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[天文算法] 《缉古算经》唐-王孝通

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发表于 2017-3-19 09:55:15 |显示全部楼层

" m$ r- v4 g* O# m5 \3 Z3 |$ l缉古算经
( |8 v2 a0 L, \% t5 K1 a- n- I) m; Y9 `" B# s
上辑古算经表
/ z- A/ F# p; Q
, Q9 a, m, Y- D5 H3 F2 k  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。* I$ u' \5 W& `/ r' l
7 L3 r# M" R. q1 _+ y
- Z- G8 S9 c6 ^2 M5 l5 Q

' q/ e: P; p6 l% W  [' O0 v缉古算经9 }. q+ y2 I/ Y8 \

' t, K3 I9 r+ _) m; _7 z8 h  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)) h; O  \  C  u# A* |/ [, n! D
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。6 p6 H/ _+ Q2 P  y
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
& r7 j) g) j0 p) A% e  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。
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1 K0 G! w5 {: I1 t/ B6 y答曰:
0 |/ P6 T9 |) y; `5 h  台高一十八丈
$ t' y5 t0 U) N  上广七丈,
+ `: S5 n/ f8 ~+ n9 p4 j  下广九丈,$ F+ Q( y  a9 N; h9 O1 c% g4 |/ Z5 G
  上袤一十丈,; ]- a1 V. [9 G3 j! x
  下袤一十四丈;0 i" Z7 y- u( r  z+ h+ Z' {" E+ ?8 Y. j
  甲县给高四丈五尺,, _; p& w# r! t; s0 v) n3 U
  上广八丈五尺,  I  l: e- W, i5 e% U
  下广九丈,
* e5 t4 E: o' J. v  e  上袤一十三丈,
8 t) P, Q% ]7 M  ~  下袤一十四丈;
( D1 r' n5 F! i! |+ I0 t3 K  乙县给高一十三丈五尺,
8 E! r" l* n, m9 N8 Z2 m  上广七丈,; K# D* i! q. W" L, m' d7 |! L1 z
  下广八丈五尺,/ ?. P  {, L: w! l% M
  上袤一十丈,) a5 G( F, L! G& U
  下袤一十三丈;
% v3 `7 |( w& Z7 |+ G) i# }  羡道高一十八丈,/ L5 P1 B$ j8 n- x2 v
  上广三丈六尺,
6 \$ l4 V; m1 C; _* Y% r  下广二丈四尺,
% H( ~$ [+ Q' P3 H6 T  袤一十四丈;
/ B3 C9 @# G8 s! h  甲县乡人给高九丈,
9 h. i) j- j& d) Z; ?  上广三丈,$ M& t6 H4 X4 t6 T. q
  下广二丈四尺,. D  W1 y! L" ?2 H9 ]4 O2 D% ?
  袤七丈;  |6 F9 y, R0 c
  乙县乡人给高九丈,$ K8 R8 Y4 g1 V5 ]
  上广三丈六尺,
5 a% h& z2 M: R, ]6 ~. x7 b4 T  下广三丈,; |( `4 l- d) p7 c, i
  袤七丈。* h" [2 `  D, g3 s- \2 x' \
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。' c6 s8 ~# @. T3 o; x* w
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。. |; f/ F! K( y
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。) Y% Y& |1 e2 D9 |6 V, V5 @& {- V
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
5 l2 p. I, l( U- ]8 x! ^# a" N( N  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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25
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24170 点
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帥印 学士勋章 貢獻勳章

