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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 |显示全部楼层

3 z: P- v- S' b. v' U缉古算经
, T& l  N6 ]  f# i5 ?
2 g4 j% J6 z4 e) T+ S- p上辑古算经表* v6 s4 c0 w* m+ s5 G# g

6 ?+ k: R$ r& o: F3 J- S# }/ D  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。" S( l. l0 j. h" J. g& g2 `
' ~3 D: L7 b3 X, k& z

2 ~" d* I7 D& F! A. g8 }6 \  T4 g- g3 c+ v
缉古算经4 L) W+ Q" n: a( b% i- O2 J
" M' H9 W4 h, s  ]3 T& L, y% ^+ t
  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)* z& y% \  A& j7 T8 t' K- g
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。( H' t7 ?! ^3 M! i8 Q# p/ H
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
0 Q/ K6 \+ ~" T$ q9 v  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。
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* _  j& B7 ~6 r: ^3 d
答曰:
; V* w) y) h# P1 o2 T5 w  台高一十八丈
/ D5 A" l$ w9 o" f( ^  上广七丈,
' {" R8 F$ g; |( T3 Q% I& I  下广九丈,
3 Y5 n. Y$ a$ S* ]# |; u% r  上袤一十丈,
! J) F1 K- O; o) I2 ]  下袤一十四丈;
) h( U1 K* l6 n; j  甲县给高四丈五尺,$ U5 n: E6 o7 _, ?. Y
  上广八丈五尺,
% W: d( j. m  K  下广九丈," U! _8 E% w' ]. Y0 S. ^8 K
  上袤一十三丈,1 J7 D' B- G1 M* c( [, O3 f, q
  下袤一十四丈;# m  B4 B. U+ M
  乙县给高一十三丈五尺,
$ \/ X$ G, R* s( F  上广七丈,% R: f! I! b$ V) ?4 P# J  z
  下广八丈五尺,
5 r- y) @. I: [( ]0 h6 ^* m0 T  上袤一十丈,* b0 v6 H: P) ]. Q& D4 g% B
  下袤一十三丈;
; K4 \6 P, j+ I8 n9 f# {  羡道高一十八丈,4 H6 c4 ~/ \" ?7 J
  上广三丈六尺,
& }; k+ @/ g1 ~% Y  下广二丈四尺,+ {. R- r! Y2 b* p/ `" `
  袤一十四丈;, ]. ^6 V6 r' b% n6 t$ M. D$ a
  甲县乡人给高九丈,
* q' Z2 a! ?" ^7 w0 i) e  上广三丈,# S$ Y& I# Z2 K
  下广二丈四尺,% _) A" ]) m! \$ D1 w9 h
  袤七丈;/ A! B" r4 l) E6 m. W3 Z+ _# x
  乙县乡人给高九丈,) a, U, ~# y& X7 p7 {) i& }7 ^& J9 c
  上广三丈六尺,4 X4 J& v% A0 B) W
  下广三丈,
9 C  X5 d8 h# `! R) l/ t  袤七丈。+ s; F- h3 `0 g" M. K/ Y
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。% p# S9 u$ |7 ]& x
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。5 W$ I+ t) k6 Y- I
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
( d- y: {. I/ p3 A4 Z( h  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。8 d1 y0 g2 C) A: _, L; J
  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:56:08 |显示全部楼层

" m$ F  h. e4 |" X# |答曰:
1 ~+ H1 c# K; Z" ?$ q0 d  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
# }, i& n- y  }. g  西头高三丈四尺一寸,
2 T6 R  C8 l4 B1 J( Q2 c  上广八尺,
9 Q1 i# O- A8 u/ X8 j: b  下广七丈六尺二寸,
, g: l; S9 u' O  东头高三尺一寸,( J; I+ \6 j, O4 @
  上广八尺,
. n( P7 ]- z( ?$ C# G0 o( W  下广一丈四尺二寸," a, f8 j% G1 c$ F& e. Z
  正袤四十八丈,
- J* V# T) `, w2 ~4 `4 Z( N# U  斜袤四十八丈一尺;9 o9 k  V- [& F. u2 L  g
  甲县正袤一十九丈二尺,3 o0 w  W# x; u- U
  斜袤一十九丈二尺四寸,
( m# H  y) m  x2 x  下广三丈九尺,6 ?4 \0 M- n" I7 W# \( d4 }
