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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 319| 评论数: 7|帖子模式


, A( W1 N, y, p" T) C1 ~- x1 S. [缉古算经
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上辑古算经表
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, f2 X; s+ v# \8 r& N1 R  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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( g+ p" I5 j7 V+ r4 m缉古算经' \( t3 @( U! H4 o
, X% Y1 y; W. K6 M7 B+ D
  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)2 L& B( k6 Z; f
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
5 g& n8 o# Y0 J6 _  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。6 q0 q* E$ Q3 j2 S/ i. A
  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43

7 ?+ j! x9 S& t6 m答曰:
  U9 o1 @" X8 u! j6 `/ e  台高一十八丈
6 V+ v( }% v- M* y* W3 H* p% c& H  上广七丈,5 p4 c9 i% R% w' g6 _) Y
  下广九丈,
& d! O0 S! x5 V3 t* |  上袤一十丈,9 K$ ~, ]3 f0 ~- @1 U* x
  下袤一十四丈;& N  o& G( w6 q. D1 V+ C
  甲县给高四丈五尺,
  x7 ]6 H' Z/ t  c8 b- N& A  上广八丈五尺,
4 _* I3 ^1 m+ F) |! }) X  下广九丈,
% Q9 `9 f* ~. O2 f  上袤一十三丈,6 C) b4 |& `* q7 l! {
  下袤一十四丈;" l( r: N$ Z' c7 u0 N: d" D
  乙县给高一十三丈五尺,
7 I' o4 c9 B. R6 o% R  I  上广七丈,- [% F' @) E- c$ b0 R7 Q
  下广八丈五尺,
3 e" H+ p- r7 _# y" |  上袤一十丈,
, |; u! R* f  I( `  {4 {! V9 h" y' \  下袤一十三丈;
0 n# ?* Z3 _; |( t# U2 {# `  s  羡道高一十八丈,5 }7 K( ?) k; M4 n3 j& w& i
  上广三丈六尺,8 f2 o. e5 }& N) y/ _
  下广二丈四尺,9 \0 P, D$ |7 b5 _- G& S* {5 [
  袤一十四丈;1 v1 h: k$ Q7 Q1 b3 }) Z" ?" `
  甲县乡人给高九丈,
) ^; R# u5 b( U/ d  X* p  上广三丈,
; \1 S' ]* N. R9 m7 |( B7 J2 I  下广二丈四尺,
  j9 k$ A9 z8 E7 ^0 P: Y  J% s- S  袤七丈;
5 D" W1 H4 C5 e- @* N# x" \  乙县乡人给高九丈,
) r. d" N3 |. u. B% H  上广三丈六尺,
5 a! Q- g- Z& \% o  下广三丈,# s- p) U: j- I2 o) H' ?" I9 U* b) E
  袤七丈。
8 Y/ N! A4 a0 d# [. e" {% z  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。
1 x# h6 D( T6 |0 ~+ o( E+ B6 A4 |  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。
) B% x6 c' U. V% Y% z+ [  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
; P3 W, x% h# J. w5 d9 ?7 [- \+ T. P1 x  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
& w+ J, G2 E0 [  ~0 R! V) D  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08
3 U# u! T3 w7 n+ A, I1 b8 X3 P
答曰:( c# f9 m( E% i. i$ i# X8 K4 J
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