发表于 2017-3-19 09:56:08 |显示全部楼层
  l: v6 t6 q4 V4 A% G" @
答曰:2 K4 }. |+ E2 k1 t$ h, b( X* x
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
" @/ L# Y* K' r7 Y/ X' m2 v  西头高三丈四尺一寸,/ |$ I% F0 ~: V  [
  上广八尺,) ^) k8 \  _5 w- _# p' _
  下广七丈六尺二寸,* q9 k# w  t$ o; _1 E' [
  东头高三尺一寸,
# o6 ?- t3 c, X0 Y6 [: q, X5 j  上广八尺,8 D4 x; F! [/ o8 A' t
  下广一丈四尺二寸,8 _; H! M" k, ]# y
  正袤四十八丈,
( B* X. I. w5 h2 x1 p  斜袤四十八丈一尺;- b6 T3 x. u' J9 k4 t7 c" e
  甲县正袤一十九丈二尺,
% Q+ a% c. R5 b+ k3 F7 H  斜袤一十九丈二尺四寸,
/ B& q. \: h" v' q$ d  下广三丈九尺,
  r9 |  Q7 g% T  高一丈五尺五寸;
4 Q( A1 g7 g- E3 W" O/ Z  乙县正袤一十四丈四尺;; O: q: w6 l2 r( T
  斜袤一十四丈四尺三寸,
7 F6 }4 L: t1 e/ [' c  下广五丈七尺六寸,' i$ h& O& l! T2 O1 V  {
  高二丈四尺八寸;# v$ C; M" A3 p4 c( z
  丙县正袤九丈六尺,5 @) R: B6 y' \1 {  z3 J9 X, e5 L! N
  斜袤九丈六尺二寸,# B! C$ R" N+ F2 s
  下广七尺,7 Q3 P0 j# m- ^6 P! l
  高三丈一尺;
, y) ?) j- Z3 V& ]( ^$ l/ S2 [  丁县正袤四丈八尺,
3 }% |3 e4 d6 p0 ], }  斜袤四丈八尺一寸,
1 O1 z4 c0 c1 A& [7 m  下广七丈六尺二寸,2 B$ C# C" u, Z$ \5 h7 G4 g
  高三丈四尺一寸。7 w4 U+ v7 z& h& M/ C  t  u0 C
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。" f, s( d, A7 t" n3 m, l
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。
& A# ~6 r8 ~( N. {  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:56:32 |显示全部楼层
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。% m6 B+ s* ], @& ~) j& S" D( Y  v/ d& C
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
' Z+ L( y; F7 `* E( G! V  答曰:: F- A0 u% R  U% R
  高三丈,$ D8 _* h+ x3 i2 Y* M1 u( ]
  上广三丈四尺,
- w  X7 a5 C% p6 `! w8 G- e! y( c* d7 S  下广一丈八尺,# Q+ o' q" h, H; m3 H4 H1 v& t
  袤六丈六尺;6 A" I* j2 S" S
  甲县高一丈五尺,+ q6 `- f/ @* T& C3 h
  袤三丈三尺,
& R" `  U4 o/ x9 o: m  上广二丈一尺;4 k  Z2 W3 \" v7 J( U/ w
  乙县高二丈一尺,
, e$ K. r, A5 E% D  袤一丈三尺二寸,; g, C# a+ ~& Z9 l7 s! p
  上广二丈二尺二寸;: f# ^+ m2 X; b- q4 a6 `3 _) @& s# F
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,
( c. m2 ]! }2 ]& W  r3 r9 G6 o! ]) V# W0 b  上广二丈四尺。, a% }% ^0 h6 V! M, x' D
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。0 u/ z$ F( e! e9 ~, E
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
: e% H9 r' `5 E; m9 G4 j  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?. M3 m- W1 L6 `: M) L0 ~- e* L( H/ K5 v
  答曰:
6 W# J5 x) @4 ]" _  漘上广五丈八尺二寸一分;5 O9 y+ v+ K' M& |5 \
  甲郡正袤一百四十四丈,
# S7 W- j% {/ X* q  斜袤一百四十四丈三尺,8 j. T: `) k( g* i$ \6 M8 X
  上广二十六丈四寸,
& B5 D( ?4 Q& s. _  深一十一丈一尺六寸;: z$ a% q' Z. d/ E  P. i
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,
4 r1 r5 [, T5 E! ^& g9 I8 Z, z8 r  斜袤一百一十五丈四尺四寸,+ Y$ \/ C1 Q+ u+ |
  上广四十丈九尺二寸,
! _" v, E. D; Z! A  深一十八丈六尺;
! O" A( l/ E% p* i3 o% W1 x. {9 t0 y  丙郡正袤五十七丈六尺,/ g% k3 U. b$ N( b
  斜袤五十七丈七尺二寸,
% q' f" Z: ^! A- @  上广四十八丈三尺六寸,- f5 }: z  N; A5 J3 J' y5 D( r
  深二十二丈三尺二寸,
, w+ Q7 \+ i" S1 I5 }7 L  丁郡正袤二十八丈八尺,
- Q5 r& e# R5 S& K' E& ]" j/ E  斜袤二十八丈八尺六寸,( e, r( X7 y' Q% j) _" J
