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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 141| 评论数: 7|帖子模式

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缉古算经% C0 d) U! ^, ?8 J
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上辑古算经表8 Y, m4 G- F1 |* ]$ W! ~3 Q# ^

% a6 ^8 i: J$ H' l  I( k' m* U  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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' Z% L. S) z- H9 z缉古算经
4 I+ B( G# P" k, `1 |+ [9 N7 x( a5 F% f* C4 p, V9 K/ D2 p: c" Q
  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
% _+ y! q6 A: I, Q! d3 [+ m( L  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
5 l& S$ o4 P' F- ^! A4 }8 s" A6 E  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。0 B2 E0 A9 Q& N* r) |  {3 m0 N
  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43

' ~( U. J4 l! N9 Q答曰:2 W# y$ s; w, w: I% J4 H
  台高一十八丈
* O+ Z0 v. `0 J% e& `  上广七丈,
0 Z$ Z, F- t3 m$ l  下广九丈,4 S3 j% J" I- o/ g# D
  上袤一十丈,8 L& q& {& [* p0 ?* T4 J3 O
  下袤一十四丈;( \" t; P6 u" E, ?
  甲县给高四丈五尺,
( {# K  F9 T. b$ A0 i% ], _5 T  上广八丈五尺,7 P- ?$ f  o- A3 I4 z) f" x
  下广九丈,( w# R7 d% w3 j
  上袤一十三丈,5 Z# Q9 p$ Z5 Q/ S8 x9 D
  下袤一十四丈;
7 C1 I, c$ V  W  乙县给高一十三丈五尺,
7 a" J  P4 M' `( t0 v  上广七丈,: r6 _3 [" s9 k6 ~' D9 h1 y1 L/ g
  下广八丈五尺,# V' z4 l! T( ^2 U  t! c# V6 T
  上袤一十丈,
! q  }- C1 C. X/ A+ ^  [5 ]  下袤一十三丈;
% ~8 a3 s, A# h3 I, U1 _; J/ F! a  羡道高一十八丈,
2 a  w. P8 d7 ^. }/ V0 o' H; a  上广三丈六尺,
- v- Y5 y2 V$ p+ G  l  下广二丈四尺,) D7 {# t' h& o9 ^' K
  袤一十四丈;! H& h/ S& R, A$ N, t/ A$ ^9 a# o
  甲县乡人给高九丈,
- m, m  B* Y7 H9 l7 M  上广三丈,4 u1 T6 h% c. k: B% ^" S& P
  下广二丈四尺,; i; T$ T8 s7 |. {) T- p
  袤七丈;
* U7 y" p; h' _& j  @0 \- n" {  乙县乡人给高九丈,: P; w5 `; i( v; b5 `$ \1 q2 R
  上广三丈六尺,! \; |4 a9 V5 `" E8 w; k; m
  下广三丈,
% E8 i+ X& Y2 L  袤七丈。! K6 L# C' @9 l6 h: n
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。/ a. \1 a& R/ g; u! N  D, d, @2 t8 z; O
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。. J3 Z4 y2 k0 w' Q) a  I) w- B+ L3 z
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
; m6 H7 S: N( N  D1 q. B  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
3 |- i8 w* M& S6 i: E  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08

