易平方图卦码系统下的卦运算体系：从卦联到全域推演的三层数理模型

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易平方图卦码系统下的卦运算体系

从卦联到全域推演的三层数理模型

J.M.九宫格

个人研究，经AI辅助整合，细节内容敬请仔细鉴别

摘要
传统《周易》卦变研究多依赖义理解读，缺乏可量化、可验证的统一运算规则。本文依托易平方图（将 64 卦编码为 0~63 的整数），构建“卦联→卦群→全域”三层递进式卦运算模型，以“八倍六三之余”“模 8 商余”“模 4 商余”为核心工具，通过同余式 B ≡ 8A (mod 63) 精准刻画本卦与覆卦（翻转卦）的数理关联。结合變卦变换生成四卦封闭单元（卦联），通过行列变换构建八卦封闭集合（卦群），借助模 4 分解划分区域并生成算子基因组，最终实现从任意一卦推演全域 64 卦，且可量化任意两卦的最短变换路径。该模型为《周易》数理研究提供了科学化、系统化的数学框架，推动传统易学研究向规范化学术方向发展。
关键词
易平方图；卦运算；八倍六三之余；模 8 商余；模 4 商；算子基因组
一、引言：从“卦变”到“卦运算”的范式升级
传统易学对卦变（卦与卦之间的关联）的解读，多局限于哲学象征层面，聚焦變卦、覆卦等范畴的义理阐释，缺乏统一的量化标准与可验证的运算逻辑，难以形成严谨的数理体系。易平方图以 0~63 的整数为 64 卦赋予唯一编码，并将其映射为 8 行 ×8 列的二维网格，实现卦与代数坐标的一一对应，为卦变的量化研究提供了核心载体。本文基于易平方图的结构特征，以“八倍六三之余”等数学工具为支撑，构建三层递进式卦运算模型，将传统模糊的卦变阐释转化为可重复、可验证的代数运算，完成从义理解读到数理推演的范式升级。

                               
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二、第一层：卦联内运算——“八倍六三之余”与覆卦、變卦的生成
2.1 卦码的商余表示
在易平方图中，每个卦的编码（卦码）A 可唯一分解为模 8 商余形式：
A = 8q + r
其中，q = ( A/8 )（模 8 商，对应网格行号，取值 0~7 ）， r = A mod 8 （模 8 余，对应网格列号，取值 0~7 ），商余对 (q,r) 唯一对应易平方图中的一个坐标点。
2.2 覆卦的同余表达与“八倍六三之余”
覆卦是指卦象上下颠倒的卦，对应易平方图中坐标行号与列号的互换，因此覆卦卦码 B 的定义为：
B = 8r + q
进一步推导可得，本卦 A 与覆卦 B 满足简洁的同余关系：
B ≡ 8A (mod 63)
该式即“八倍六三之余”的核心数学表达，其推导过程如下：将 A = 8q + r 代入 8A ，计算得 8A - B = 8(8q + r) - (8r + q) = 63q ；由于 63q 是 63 的整数倍，根据同余定义，可直接得出上述关系式。借助该公式，无需拆解商余对，仅通过“本卦码 ×8 后对 63 取余”，即可快速求得覆卦码。
2.3 覆卦关系的互逆性
覆卦关系具有双向互逆性，其数理依据为：8 × 8 = 64 ≡ 1（mod 63），即 8 在模 63 下的乘法逆元为其自身。对同余式 B ≡ 8A（mod 63）两边同乘 8，可得 A ≡ 8B（mod 63），表明若 B 是 A 的覆卦，则 A 也是 B 的覆卦，完全契合传统覆卦的定义。
2.4 完整卦联的生成
结合變卦变换（对称翻转变换），可由任意一卦生成其所属的完整卦联（四卦封闭单元）。定义互补算子 C(x) = 7 - x ，用于表示行号或列号的对称翻转（对应變卦的数理本质），卦联四卦的生成公式如下：
本卦： A = 8q + r
覆卦： B = 8r + q （满足 B ≡ 8A（mod 63))
變卦： C = 8(7 - q) + (7 - r)
覆變卦： D = 8(7 - r) + (7 - q)（满足 D ≡ 8C (mod 630))
这四卦构成一个封闭的基础运算单元，任意一卦均可通过上述公式推导得出其余三卦，为后续卦群运算提供核心支撑。
三、第二层：卦群内运算——“模 8 商余”与八卦卦群的生成
3.1 卦群的生成逻辑
以卦联为基础，借助模 8 商余的列对称变换，可实现从卦联到卦群的升维。具体步骤为：以一个卦联（纵深四卦）为基础，对其中每一卦的列号 r 执行互补变换（ r → 7 - r ），生成一个新的四卦组（横跨四卦）。
3.2 卦群的构成与封闭性
将原纵深四卦与新生成的横跨四卦合并，去除可能存在的重叠卦（自体覆卦、自体覆變卦），最终形成包含 8 个不同卦的集合，定义为“卦群”。每个卦群对应易平方图中一个全对称的子区域，群内所有卦可通过规定的行列变换（商余变换、互补变换）相互推导，具备严格的运算封闭性，是连接基础卦联与全域 64 卦的中间层级。
实例验证：