  上广五十二丈八寸,' O: ~! X7 M3 [
  深二十四丈一尺八寸。: M$ o0 K! t; M$ L: O5 {/ K& h
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:00 |显示全部楼层
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。5 a( U( ~" y  R3 B0 y2 X/ e2 @% W' m
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。
; q# k7 |! j; X/ v1 Q; F  r  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?0 b, A6 u+ e* T0 ?% _6 g
  答曰:, A. w+ s! }3 g: d
  窖上广八丈,
0 R* P2 m. t  ^& B9 B1 O  上袤九丈,
5 e8 d8 l9 o( f  下广一十丈,: s0 ]7 t5 H" _) g) Z$ A( j
  下袤一十二丈,
6 [$ f. X# e2 U2 O% B' }/ }+ m  深三丈;- R, V" v8 a: H. P/ N) u
  甲郡八千七十二人,2 @  g$ k4 q+ \) R
  深一十二尺,
5 u. c) H- j! y0 f  _: w; b8 ?  下袤一十丈二尺,9 P0 s3 V$ _% \8 o
  广八丈八尺;
1 y' D# `" ^1 H  乙郡七千二百七十二人,
' e! K! d4 |+ V9 J4 w  深九尺,
& N5 ^+ e$ J* `  下袤一十一丈一尺,
, s" \- u' W1 o% L& C  t  广九丈四尺;
# O) ^* n5 x) @4 u0 V  丙郡五千四百七十三人,
6 ^4 k7 D/ I8 s# w, Y9 T  深六尺,下袤一十一丈七尺,8 t8 |% f1 A5 ?$ b' j
  广九丈八尺;4 t# C, c" V4 _0 Q. y0 L
  丁郡二千九百三十三人,$ {+ ]; P  i$ s  i# l7 I
  深三尺,6 ?& j& z1 V# W' w. P
  下袤一十二丈,
% x6 p  P- s3 V  广一十丈。. e5 |: q% F/ w, H" j* D: l& m8 U4 }: F
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。
3 f3 ]# A7 O' K9 ^  h  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。8 T9 {* T. y& G- H3 G
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发表于 2017-3-19 09:57:27 |显示全部楼层
: G9 m# N2 T" V+ \1 ^6 z- Q9 A: S4 ~
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?/ h1 x" v! u; m, i
  答曰:- u% ]& N2 z) Z5 M" F
  上方三尺,, x. v" }# T" x9 Z5 Q9 L# G
  下方九尺,
; M" T$ z3 c6 f1 s3 O3 u  高一丈二尺;& _5 c$ j% T+ Q$ x4 A2 f& ]7 e# M
  余粟深、上方俱六尺。
+ P( ]! V3 T( Y: L! e% |' t  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
2 J" q$ C( G8 V: A' }8 O# p  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。  L* U4 H# G5 |
  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?. {' ?/ b! ?2 `) c4 Q
  答曰:% Z1 J! D- J. _( c& B
  高四丈八尺,: u6 a/ L- ]3 P& @9 l
  上广三丈六尺,5 Z$ n. Z6 y2 I! [/ P4 e
  袤六丈六尺。5 H+ p, ~4 g0 |0 X; k$ s8 u- K
  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。9 i# T9 y) _9 X
  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?0 ^1 e/ v- Z' N; }  b
  答曰:: `* p1 H. j" e
  一周一丈八尺,% N: J4 M+ m. B8 X6 s
  下周三丈,
( l( J  @% k1 }# _! o0 j+ f  高三丈六尺,3 ^4 F0 V" y/ T; W
  去口一丈八尺,  l4 m1 J- k( Y/ J2 Q/ P
  粟周二丈四尺。
0 l3 t$ O- }: Q0 G0 w+ z  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
, k0 u* C" `# U; Q0 ?5 |  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
, p5 w5 ~' ]0 n: a  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
2 q- l4 n) i# Z. E9 X  答曰:
1 K( A1 u/ f+ s9 t) X  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
/ S0 P6 y; [( U5 r/ t& z: Z$ m  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
1 }1 U; s6 n3 G/ \  高与深各一丈五尺五寸。
《太极物荷》:竞泥亭立玉节在,丝念开怀圆满长,来去乾坤并蒂敛,灵通物外太极随。