  高一丈五尺五寸;. ^0 _, f8 f# q3 f
  乙县正袤一十四丈四尺;
- ^. y) R# Y0 O# {- {  斜袤一十四丈四尺三寸,# d2 a0 k% r$ N4 r7 n" i6 r, ^0 p3 D
  下广五丈七尺六寸,
  c. d% q7 X3 P  高二丈四尺八寸;
" ~- i" R5 F1 m( m1 O9 c* `  丙县正袤九丈六尺,
, S; Y2 V9 ^2 K* a* T) ~  斜袤九丈六尺二寸,
8 D4 R& J7 d9 t% T  下广七尺,
$ w2 D: }+ D8 d& H* y; S1 p$ o  高三丈一尺;; b- g& |, K( ]+ r5 S) k
  丁县正袤四丈八尺,
- G/ q2 I& `4 z$ R) n  斜袤四丈八尺一寸,# N1 j* r4 U) y+ Q2 v* w: A
  下广七丈六尺二寸,; p3 `6 |; h9 |8 P" f3 S5 ~1 ]+ M
  高三丈四尺一寸。
, x7 i% q2 U# {8 E5 E# r0 k' u  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。: j; s. r% Z6 F; ^
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。# D2 R6 W! L3 e8 }/ h
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:56:32 |显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。
" f. N' _' \3 B' i& ~- c  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。% S- ?- w: I. R3 q
  答曰:
& X/ ^2 H+ i1 }7 L) R% u4 I  高三丈," F( C$ P" K7 q) A" c: P# V7 h
  上广三丈四尺,9 y& Z& W+ L2 a$ B4 I: E/ A
  下广一丈八尺,5 P* r6 T3 K7 E) C
  袤六丈六尺;6 K# t, x# u% [8 ^) e% f( {( O
  甲县高一丈五尺,8 {. n4 o9 ?9 J1 g% h9 `% |
  袤三丈三尺,
! y- U# w2 E3 p- e. B5 k  上广二丈一尺;1 m$ o2 ~) B; l' H
  乙县高二丈一尺,
# D4 \* h; L3 X2 ?, }5 l  袤一丈三尺二寸,
' g5 j% k# F# P+ |# Z& q. m  上广二丈二尺二寸;6 @1 j) ?" f; W* B# l
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,% f0 q/ U6 u; }! T4 _# ]" D0 y# u' m
  上广二丈四尺。' e: v4 V* i2 c( E
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。3 h  y7 o' t  l5 ]1 V$ O3 A/ m# b
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。* {: R) u$ e; |
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?4 b5 Y) y3 ^$ K# b2 z  u
  答曰:, \$ s) c" p% l8 `$ ]+ h2 h0 C. U
  漘上广五丈八尺二寸一分;
& o! N( V" B: t4 }  甲郡正袤一百四十四丈,6 F. L, ?" N; M" P7 K+ q
  斜袤一百四十四丈三尺,
# I2 b" D+ t: ~8 S3 ]- |6 q  上广二十六丈四寸,
& G+ y$ B4 O7 ]: O# E, {3 a1 k  深一十一丈一尺六寸;
& c' H$ j: X# p4 R4 ^  乙郡正袤一百一十五丈二尺,9 D- G7 e" k: R) P+ y. Q
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
+ i* ]0 _8 d" F  _( s  上广四十丈九尺二寸,- D3 A( T" @, d4 ^4 E& t3 T$ Z! w
  深一十八丈六尺;
) a/ Z3 W0 u) z# F  丙郡正袤五十七丈六尺,5 z/ P# K3 u* Q. k7 K
  斜袤五十七丈七尺二寸,
) i, ]" c, `0 W. ^4 n, Z; m9 F  上广四十八丈三尺六寸,
1 a7 t* \2 _. O: q, k  深二十二丈三尺二寸,7 T2 C+ H, y+ n5 U4 M1 Q9 D, M% V
  丁郡正袤二十八丈八尺,
- C8 a6 r/ D' A0 @) D  斜袤二十八丈八尺六寸,
! A3 F! G# p( X7 p; h+ A  上广五十二丈八寸,
5 G4 x& [0 j+ j  深二十四丈一尺八寸。% i1 t5 P# B4 {# N  G4 B' f
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:00 |显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。8 ?4 X. P  ]0 A: f* Y& [5 m8 x7 ~5 I
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。* Z3 j6 R, F& A% A+ w; i6 Z
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?
