窖同。9 j' I2 V  k; a% B' w) V6 z, t+ _; N$ K
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。6 d3 ?5 F: a! m8 F/ B5 ~0 X
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?8 b$ D" {5 w0 x" C. P$ e- C1 r
  答曰:6 I! ]$ m$ u5 X1 Q3 @2 o
  句十四二十分之七,$ C& B# h$ b6 j$ G
  股四十九五分之一,
% Y0 R$ r$ v1 N  弦五十一四分之一。
" X$ i0 e; u1 }8 H% D5 v/ \& ]  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。8 [, C+ V& a* Q. ?) Q5 P+ ?8 m- {
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。% ?# U, D$ R+ K1 ~0 Q
  答曰:弦一百一十四十分之七。
7 L2 V1 f+ X; u0 @3 W  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
9 t4 U$ C) w. \8 e6 ~5 `' x+ w$ O# j  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
9 U; c) o# k1 X4 E8 K  答曰:九十二五分之二。4 H# Z& h7 @8 t  m
  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。- z7 u6 n$ C. V: }4 S
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。, r  z5 U4 c1 Q: F4 f4 W7 _7 S
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
) F  z, x+ w  D  I. F  答曰:六十八。
; [- d3 [/ f+ U( S3 g- p2 S! T8 P  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。+ n' Y4 `3 v7 V' c) O+ B/ ]
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?& y+ d4 Z: ~4 m: J
  答曰:股二十六五分之二。8 W* G, J6 _. b8 `) o, \; i* x# B3 x2 R
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)
! S- G# N# }  B4 i3 c' V  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?+ `. X% D5 P0 H3 p/ \
  答曰:句八、五分之四。/ X1 I; j0 A- c- {1 m0 K" I; t
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
$ N& S% S' K; }- ]
9 D2 l. ?' N  r缉古算经跋( N& y: l- j! L+ X2 Y" m0 l) \
* y$ d4 c: U0 P; z8 L8 K+ \
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
7 v* z. i5 ^0 v
+ P6 h2 l! y: k$ x康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识5 I/ M& x0 {% k  c4 `/ V5 ~/ ]
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