秦伊人按：
　　本文是去年辑成，没有上网发表。今天登在这里，只想表明先秦的文化并不是后人臆想的那样的神秘，各个文化之间是有实在的联系，但没有神话的成分。
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闲谈先秦乐、律、历的关系，和使用“八十一日分”的真正原因

一、音律和律历的关系

　　《太初历》最初使用81日分的原因是什么？《汉书·律历志》说：“其法以律起历，曰：‘律容一龠，积八十一寸，则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。’”这是因为当时已经发现了十九年七闰的规律，才有所谓“百七十一分而终复”（171/19＝9）。“三复而得甲子”是说经过三个19年就回到“甲子元”，如：前161甲子元，前142甲辰元，前123甲申元，前104年又是甲子元。冬至日逢甲子朔旦是称为“甲子元”，这是历算的基准，19×4＝76年一个轮回。但是用81日分还是另有原因，因为19年包含235个朔望月，4×235＝940，朔望月＝29＋(499/940)＝29.530851，这940是“四分术”的日分，也是十九年七闰的必然结果，西汉不用940日分而用81日分，朔望月＝29＋(43/81)＝29.5308642，这会降低历法精度，可是西汉《太初历》是先用了81日分的，后来东汉才改用940日分。为什么知道“十九年七闰”后不用“四分术”的940日分，而是用“三统术”的81日分？

　　成熟的律算技术来自对乐律的计算，乐律的计算因为与度量有关，所以乐律的计量名称如“宫”和“黄钟”等也被使用到其他的律算中。汉武帝时期对历法计算要求“其法以律起历”，是为了使用成熟的律算技术，因为律算技术是在乐律应用上发展起来的，而追求整数比是“乐律”和“律历”的共性。乐律有简单的整数比音乐才和谐动听，而律历有年月日三者的整数比，才能精确推算出历法。乐律和谐在于五音的整数比，以宫音81起律；律历精确在于年月日的整数比，以日分81起算。将成熟的乐律技术应用于历法，正所谓《史记·律书》说的：“建律运历造日度”，和《汉书·律历志》说的：“其法以律起历”。

　　最早乐律以“宫”定调其律长是有多重选择的，不一定宫调必选81，如管仲选宫调21，对于“宫商角征羽”这些音调的确定，在司马迁认为是以“宫”来定低调，宫调最低，羽调最高；而早在管仲时期却是用“宫”定中音调，并规定管乐的征调最低，角调最高；相反弦乐的征调最高，角调最低。如：在《管子·地员第五十八》中规定：　

而在《史記·律書》中规定：

（先損後益：低宮音）

律數九九八十一以为宫81

三分去一五十四以為徵54

三分益一七十二以為商72

三分去一四十八以為羽48

三分益一六十四以為角64

二、宫律数八十一的来历

　　在商鞅时期，有著名的“商鞅方升”流传至今，根据《中国古代度量衡图集》（国家计量总局编辑，文物出版社1984）的记载：

商鞅方升：（战国•秦）上海博物馆藏
内体积：长五寸四（124.774）、宽三寸（69.742）深一寸（23.23）。
铭刻：“十八年，齐率卿大夫重来聘，冬十二月乙酉，大良造鞅，援积十六尊五分尊一为升。”

　　商鞅方升（图）其中有铭文：“大良造鞅爰积十六尊五分尊之一为升”，故称为“商鞅方升”，其容积为16又1/5（即16.2）立方寸。
　　从商鞅到王莽，秦汉时期容积基本一致，容积以“81” 为基本单位（16.2/2=8.1），也称为“黄钟律”，这是王莽“同律度量衡”的数字依据，也是八十一日分的理论来源。
　　商鞅方升的容积为什么是16.2立方寸为一升？10立方寸为一升岂不是更方便？其实这正是商鞅方升设计的巧妙之处，商鞅方升的容积是根据谷和米的比例关系而设计的，因为一商鞅升（16.2立方寸）谷物，经过脱壳加工可以得到约十立方寸纯米。陈梦家在《汉简缀述》中论证了汉代一大升谷物可以得一小升纯米，大小升的比例约为16/10或10/6。