, w& N. N8 z$ w# F$ k0 F" y: w  答曰:
4 ]7 r! G4 ?0 @  窖上广八丈,
! B+ T' k" N( N  上袤九丈,
& n# p, j! L$ C) O. z* @! U  下广一十丈,
5 Z, n4 l: x, w2 W7 x  下袤一十二丈,
5 D: O  F3 M; @3 \2 Z7 t9 a! A  m$ `  深三丈;
( h6 Y7 d' z" r- G9 E  甲郡八千七十二人,! ?% K) d  n" f  f  L
  深一十二尺,
4 b* @% @7 x5 B  H+ V  下袤一十丈二尺,& f0 e; y2 |% p  d: `
  广八丈八尺;! @- n+ ~7 C* @
  乙郡七千二百七十二人,) F: N3 ?* _+ ~+ o* A7 o1 A
  深九尺,
1 V# p4 Q' }7 L. d- v4 i9 t  下袤一十一丈一尺,
0 Z) u% Y; ~/ H0 r5 e( v6 j  广九丈四尺;
+ P( Z! o0 C: n  丙郡五千四百七十三人,
5 O3 \9 y& H& A5 k  深六尺,下袤一十一丈七尺,
  R' s* G& G3 f6 ?  ]7 p  广九丈八尺;% q3 _( }# x5 a
  丁郡二千九百三十三人,
& q2 I) `6 P) g( Q  深三尺,# v' D. C( ~6 x2 d$ h, x' T+ a
  下袤一十二丈,
+ |9 |  y+ y4 A3 x/ s: e  广一十丈。" U* C3 H+ I3 \/ v( P
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。
3 _) o+ j, \5 J  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
0 D. q0 n4 g/ n  u, F4 a
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:27 |显示全部楼层
1 h' s2 {: W9 f3 X
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?7 s+ ^4 c4 Y, W2 R$ l
  答曰:
- \! Z7 \% W+ s" i% B& h& T  上方三尺,3 V+ _3 M# C' p  q" C5 L
  下方九尺,
: U: N, A8 \/ e1 I$ \% M  高一丈二尺;2 J; v' c, A4 G5 D1 T
  余粟深、上方俱六尺。: \( i& K. i3 I% O3 f" i" O8 h! \7 j# p
  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
4 b1 t+ q; b" {% e1 @9 K% i  q& E# P  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
2 ?/ h# F& c. {' x9 f4 g7 W! J! R  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?# R4 T+ R" s) u8 V
  答曰:
  V9 r8 U! Z, v7 _  高四丈八尺,3 C" I' n. }" Z. ^+ }
  上广三丈六尺,/ q" X# J2 u7 h+ ^: p
  袤六丈六尺。
2 b' Y- d6 T( e6 [  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
3 d& z4 |8 f( r2 d" F4 y( d; a  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?3 @. q5 E2 D3 A- J' I. G& b
  答曰:# d. a6 W8 D6 q
  一周一丈八尺,1 X6 ]. s9 r. n: H: [
  下周三丈,
5 Y5 l. {4 H; ~2 E, D3 m  高三丈六尺,# m+ o/ e4 X. S  w3 [0 o
  去口一丈八尺,
4 m2 p; k. _$ G  粟周二丈四尺。  U9 g1 o  V) l
  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
6 L0 Y  F, a! X9 a/ g, |7 R$ _  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。$ r- J# h" _! |  A' t2 D0 w9 K
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?1 O- [6 o% L# i
  答曰:
- ?! k* l' r# p5 R3 L  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
) e5 {. A; D  _. ?4 D! [  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
" _: x" {% o0 _  高与深各一丈五尺五寸。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:53 |显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
# @- ]7 d  c0 \' Z6 M* r  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。( _9 p" V8 |& Y+ K! w
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?$ ~1 s; f1 ^9 t+ U! y% G( Z
  答曰:
- q: l- O' b! r! m  方一丈八尺,
7 h1 c3 a- ~8 }- R1 l; z  高深一丈三尺,
# h# }. `" X" {" ~6 J( E0 R  圆径二丈八尺。
% b8 `7 s% `. n1 ^- u) m4 y0 s  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。