以鼎46为例：A=8×5+6      q=5，r=6

本卦：          A= 8q + r=8×5+6=46                          ‘          鼎

覆卦：          B= 8r + q=8×6+5=53                            ’        革

變卦：          C= 8(7 - q) + (7 - r)=8×(7-5)+(7-6)=17           屯

覆變卦：       D = 8(7 - r) + (7 - q)=8×(7-6)+(7-5)=10     ’    蒙

副本卦：       A’= 8q + (7 - r)=8×5+(7-6)                ’            噬嗑

副覆卦：       B’=8(7 - r) + q=8×(7-6)+ 5=13                ‘      贲

副變卦：       C’=8(7 –q ) + r=8×(7-5)+ 6=22                      井

副覆變卦：    D’=8r + (7-q)= 8×6+(7-6)=50                        困   
四、第三层：全域推演——“模 4 商”与算子基因组的生成
4.1 模 4 双商余分解（降维核心）
为实现全域 64 卦的系统推演，将 8×8 的模 8 商余空间降维至 4×4 的模4空间，对行号 q 与列号 r 分别执行双商余分解：
q = 4q4 + qr ， r = 4r4 + rr
其中， q4、r4 ∈ {0,1} ，用于界定卦在易平方图中的大方位区域（上下： q4 = 0 为上、 q4 = 1 为下；左右： r4 = 0 为左、 r4 = 1 为右）； qr、rr ∈ {0,1,2,3} ，用于定位区域内的具体坐标，实现方位与局部位置的精准拆分。
4.2 算子基因组的划分
结合 q、r 的方位划分与倾斜方向（比较 q 与 r 的大小： q < r 为左倾， q ≥ r 为右倾，(q+r)≤7 为左倾，（q+r）≥7 为右倾），可将 64 卦划分为 8 个“算子基因组”，每个基因组对应易平方图中一个固定的对称区域，且具备统一的运算规则。
4.3 组内基因生成与全域还原
每个算子基因组内，通过 qr、rr 的 10 种特定组合，可生成组内全部核心算子（基因），涵盖 4 种自身对称组合（ qr=rr ）、3 种边界组合、3 种内部组合，无需额外复杂运算。
将每组的模 4 坐标(qr, rr) ，结合其所属区域的 q4、r4 ，通过 q = 4q4 + qr 、 r = 4r4 + rr 还原为模 8 坐标 (q,r) ，再代入 n = 8q + r 得到对应卦码。遍历 8 个算子基因组，即可完整生成全域 64 卦，实现“一卦推全域”的目标。
全域推演的完整步骤：
1.  取任意起始卦，做模 8 商余分解，再做模 4 双商余分解，得到 (q4,r4)（方位版块）与 (q r,r r )（组内坐标）；
2.  根据 (q4,r4) 与倾斜方向，确定所属算子基因组；
3.  通过模 4 余数组合，生成组内 10 个算子基因的模 4 坐标；
4.  用还原公式将模 4 坐标转化为模 8 卦码，得到该基因组的 10 个算子基因；
5.  重复上述步骤，生成 8 个算子基因组的 80 个算子基因（含 16 个重复自体覆卦），去重后得到全域 64 卦。
4.4 卦变最短路径量化
任意两卦的运算距离（最短变换路径），可通过其模 4 坐标 (qr, rr) 的曼哈顿距离量化计算，公式为：
路径长度 = | qr1 - qr2 | + | rr1 - rr2 |
路径长度越小，两卦的卦变关联越紧密，该方法为衡量卦变关联程度提供了明确的量化标准，解决了传统卦变路径模糊的难题。
五、体系创新与学术意义
5.1 核心创新
1.  范式创新：突破传统义理解读的局限，将卦变转化为可量化、可验证的代数运算，建立“卦联→卦群→全域”的三层标准化数理框架，实现易学研究的范式升级。
2.  工具创新：提炼“八倍六三之余”同余运算、模 8 商余映射、模 4 双商余分解等核心工具，极大简化卦变运算流程，实现运算逻辑的极简性与严谨性统一。
3.  路径创新：构建“一卦推全域”的推演体系，同时量化任意两卦的最短变换路径，填补了传统易学中卦变路径不可量化的空白。
5.2 学术意义
该模型推动《周易》研究向科学化、规范化发展，摆脱了义理附会的模糊性；深化了易平方图的数理内涵，完善了 64 卦的代数关联体系；搭建了传统文化与现代数学的沟通桥梁，为传统易学的创新传承提供了新视角。同时，模型运算逻辑简洁、可程序化实现，可拓展应用于卦变规律大数据分析、易学与计算机科学的交叉研究等领域。
六、结论
本文基于易平方图的编码与网格特征，构建了以同余运算、模商分解为核心的三层递进式卦运算模型。该模型将传统《周易》卦变思想转化为系统、严谨的数学*运算，实现了从任意一卦推演全域 64 卦及卦变最短路径量化的目标，解决了传统卦变研究不可验证、缺乏标准的痛点。该体系为《周易》数理研究提供了全新的科学框架，兼具学术价值与拓展应用潜力，助力传统易学研究的现代化转型。
参考文献
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