　　秦汉时期一寸约为23毫米，折算后商鞅方升的理论尺寸如图：（长：5.4寸、约合124.2毫米；宽：3寸、约合69毫米；高：1寸、约合23毫米。）

在示意图中表示：1商鞅方升体积为197105.4立方毫米（124.2×69×23）

1商鞅方升等于16.2商鞅方寸（5.4×3×1）；

其空腔部分是表示10商鞅立方寸（2×5）。

这是表示1商鞅升的谷，包含10商鞅方寸的净米。

　　

　　从商鞅到王莽的秦汉时期，“方寸”被用来作为设计、计算计量器具的基本单位，16.2方寸为一升，一升谷物可得十方寸纯粮。“方寸”用作计量单位，是以长度单位作为设计容量器具的依据，这是从商鞅时期就有的传统。如上图：现藏于中国历史博物馆的始建国铜方斗（新莽），有铭文：“律量斗，方六寸，深四寸五分，积百六十二寸，容十升，始建国元年正月癸酉朔日制”。（6×6×4.5＝162）这个容积是商鞅方升的整十倍，可见王莽时期对商鞅时期的计量法度是完全继承的。这个“积百六十二寸”为何不是容16.2升？而是“容十升”，这就是谷与米的比列，是说“百六十二寸”的谷子可以“容十升”米。这个容积接近10/6的比例，和《破城子汉简》110.14记录“粟一斗得米六升”是一致的。

　　《汉书·律历志》有：“合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛”。若当初商鞅能设计“方寸为合，十方寸为升，百方寸为斗”的容量体系，则是十分方便的，但是由于容量的设计兼顾了谷物和纯粮的容积换算，所以才出现了“援积十六尊五分尊一为升”（16.2方寸“粟”转换为一升“米”）这样一个奇特的复合型的基本容量单位。

　　现在可以认识到，所谓的“容如黄钟”只是一种人为解释，如：1970年在陕西咸阳底张湾出土，现藏咸阳市博物馆的始建国铜龠（新莽），柄上刻铭文一行：“律量龠，方寸而圈其外，兆旁九豪，冥百六十二分，深五分，积八百一十分，容如黄钟”。容积八十一是“容如黄钟”，其来源是“积百六十二”，就是二倍黄钟数，但这个最早出现在商鞅方升里的“百六十二”，只是因为粟与米的比例而特意设定的数据，这与的黄钟律81或宫律81没有直接关系，因为宫律也可以不选81而选其他的数值。

三、用“八十一日分”是为计算简便

　　从《历术甲子篇》中有司马迁死后的纪年来看，《历术甲子篇》一定不是司马迁本人录入《史記》的；但是学界认为后来的纪年是后人所加，《历术甲子篇》的主体数据是司马迁本人录入《史记》的，这使得问题复杂化。所以只能从《历术甲子篇》的实质内容来分析《历术甲子篇》的产生年代。

　　西汉司马迁先写有《史记》，东汉班固再写有《前汉书》，最后在魏晋时期的范晔、司马彪才写有《后汉书》，这三部著作产生的时间顺序是不容质疑的，这是讨论的基础。通过对以上三本书所记录的计算数据的不同，可以分析出《历术甲子篇》的产生年代。

　　年月日是观象历自然的计算单位，在推步历出现前就使用，由于推步计算的需要，在推步历中有推步历专用计算单位，“章”、“蔀”、“纪”、“统”是推步历的计算单位，最小的推步历计算单位是“章”，

　　在《前汉书律历志第一》中，有关推步历所使用的计算数据有五条：

1　　闰法，十九。           （19×1）
2　　章月，二百三十五。     （12×19＋7）
3　　统法，一千五百三十九。 （19×81）
4　　月法，二千三百九十二。 （81×29.530864）
5    日法，八十一。         （81）

　　相应地在《后汉书志第三律历下》中，有关推步历使用的计算数据有六条：

1　  章法，十九。             （19×1）
2    章月，二百三十五。       （12×19＋7）
3    纪法，千五百二十。       （19×80）
4　　蔀日，二万七千七百五十九。（940×29.530851）（365.25×19×4）
5　　蔀月，九百四十。         （940）
6　　蔀法，七十六。           （19×4）

已知：1、《前汉书》“三统历”系统所使用的推步计算单位是“章”和“统”；
          （1章＝19年；1统＝81章。）

      2、《后汉书》“四分历”系统所使用的推步计算单位是“章”、“蔀”和“纪”；
         （1章＝19年；1蔀＝4章；1纪＝20蔀。）（1“统”＝1“纪”＋1“章”。）