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发表于 2017-3-19 09:57:53 |显示全部楼层
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
# e' {/ C% @7 c- V: r9 s  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。% Y  ^" p& a4 y1 A
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
( T- J2 z' a6 m6 g; i+ \  答曰:
2 ?8 R( B' J3 P  方一丈八尺,
3 y' m0 ~( o3 f- |1 _  高深一丈三尺,8 o" {) e% B9 A+ u* |7 |7 B, N
  圆径二丈八尺。8 l, c, O5 ?: e. v7 s6 c( l
  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。( _: U) {* x+ Z. M
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?$ G7 o4 @2 f  r- n% s/ _- `
  答曰:
$ f" Q4 N7 {5 ]* Y  Y/ t& [. z  方、径各一丈六尺,
3 v; W0 ?0 ^6 P; l) m  高一丈九尺,
( b; e- N5 n) x/ f( q- X  深一丈四尺。
1 p* z2 d. f. J  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
7 o/ @& L3 `: |  U' Y3 j  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
. D5 o( T: ^4 K" q1 [3 u  答曰:4 n5 d- X7 J' g
  上方、径各七尺,
  F1 a' q: N3 }5 s) e" w8 l  下方、径各二丈八尺,7 T0 s0 G, n5 P3 P0 M
  深各二丈一尺。7 ?" d. b& `0 ?* J, H. u/ m! j
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。. {* ]3 b/ X9 L2 O
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发表于 2017-3-19 09:58:17 |显示全部楼层
# h2 Q& D- U% D& y8 T# V* i
假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?* j  [' f: b: A1 M# }. ~- w# I- _
  答曰:
, \0 N0 g% c; R; ]1 Q( r: k1 A4 v  方窖上方七尺,
5 H: I# V! V. b" p* f% x  下方二丈八尺,1 @! I6 i' R9 v& V- ~
  深二丈一尺,' g! D& }) O  ]* _) r
  圆窖上下径、深与方窖同。
: K4 J" d5 ]  Z, ^7 C  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
3 c, h0 _3 W( Y  y  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?: Y9 i1 Y  g# i1 m, |
  答曰:! m( S. h4 ?- A* m1 t
  句十四二十分之七,6 u0 u; o+ J2 V, w5 F
  股四十九五分之一,
0 V+ |* V' a; M: D; O1 E  弦五十一四分之一。& P9 N7 U7 D8 w, A  p$ D. `
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。0 f; Z0 K. e" K) v, F7 {* U
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
* ]0 d$ ^$ x: x  答曰:弦一百一十四十分之七。& w+ D, k: C* u: c1 s. E7 }/ H/ u4 e
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。" Z$ H* }; y$ g- j% M
  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?% M) ?$ k8 m+ l3 y
  答曰:九十二五分之二。
3 z+ ^$ e! t1 r! G  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。3 \, V/ e4 k, b: h2 N
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。( M$ I& t% J3 ~
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?, L0 w6 k; y4 h  ~) ?$ [
  答曰:六十八。, b- ~' e+ m; @, [+ p
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。% B' ]7 q; G/ w: A1 O" A4 K8 a7 }
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?0 y5 k$ q1 n* h6 C) h
  答曰:股二十六五分之二。
2 R% U7 n. o3 x1 @9 B5 i3 B1 M  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)9 u# T9 u$ i9 q: W
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?0 e6 _+ g% U" V4 O( d2 d
  答曰:句八、五分之四。0 }6 ^4 D( {6 S+ ^
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
* j$ o2 P* ~2 Y( E$ V' P) ^2 T3 P! Z4 u
缉古算经跋" O( W1 N' |8 a, h* b: C% F

3 B% e8 l. U( q+ p7 s  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
' r: V4 y& z0 S3 l$ M
* q! T4 m( n  C& I8 M& X* a6 b- @9 V康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
7 k3 R1 j: G" T$ y# h: I
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