! v  ~1 i: e% t0 d( C答曰:* `3 s2 @8 F& @0 J5 N! `
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
8 D  N6 @3 s7 V  Z  `6 L  西头高三丈四尺一寸,
- P) B: X. |- O" P" E3 m  上广八尺," f0 W, V- {, N$ b8 @
  下广七丈六尺二寸,; N/ G, t' _3 _2 K
  东头高三尺一寸,
- _. w- C  _/ v  G% h  上广八尺,7 l; T3 N/ D2 x
  下广一丈四尺二寸,: y; w* e$ V* @) m) p
  正袤四十八丈,2 C5 R6 j. I. R' `' G- f6 `
  斜袤四十八丈一尺;
; K6 Z8 E' F9 q4 w& m4 q6 @  甲县正袤一十九丈二尺,, V1 M' R3 r3 B8 F* i% L# X
  斜袤一十九丈二尺四寸,2 m/ D* ~, O- a6 X- l* K/ a# z5 e# g
  下广三丈九尺,7 Y" u- q1 m6 a) I+ E: s
  高一丈五尺五寸;. r& R1 ]) v3 m% V8 ^  w
  乙县正袤一十四丈四尺;
' i2 f( F  k/ L/ @  斜袤一十四丈四尺三寸,8 E( ^) J! [( ?$ \; o$ N
  下广五丈七尺六寸,& V) A2 ~2 x, k/ L+ q& N0 }
  高二丈四尺八寸;6 k7 U9 F: t; ?9 q, F, z
  丙县正袤九丈六尺,5 k0 b3 ?4 e3 s' I0 m  }- e
  斜袤九丈六尺二寸,4 u+ {) H# M1 ]1 K( m
  下广七尺,
' t8 p2 ]% m! b) ]- X, x3 R5 T  高三丈一尺;
+ ]9 m4 w, r+ `. K# g  丁县正袤四丈八尺,$ H4 O+ R+ _$ N. d0 l3 E
  斜袤四丈八尺一寸,: ^; y4 d3 U) G! e2 Q8 r" X( [) Y
  下广七丈六尺二寸,
- C. b6 X% R; M' V: X% _5 Z2 y  高三丈四尺一寸。/ B! z4 W, J% D' F: F- v3 P6 ~
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。3 W+ k4 S2 S+ k- k4 p7 h
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。% l- \" Z" `3 N
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。4 K5 u. v/ v( Q7 c+ L( c
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
5 }/ P* p- o3 f8 @- D9 ]' n' E  答曰:2 `6 l; d. E. m2 ^
  高三丈,
: t/ W/ E1 x+ \2 h/ ?2 }# y  上广三丈四尺,
: I( `4 ^! B: b8 O6 e  下广一丈八尺,
& a; }3 w# P0 z0 \) [+ j  袤六丈六尺;
. M- {* l2 d4 L& H# I7 r8 a  甲县高一丈五尺,
0 q& Q; V" D$ I6 {' `  袤三丈三尺,2 V  H( y7 O# e# K, S7 i
  上广二丈一尺;( X* b, u+ z2 m3 E  w
  乙县高二丈一尺,
7 o% s' x7 h6 V( ~* ]$ u  袤一丈三尺二寸,
: c2 F3 |: \" w* q, O' R  上广二丈二尺二寸;
4 L4 ~+ H. ?- S( x/ d) V+ r  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,4 b3 E0 n1 K6 f- q4 p$ }
  上广二丈四尺。
: i: n# Q& n" j3 @% v- i) E* e! F3 h! a  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。
; M! H1 d5 U3 a1 ^: }  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。# M+ N. `5 |  v# i
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?- U, o& T0 j4 e2 N, @
  答曰:' B7 V4 `8 E; _# x. j  t  k0 T
  漘上广五丈八尺二寸一分;& |* c/ h6 e9 S6 d
  甲郡正袤一百四十四丈,
3 m/ I9 |) Y! g( A* ?  斜袤一百四十四丈三尺,
- V& N3 I- \! Q0 n1 T  上广二十六丈四寸,
; S5 y$ T( M' H3 j3 j$ Q+ [" e  深一十一丈一尺六寸;
: z: W! s( N; e  \  _  乙郡正袤一百一十五丈二尺,, P/ p4 `# e# }
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
" d4 a  X' B4 V7 X+ h, K$ l4 L0 `- K  上广四十丈九尺二寸,
$ ~, C- z: `: ?. F  深一十八丈六尺;
  r, f5 Q; f8 p& ]- |, P$ f  丙郡正袤五十七丈六尺,
/ Z0 ?* }+ ?7 z  斜袤五十七丈七尺二寸,
, Q/ J5 }, G0 M  M  上广四十八丈三尺六寸,
# U0 _" M, N& e+ _! {7 c4 P  深二十二丈三尺二寸,# a, t* c" i* n+ d, f, N" n
  丁郡正袤二十八丈八尺,* S6 m; t2 A! x' x6 T2 S
  斜袤二十八丈八尺六寸,
% Q& ?! P9 H( _: v& _  上广五十二丈八寸,
4 s/ ^- [6 Y6 r2 R- \4 m  e6 H  y' U  深二十四丈一尺八寸。. O; Z, p9 g* e9 _8 D2 I
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。% }5 L9 O' _; V/ p
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。" r. F, V/ S0 k' T( {
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?
4 U# y& A. e$ v8 `4 Y- D  答曰:; q6 @( p7 m0 `) P% G8 F$ d
  窖上广八丈,: l; D- Q) f& t  I5 @
  上袤九丈,
+ ~/ l5 x2 l  X  下广一十丈,
8 ?/ X3 @  Q& j; r/ w" x9 x+ a  下袤一十二丈,4 M$ t7 E2 d6 H0 P! t! n) a
  深三丈;' l9 v6 f7 @$ L. g; O
  甲郡八千七十二人,* l' `- {# C$ S! J) l# B
  深一十二尺,5 x2 J, T* j3 b* z/ M. [5 O5 Y3 ]
  下袤一十丈二尺,
# i' Z* _4 A2 z4 R1 u  广八丈八尺;
% Z( G% A4 Z2 R" T: _  乙郡七千二百七十二人,5 \5 Y! E2 A' J3 C5 {/ w/ d  l6 U1 T
  深九尺,
" N% `! n, ]- _- _0 ^  下袤一十一丈一尺,
# C: E& H" m7 y4 T  广九丈四尺;
6 l* n% ]* @0 e. r: a% A+ r  丙郡五千四百七十三人,
8 n4 ]* C/ H. U; S; a; _4 @  深六尺,下袤一十一丈七尺," G  b( B' G9 l+ F" o, z' g5 n# U
  广九丈八尺;
* G7 @$ r8 z4 C7 _+ A  丁郡二千九百三十三人,) R) K: {* V  \1 t" s
  深三尺,
7 \* l: F9 N0 G  @8 U  下袤一十二丈,
2 m" S# t- y9 c- j/ \6 w/ s% t  广一十丈。
1 |4 w: l: P0 L7 J  X  j  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。/ |' s8 y, h" H/ a9 e' n
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
8 f% S4 v* D$ g0 K& D$ Z
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27