      3、《历术甲子篇》的成立基础是在“四分历”系统的基础上，对子正月朔日的精
         确计算，而计算的基础是对数据的掌握和使用，在《历术甲子篇》中使用的基
         本数据和基本计算有：

         1年＝365.25日；
         1章＝19年＝6939.75日；
         1蔀＝4章＝76年＝27759日；
          “日分”＝940；

         朔望月＝蔀日／蔀月
               ＝27759／940
               ＝（365.25×19×4）／（235×4）
               ＝29＋（499／940）

推论：1、在《历术甲子篇》里使用的数据是：“蔀法”（＝76年），和“蔀月”（＝940），
         这些概念在《史记》和《前汉书》中并没有出现，所以在“蔀”概念上建立的《历
         术甲子篇》是不应该在《史记》中出现的。

推论：2、在《汉书•律历志》中有“其法以律起历，......法，一月之日二十九日八十一分
         日之四十三。”明言用数“八十一”为“日分”；但是《历术甲子篇》中“日分”
         用数“九百四十”，不能支持“八十一分日”的记录，所以《历术甲子篇》在《史记》
　　　中的出现是与《汉书•律历志》的记录相矛盾的。


　　从对“日分”数据的使用来看，《前汉书》所用的是“81”，《后汉书》和《历术甲子篇》所用的是“940”；而对“日分”数据的使用是计算能力的标志，可计算能力是随着时代的进步而增加的。古人用算筹计算，比较《四分历》和《太初历》用不同的“朔策”模拟用算筹的算法如下：

《四分历》模拟算筹算法：（朔望月＝29＋(499/940)＝29.530851）
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----------------（余数小于441是小月，大于441是大月）--------------------------

《太初历》模拟算筹算法：（朔望月＝29＋(43/81)＝29.5308642）
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-------------（余数小于38是小月，大于38是大月）--------------------------------

　　对于小馀的计算，《太初历》算法是用十位数加减法，《四分历》是用百位数加减法，显然《太初历》算法比《四分历》的算法更为简易，更为优越，这在以算筹为计算工具的时代更是如此。并且用《太初历 》算法的计算结果规律性很强，这对于验证计算也很有利。

　　古人用算筹计算非常烦琐，算筹只能对整数和整数比（分数）进行四则运算，乘法变成加法运算，除法用分数表示。所以对于499/940这样大分母的分数，从算筹计算方便考虑，古人希望用分母小的分数来近似表示，而因为对乐律计算的熟悉，这个分母又希望用一个律长数（宫、商、角、征、羽）来表示。古律长度有：
宫＝81　　　　　　　　　　　　　　　　（基准律长度）
征＝宫＋宫/3＝108；商＝征－征/3＝72；
羽＝商＋商/3＝96； 角＝羽－羽/3＝64。　（先益后损）
征＝宫－宫/3＝54； 商＝征＋征/3＝72；
羽＝商－商/3＝48； 角＝羽＋羽/3＝64。　（先损后益）
征(108)羽(96)宫(81)商(72)角(64)            　（先益后损，中宫音调）
宫(81)商(72)角(64)征(054)羽(48)　　　　　（先损后益，低宫音调）

设：499/940＝A/81＝B/72＝C/64＝D/54＝E/48＝F/108＝G/96

（宫）A＝42.9989取整为43差为0.0011
（商）B＝38.2213取整为38差为0.2213
（角）C＝33.9745取整为34差为0.0255
（征）D＝28.6660取整为29差为0.3340
（羽）E＝25.4809取整为25差为0.4809
（征）F＝57.3319取整为58差为0.6681
（羽）G＝50.9617取整为51差为0.0383

　　上述计算表示，只有A＝42.9989最接近一个整数值（43），而只有整数和用整数表示的分数才能够用算筹进行计算。司马迁对上述历算中律和历的数字关系是认可的，并有所叙述，这个43/81的律历数字关系成了邓平“以律起历”的基础，这是对499/940的简化，而这个简化大大方面了当时的算筹运算，二者的朔望月绝对差值仅为0.000013（十万分之1.3）。

　　从上述《太初历》和《四分历》的运算过程和计算结果来看，《太初历》算法简便，但是“粗”于《四分历》，《四分历》算法复杂，但是“精”于《太初历》；所以若邓平计算的《太初历》在当时果然粗疏，则不会以“粗疏”为借口废弃其他十七种历法；若司马迁当时果然有“精”于《太初历》的《四分历》在手，邓平也不能以其他历法“粗疏”为借口而自立。所以合理的解释是：由于当时没有能力对三位数进行大规模的历法运算，改用对二位数的运算；对三位数的历法运算是在《太初历》颁布之后和东汉改历之前，所以《历术甲子篇》是在司马迁之后完成的。

