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假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?; k6 t+ h: f$ _* n8 G
答曰:
3 u* o! w6 P& w' O 方窖上方七尺,0 z: B3 R+ H/ z# s$ B
下方二丈八尺,6 R) r/ y% o6 q3 A1 g
深二丈一尺,* O6 B$ A+ }; [
圆窖上下径、深与方窖同。1 I+ D- i# i" h% H, u" v
术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
( @' C+ h! t8 Z, I0 y4 ]& ~; | 假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?
: |; j' R2 Z0 _( ^* v( N 答曰:
' w2 t g, [4 L8 O 句十四二十分之七,
6 W. ^6 b& T" y% F2 f; ]* t 股四十九五分之一," J4 ~5 O& o- X
弦五十一四分之一。# J/ }1 I# T7 J4 |& j7 A1 A8 D
术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。) j4 `2 M6 {& z/ o
假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
9 ?# ]9 N7 f, L' G/ W 答曰:弦一百一十四十分之七。
: k$ N4 K/ n; M, i 术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。7 n- S5 N7 N6 G1 c2 V* p, y
假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?' c! W7 z3 ]; {; Z
答曰:九十二五分之二。
+ O6 p+ y9 {8 i( s- P# ^ 术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
. J; [" V! i9 y( I# {- ]# h+ A& T 案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。( y/ D9 s* s# {$ G0 `
假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
5 Z2 f V! X4 ?- F$ Y3 \! ? 答曰:六十八。# S0 s9 z3 h1 s6 A1 y" d* J8 h
术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。, e( ], Y, n5 M! |: e. R% @
假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?3 }% i5 X, Z; P) o3 ?& X
答曰:股二十六五分之二。
# S/ ]4 {7 F" t/ C# [- `4 Z 术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)4 _2 G4 v3 O$ z5 T9 d- r8 [
假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?
9 U2 j- _& r1 G4 H. k 答曰:句八、五分之四。/ a0 u* l# ?4 x: M" R0 x
术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。5 I' F' G x) d2 ]3 j2 |
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缉古算经跋
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7 c9 }" O( a# e- Y+ ?* R+ j 按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。5 ~) [* G) p2 I5 G+ J9 @
; u7 ~& p9 `( F康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识. f0 C" {& d9 F! l. w. h
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