8 x! b5 X% y8 t+ J( U& V8 q" H假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?4 V% ?# j% V" y0 H4 D
  答曰:
! g6 B4 |% R& t: S  上方三尺,
1 `/ r3 i. b7 |5 i. d9 n  下方九尺,3 e9 ]# t: }; n) d7 P. o
  高一丈二尺;
' ~5 {$ ~3 p5 U  余粟深、上方俱六尺。
1 b, v, M! p2 Y2 ]. o* i( a' D+ C1 m) v  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
2 t  U9 J4 i3 J- e  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。7 V3 O  U2 O* Q+ l! U
  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?
" k. q' o; e! k! g! z  答曰:
- i2 n8 R0 q+ F. S! g; K. H  高四丈八尺,
1 ^$ a1 z* w( R1 q0 {' ^4 z2 m  上广三丈六尺,0 ?* ?% G4 K6 o+ I, Y/ |% y8 M( n
  袤六丈六尺。7 Q# y: K2 c. u: ^9 ^! ~, _9 l
  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
; k' H' V0 ?- o7 ]' h' y0 X  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?4 _7 o8 N, b: ~4 W0 D/ T: i! s
  答曰:
0 s* _/ L8 r. e- h" I; O  一周一丈八尺,
, _' j) r. ^8 B8 L- x  下周三丈,9 W4 K0 T" A! f8 Q/ H
  高三丈六尺,5 x) O4 m) b) O2 F$ [* |% ?% u' v
  去口一丈八尺,7 z9 ~" e% G  ^  Q/ r
  粟周二丈四尺。
  @: G+ U" M+ L# P; V  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。) y* P7 m- V9 H) V* r
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。) h! L$ T2 ^8 h* d! Y
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
5 K3 h5 ~6 u0 z9 L+ _- s6 i3 {  答曰:
; D, w" |4 B7 U7 I  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),4 g! C( K4 L: G3 z6 G
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
( z5 f+ G5 s1 E2 `/ V4 W: g) f6 {  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。
9 r& V: {( a. W! E! b8 L( H) P  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
' @: N! ~8 g2 [3 f  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
* p5 V$ A% s) k) y6 t  答曰:8 u7 ?9 |5 W, K1 {& w# h
  方一丈八尺,
0 y5 Q, J. ?8 f/ p8 @8 s8 g  高深一丈三尺,
1 p2 V: @% O9 E/ z. Y+ y% }, C8 N  圆径二丈八尺。
8 p: Q0 n, G' Z( j$ k; B  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。
# r* N' N, F* R; ]' ^/ Y$ E6 A  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?
- h  ]  u& t% w: p9 I$ A$ k* o  答曰:: A# S# T% a; q
  方、径各一丈六尺,
( ]0 W6 ?  D$ S  高一丈九尺,
5 E1 b7 }$ R2 x; b) Y4 Q7 C  深一丈四尺。
( Q4 [8 O) T1 U, ]; K3 {0 ~: W* w" w; N  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
9 F- h/ @2 {) J  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?- c5 w1 j5 F3 u4 C% J( ]$ w
  答曰:
9 v. p% ^9 ?2 E  上方、径各七尺,; N) ]9 [& {  R3 ?# ]* D; p- L
  下方、径各二丈八尺,% j& P& M9 O6 x; ~: h0 L' }, Q
  深各二丈一尺。0 t7 ~+ I2 o+ }3 A, `
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。1 [* B7 T# ~0 }! G& D
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17