9 X- C0 g7 z' W& i6 m& F+ c9 i" `  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?
2 ~: \4 i6 O1 L+ l$ o) D  答曰:& c7 h( ~! q+ P- l: O! b- K
  方、径各一丈六尺,
5 z+ \% ]% ?% b  E7 Q5 k  高一丈九尺,
2 ~/ C& ^6 Q( a4 e  深一丈四尺。) t# d. t* Y. l
  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
# F: Q" A6 ?$ S* Q; U3 W  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
# p/ I  U' K- p/ K6 @9 X  答曰:
! o/ ?- X& P" D! u# c1 y  上方、径各七尺,
8 q; V3 O. C, `( c) @1 [6 E  下方、径各二丈八尺,- Z+ A0 h* P4 y5 `
  深各二丈一尺。
! G* G- w( t& w7 h: B. Q  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。" M/ N' t4 d6 W! R" P1 r- h) c0 k
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发表于 2017-3-19 09:58:17 |显示全部楼层

: \1 d3 a0 B: e3 z: q% D) J+ b: g/ \假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
' q! Z$ b4 u- |" p  答曰:" D" q0 s9 |- x% W6 J% \) V
  方窖上方七尺,
0 I1 N% s% j! z5 E7 p( c5 v6 |' Q2 f( J  下方二丈八尺,. v8 A( w& x3 P' E$ O; o) _/ B9 S
  深二丈一尺,9 p9 }: J# D9 I- z' q% z
  圆窖上下径、深与方窖同。( i  E' R( Z8 A
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
' ]4 Y) l) {& l$ X  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?
7 H6 ^+ h7 ~3 p  答曰:! {. p0 j2 O+ x$ `7 o% P  E  G) D
  句十四二十分之七,0 |$ }  U6 l, w, f7 G$ [
  股四十九五分之一,
+ S7 @2 B, {, z- t4 p( |' ]  弦五十一四分之一。
0 ~% T/ A) o3 ^3 R" g% @  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。
" W1 P+ }5 H2 u2 g  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。, L+ t8 _; I7 J9 X
  答曰:弦一百一十四十分之七。6 T2 o3 o) n- I/ }) F* Z
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。3 ?$ h5 f6 h! a; i
  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?! N+ _6 ?, D* G
  答曰:九十二五分之二。
4 B2 R& \2 A% U0 G, R  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。- Y/ L( x. E* K% b/ G
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。
  H: |2 F; n: q) v  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
/ Y7 o5 {) N- U# T- |& ^  答曰:六十八。, m7 Z/ [3 y2 R& z' _* c
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
+ b% b2 e! X$ U' f# G9 p  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?6 \% ~9 F/ l9 E2 V. w2 g
  答曰:股二十六五分之二。
5 K5 ^* S- j1 D7 E) H  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……). q  N* S8 t; s# i3 i! \
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?
, [& e' |* |, J) Z  答曰:句八、五分之四。( D* z! O3 M( v
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。4 r( r% G+ \) K
% b' L2 y7 ~, S2 Z$ I9 n1 V
缉古算经跋' t; p/ C9 Q- u9 K7 x
# K9 j0 h! z0 ~" X9 L+ {
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。2 B7 H9 E2 L2 Y  n

6 U$ B  a! M6 o1 x1 P5 k% R9 F2 ]康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识1 g) V. |' _. G( e9 {4 \" k! |$ l. ^
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。
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