5 k+ X7 Q1 D7 b+ l  Y% R- z  西头高三丈四尺一寸,$ i1 M$ o. I( o9 B: E1 Z
  上广八尺,- G( C% i# W7 l( l8 j
  下广七丈六尺二寸,) {; n. i1 g0 Y' [
  东头高三尺一寸,
) [  K! e" j9 ?  上广八尺,
3 p3 p! I8 K- L  下广一丈四尺二寸,  M5 p. b3 }) ^' A+ b' e
  正袤四十八丈,
4 V* t& U/ s5 n/ u7 y  斜袤四十八丈一尺;
6 @' t/ ~9 ^+ Z- f9 d  甲县正袤一十九丈二尺,
* D0 B# W( {; }" d6 ~6 d; `6 D8 v  斜袤一十九丈二尺四寸,
+ K: j1 ]  t0 D! m  下广三丈九尺,6 ^5 L8 L9 k4 i. D3 C" R
  高一丈五尺五寸;
- H) }0 M5 H! h$ y% I1 _  乙县正袤一十四丈四尺;: Y$ a% V3 M8 N! W4 g
  斜袤一十四丈四尺三寸,
0 D7 i- j+ S' d# ]0 [5 Y  下广五丈七尺六寸,5 E$ c9 S* U/ ]3 `5 P  w, s. X
  高二丈四尺八寸;! m8 E- i8 b  P$ K/ l. J
  丙县正袤九丈六尺,4 S. g; u4 ~9 Z2 K
  斜袤九丈六尺二寸,
7 Z4 [- A; P, [) i. P; e' X  下广七尺,
+ s+ S. _. x$ a" P: K/ c' R  高三丈一尺;- _5 L+ Q7 ~* D5 E; ]
  丁县正袤四丈八尺,8 z3 d0 q, Q- N; Z) [
  斜袤四丈八尺一寸,
/ ]) F: C" @$ h7 ^: Y$ @: h9 Q  下广七丈六尺二寸,
1 r0 m5 y9 g' w  高三丈四尺一寸。
# g5 F" h0 N5 k6 K# }  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。* {1 `# {) [4 ]* R
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。7 ?& s3 m( X: E( {8 o* l  w) {0 s7 K
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。
. g7 X, z# n  a+ Z3 @- M  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。- M2 n! W: V+ x* j! p4 o
  答曰:
* v, K! j. @* C7 x; c5 x! D  高三丈,
/ t+ g8 [% S. Q0 D2 I  上广三丈四尺,8 B  q0 m" O( I  M$ G& N  B
  下广一丈八尺,* r4 K, `% M& e! y; S! q
  袤六丈六尺;, d4 f% W' X4 S/ ^
  甲县高一丈五尺,
2 q( G& e, G7 m4 Y4 |  袤三丈三尺,
% ?3 }6 a& e+ n  上广二丈一尺;% Y6 R6 q- E  W+ c6 D' i
  乙县高二丈一尺,
3 r' i) F' f: H6 o- S  `0 ]% R  袤一丈三尺二寸,; h; Q) c' b  Q" Y7 d4 w
  上广二丈二尺二寸;9 C; C9 K  N7 m+ |) M( d* _3 \- S4 j
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,
3 M- i6 d' U* r' H) a) K  上广二丈四尺。6 K* e3 ^4 B7 R" v  Y5 e. M0 @
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。# E4 s, P3 N3 B, z  K
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。8 d0 V# d5 h3 ]. {/ P& c  l& m
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?, ^* D1 c8 B( |  @
  答曰:0 X3 q1 e3 F9 R+ V- u. t* ]
  漘上广五丈八尺二寸一分;' g/ [0 H: t* }7 `
  甲郡正袤一百四十四丈,
0 y; W; u4 ^- [, y  斜袤一百四十四丈三尺,
4 ^1 _2 K  z) t) ?; o2 d6 Z  上广二十六丈四寸,
9 K! W. F5 J; }9 `+ L; A  深一十一丈一尺六寸;! E  g5 L8 M: T& t4 ^% x, a
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,( N$ p, w, x& a6 Z7 k
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
; Y! @. j8 F/ a  上广四十丈九尺二寸,3 g1 _* R( C* |& s6 i
  深一十八丈六尺;