; T6 ^2 I- m, d3 t% h' W- v假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
6 I8 _' q1 Z6 @; Q7 f3 b2 e  答曰:; l$ W* g7 W7 Q9 N; O; f
  方窖上方七尺,
5 \3 m/ S8 l4 n* s- l/ F" N3 g  下方二丈八尺,7 a8 i. S& b: E3 N8 ~, Z& A5 w
  深二丈一尺,3 q* |( Q! i. X7 E
  圆窖上下径、深与方窖同。7 ~- @; c  _) ?  k' z5 [/ j
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。& R7 m6 d  O( ~5 i
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?3 U4 `+ P: Y* q. m9 `2 ]5 f
  答曰:
& I5 G& z+ f% x3 d. Y  句十四二十分之七,  c- |( Z% n( v+ ?" P
  股四十九五分之一,
9 H7 K' e. K6 d  弦五十一四分之一。& o' e2 u( H0 a& S) ~1 X
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。
* x+ r8 A, f1 F% n8 T- m1 ]  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
& j- f" |7 K/ V6 k* s  答曰:弦一百一十四十分之七。! S7 r9 a- |) v; h
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
+ A7 \) _, w/ P  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
) K% t5 ~. W. }; `  答曰:九十二五分之二。
5 H) V0 O& L' @- a9 K% J1 B  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。6 u5 y% u& Y9 A' Z- |
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。9 d! N  C2 U* V
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
2 z+ b+ i* s! ~" ~. e# p2 y9 @  答曰:六十八。
' A! Q' p4 @: l; O) i  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。% p3 z3 n$ {1 x0 f3 Y2 ]- M
  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?
* |! q* z" @/ z( }: |  答曰:股二十六五分之二。
& y' D/ U0 i8 |4 |: w$ a  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)) g3 b% K& l8 `8 \* R
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?
  N2 {" M# z$ v4 }* Z$ i* ^6 A  答曰:句八、五分之四。
4 x5 n, H, ^0 i6 k  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。3 X; t. J/ O! _& r( w: {, r

- |, A& o; a3 C% ~0 B缉古算经跋3 U' ~' M& S$ d7 b
4 l9 X' c$ f8 O% |# Y
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。4 E: T+ V* Y* }; r3 X8 B0 ~' }
9 v- u2 A8 b9 l8 {
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
5 V' W/ ^( q+ K0 g
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