　　天文观象和历法推算是有区别的，不能说唐都是司马迁的父亲司马谈的天文老师，就说司马迁也必然精通历算；其实在制定《太初历》时，唐都的工作也只是“分天部”，历算工作由邓平和落下闳承担。《吕氏春秋•贵因》云：“夫审天者，察列星而知四时，因也。推历者，视月行而知晦朔，因也。”可见“观星者”是分天部、定四时的，是唐都一派；“视月者”才是推历、算历的人，是邓平一派，无怪乎当时多数参与《太初历》制定的人都说“不能为算”。司马迁对《天官书》很熟悉，这并不表示他对历算也精通。

　　另外，《史记》经历汉武帝和东汉章帝两次大规模删减，后人有增补《史记》的可能，所以《史记》已经不是司马迁时期的原貌。从《汉书》对《太初历》的描述，《历术甲子篇》与《太初历》是不同两种历法，并且《历术甲子篇》比《太初历》先进，而司马迁时期只有《太初历》经过颁布，所以《历术甲子篇》不应该是司马迁时期的历法。

　　由于不为人知的原因，《历术甲子篇》进入了《史记》，学者们产生了一些误解，在《〈历术甲子篇〉浅释》中，张汝舟说：“尤可怪者，篇末说：‘大馀者，日也。小馀者，月也。’司马迁家学甚深，怎么会有这种谬言迷惑后人，这一妄改，全篇‘大馀’、‘小馀’便成了一天云雾”。（《二毋室古代天文历法*论丛•〈历术甲子篇〉浅释》张汝舟著）；因为张汝舟主观地认为《历术甲子篇》一定是司马迁录入《史記》的，所以他要批后人“妄改”《历术甲子篇》，同时可以看出张汝舟不认为“小馀”和“月”有关系。
　　在《汉书律历志第一下》有：“推正月朔，......小馀三十八以上，其月大。”在《后汉书志第三律历下》有：“推天正朔日，......小馀四百四十一以上，其月大。”“天正朔日”是指“子正月”朔日，子正月朔日的“小馀”若小，子正月就是小月，反之“小馀”若大，就是大月，所以说：“小馀者，月也。”的说法不是“妄改”《历术甲子篇》的语言。

　　其实“小馀者，月也。”就是说大小月的排布规律由“小馀”数值的相对大小来决定，这在《前汉书》和《后汉书》中都有叙述，所不同的是对于“小馀”数大小的界定值，《前汉书》所用的是“38”，《后汉书》所用的是“441”。由于：“38/81=0.469；441/940=0.469”，所以上述两书所用的界定值是完全一致的。

　　从对“日分”数据的使用来看，《前汉书》所用的是“81”，《后汉书》和《历术甲子篇》所用的“940”；而对“日分”数据的使用是计算能力的标志，可计算能力是随着时代的进步而增加的。所以，在知道“十九年七闰”后，虽然必有“四分历”的940日分，但是局限于当时的能力，对大规模的历法计算，使用算筹计算三位数日分比计算二位数日分更困难，以至于当时官方有“不能为算”的说法，而要调用“民间治历者”，因此当时邓平选择了使用较为方便的81日分。至于后来“三统术”的81日分被冠以“黄钟律”的名称，也只是一种文化解释，499/940非常接近43/81也只是巧合，其实使用81日分和使用940日分的区别只在于计算的方便程度。其实“四分术”与“三统术”的基础都来源于“十九年七闰”，两种历术也能互相转换。

多谢浪花先生和高老夫子的鼓励！

“38/81=0.469；441/940=0.469”，所以上述两书所用的界定值是完全一致的。
相同吗？假如相同，就就没有争论了。
38=81-43，441=940-499.这才是相同的。

所以，在知道“十九年七闰”后，虽然必有“四分历”的940日分，但是局限于当时的能力，对大规模的历法计算，使用算筹计算三位数日分比计算二位数日分更困难，以至于当时官方有“不能为算”的说法，而要调用“民间治历者”，因此当时邓平选择了使用较为方便的81日分。

此前未改历时，汉初人又是如何计算的？