/ o9 E- H" a& P5 E) q  丙郡正袤五十七丈六尺,' `$ O3 I: l, ?$ v1 v4 H  N
  斜袤五十七丈七尺二寸,1 h# U. R% G6 a
  上广四十八丈三尺六寸,
# A/ Y9 x) B$ O" S9 C5 q- G  深二十二丈三尺二寸,5 y+ H  e% Q  l5 W! G4 ^  p7 a
  丁郡正袤二十八丈八尺,/ N6 W2 J4 e0 ~* ]
  斜袤二十八丈八尺六寸,6 Z6 I) k# \% [
  上广五十二丈八寸,
/ ?# V$ ?3 a' S9 e" U  深二十四丈一尺八寸。
1 C% m) @; P2 s# {6 l+ l
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。
+ {- B) b1 G' x- m1 L$ h  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。/ w- _4 r- X& [1 t! P( x% {
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?* h! W6 R8 J- u6 Q; m* A! G- i
  答曰:
) E/ ~" ^: C5 s0 m9 B# r  窖上广八丈,/ v$ k4 s" w4 n
  上袤九丈,
9 ^* y- K7 H% o% u+ y( c+ c' J  下广一十丈,+ j2 P% ^0 ?" s  n
  下袤一十二丈,( k) E$ A6 [; o/ G8 Q
  深三丈;/ |6 i8 h8 `9 L% k# d8 x" e
  甲郡八千七十二人,) v) ]& G- o& f7 j
  深一十二尺,
' O  s4 N2 x5 s# s$ [& [  下袤一十丈二尺,
% z  @3 |( ~( z8 j- C) o  广八丈八尺;
" U$ P2 A0 M# w( i) W  乙郡七千二百七十二人,2 D. ^4 R3 p3 ?) p
  深九尺,; ?; h9 t: N  r$ p7 w6 r$ _
  下袤一十一丈一尺,0 |5 E$ `1 F" i
  广九丈四尺;7 Q) G+ O( c7 r7 X
  丙郡五千四百七十三人,6 o% |/ X1 `% Y5 B
  深六尺,下袤一十一丈七尺,
" }: K2 t/ U; J8 I$ V- m) \8 D  广九丈八尺;
/ y: y+ b! H* y7 }; R" b  丁郡二千九百三十三人,
9 p1 e% Z- x' z  深三尺,
8 [% _6 \$ k0 X) V$ G5 l! J0 ?/ ]+ j  下袤一十二丈,) r  {) Z' f5 ]% s5 V0 ^
  广一十丈。
6 k- W6 S1 [4 c. [7 [  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。; d% ]$ K0 m: y& e
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
" p1 }8 y) n1 v/ R; v! F' e( @
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27

6 g0 R6 J! c7 ^假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?# N0 `  v0 w- [  w* l
  答曰:+ C4 D. j! ?$ X; q
  上方三尺,) u& O; D; H1 s: b( i
  下方九尺,
; c; l: R& [5 H  o  高一丈二尺;
3 Y9 E9 r$ g+ R( W9 U- I  余粟深、上方俱六尺。
9 f: f7 `6 e$ N* K  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。5 p/ H. Q; k  S( |( N
  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。1 b, r# o1 X. a2 N1 L, U- J9 c$ N
  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?
' M% H( @6 }3 e2 _  答曰:8 r/ D; ^5 v1 f9 p2 C6 q
  高四丈八尺,
6 ~* w: |) {- }& J1 |  x8 h: Z  上广三丈六尺,
# X: q" U' T6 o' c* m5 [  袤六丈六尺。
( |( c, Q% }6 c  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
& D8 Q1 i. d% k5 H( i2 w  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?
. X8 Y: L, `4 ?  答曰:
9 V: Y/ x) C9 J$ J7 }3 {5 {4 `7 b  一周一丈八尺,  H+ c; }2 A4 c7 M$ h) r
  下周三丈,
4 s2 X8 V% N( X  高三丈六尺,5 ^* N; w, Q+ e+ L3 ?
  去口一丈八尺,
' Y6 z( C$ ^  _  粟周二丈四尺。5 q6 W/ z+ ?) C- H
  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
; d3 z1 F9 {1 X7 d0 o0 Y  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。; @% X/ @- _' z- e
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?. t* y$ Y* D0 s
  答曰:
& Q1 v' P+ H0 L! V: _- A5 j  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),1 P1 l$ A$ V- Y) G2 k
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),8 {/ I1 @7 T8 ?. `- b  w2 T# t
  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。  x7 E6 B7 I- G6 f* B3 w. l* i" v
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。$ Y2 g  q. R* N* R" X! L, t
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?% M. I5 ]- P# F( q3 h# ]3 T  a  i. h
  答曰:- ]1 U* u' ~1 v
  方一丈八尺,
2 F, f3 k; e. @  高深一丈三尺,' o2 w, y) o7 T& C: j- ]  C
  圆径二丈八尺。2 |# |8 r& t6 M8 W) Z, z
  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。
& T! p. Z' ~1 M1 _# h, H  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?8 P3 C( h& m2 i$ h
  答曰:# I4 c" o+ `' g. U5 I' w$ w
  方、径各一丈六尺,
: A' Y8 l: ~: |+ E0 b- J' T  高一丈九尺,: I" F( M1 m. _$ {' k/ k1 R
  深一丈四尺。
( {9 x0 G0 `  B( e1 c  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
# J# O# V2 b9 e6 C  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
$ o8 X% L: m5 N! r9 |$ s7 ]7 e  答曰:
) b, X& H9 [. x9 X+ O8 ?  上方、径各七尺,
! h6 F4 a! m. B, }7 s  下方、径各二丈八尺,
; ?. y) e! v7 x9 E6 p  深各二丈一尺。
: ?+ I1 m. a& l, v  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
( `, j; t+ L/ u6 |# N2 Y
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17

4 t: G' r2 k/ \8 g/ q% A0 ?假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?7 c9 z) q! S' _5 c* y0 [0 ?+ `
  答曰:
9 {0 h/ k  B2 z( b5 I+ o  方窖上方七尺,
* ]. J, {+ O: ~: N  下方二丈八尺,! G2 r, k1 b4 O6 ]% u7 T
  深二丈一尺,# K7 b) L* I$ c
  圆窖上下径、深与方窖同。
" m9 S$ [% M& G( A# @: i7 J2 U7 D  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。/ w$ C6 j; y% s
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?' m( B# c6 [' Q5 a& d0 e; {
  答曰:: v' J3 A" @' C
  句十四二十分之七,
8 E" n0 T" S* `/ w/ k  股四十九五分之一,
4 t/ L5 t0 w7 s+ r8 w  弦五十一四分之一。$ G- @7 I* x7 T/ k4 |" B* n
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。$ A1 u! W3 m2 \) s8 ?
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
- U4 c5 W( o8 g  答曰:弦一百一十四十分之七。
: k/ ^0 q1 f& a  a3 @  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
& e% a! O+ @- D) R. G4 f* I# d  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
, `" `0 {' r* S- o" N) e  答曰:九十二五分之二。) R7 ?8 E, t+ [! ]- @7 h
  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。( D/ L6 @- U- L2 j& |2 d* Y1 e
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。
$ Y7 w. l& ?) L4 e" ~  ]% B  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?  b+ F. j) x+ @0 }  o! {
  答曰:六十八。8 H% [0 ~" ~1 S5 c4 E
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。! U1 Z/ s+ o/ z% [
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?
- O6 f+ I% @* y1 a3 W/ S( Z: x' H6 }  答曰:股二十六五分之二。1 ^+ L1 {5 H; k
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)! `- _9 K: r* a! R' b
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?+ _2 J) j9 o  r* W9 h8 h
  答曰:句八、五分之四。# M0 f+ T2 I1 y; x+ a
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。7 w* Y5 K, n; h+ @% B
  k% ?+ I. E- I& P/ r4 }# b/ [/ t/ ^
缉古算经跋' }# d( m! ]* ?9 W, G7 m

: Z, Y: A# L0 W7 D. a2 v8 C" |7 u  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。5 K' y- ]+ c4 Y0 _5 _/ x) {; {
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康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
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