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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 455| 评论数: 7|帖子模式


6 F7 w; z  v1 @+ t3 l: U' A缉古算经# F5 F# m0 f8 y$ i8 u" ~

. n% d: @8 i9 _% j; Z上辑古算经表  `* v0 o5 j( i: o% w

; i* D6 ]* I6 G( B& H( v  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。8 a) S3 x" |& d& X! ~
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6 a# Z( M; u  n- r) c- U
. J' x" V. h- u4 m' w$ c# B9 |缉古算经0 K1 h! x4 b) u' G( T

& @0 T& b2 I6 D5 Q9 c  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)) z7 [  |; w1 Q  E0 L
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
0 X( O  s* X# m0 e- I8 w  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
7 _. s& w, ]( N) _! Y. m7 b# X9 |- ]  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43
) D, ~  D# |- }) i
答曰:
6 s3 L/ E8 d: n: v  A0 F  台高一十八丈
: G0 o+ c( {. O" ]% T  上广七丈,
& `6 p; E1 o2 i( \  下广九丈,
2 p- @% Z3 N' Z  t9 N! P  上袤一十丈,
2 c! j; N" f$ m" }; W  ^7 I' d  下袤一十四丈;
  R7 `' c2 C2 F) }  甲县给高四丈五尺,1 ~2 `2 n' y+ l/ E" X7 E" ]( I
  上广八丈五尺,; P* Z4 k5 U2 i5 h
  下广九丈,
9 v- I6 Y! X# }  上袤一十三丈,
- _  E# u* D8 I3 B$ q, b  下袤一十四丈;1 H  h, i* B) J
  乙县给高一十三丈五尺,
: y- \  [5 n1 h. c# E$ ]; x/ I  上广七丈,
+ z) k: f7 r% w1 S( \( |+ X8 q( d  下广八丈五尺,: F( q0 S1 b" H- @/ N& K8 ~! x
  上袤一十丈,
8 E* i+ U! d+ F. Y0 G2 y! E; C& j  下袤一十三丈;& u3 P) w/ w$ z6 G; Z) d$ ]
  羡道高一十八丈,' g9 y5 c$ W+ M( O5 W! I5 B( p( V
  上广三丈六尺,! Y+ _9 O3 k' R+ D0 g0 Y3 {
  下广二丈四尺,7 D* h1 z4 h: e( I8 u- i% L+ K8 @
  袤一十四丈;
9 q9 Q. l5 I7 X1 s, d! A  l8 Y  甲县乡人给高九丈,
" D. G4 Y* l6 T9 A& U( R0 s9 b' i  上广三丈,$ f2 L3 G# _0 @2 }5 E4 w
  下广二丈四尺,, B  l( _: b  V& G1 a/ i: x
  袤七丈;5 w1 T9 o( `, h/ C
  乙县乡人给高九丈,8 t2 x7 ~9 W$ f# ^
  上广三丈六尺,4 p  T% R* Y4 w9 B
  下广三丈,6 e# r' A9 x. W+ A8 U
  袤七丈。8 l! o8 g( A3 |5 q9 ?* ^. j. p4 E; O
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。4 L9 `/ Q; X5 [0 V" G, X) L# Q0 J
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。
# z% C8 ?* y' t2 M  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。
/ _- ]! \' \: J8 n6 e. Y  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
; D7 c. `3 |" w. E& `5 Q7 ^3 g  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08
1 o) v" ?( [# O
答曰:0 R, F# x( r' ?5 s6 q; E
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;; h' G# _0 K% c: |# s
  西头高三丈四尺一寸,
. f% }1 a  ?- R( t6 U# l+ p  上广八尺,
) J$ d+ M  f, c  下广七丈六尺二寸,
5 y. q* l& n$ M$ o3 M; q7 C  东头高三尺一寸,. @! w4 ~- e1 f1 u  [" _9 l9 p
  上广八尺,
; V7 Q2 @% M0 s# f; h2 K# u  下广一丈四尺二寸,6 ?$ O# O/ K0 y# Q# c% `
  正袤四十八丈,+ p3 p) A! f0 p0 G. I
  斜袤四十八丈一尺;
# m" R' E  \; h: ?7 p5 H  甲县正袤一十九丈二尺,4 H4 r+ U" {$ L8 ~0 S' s
  斜袤一十九丈二尺四寸,
5 V4 M7 o1 |) c2 S( `  下广三丈九尺,
5 ^" U- E- `$ C5 A$ C3 D$ T  高一丈五尺五寸;
8 a9 c/ j& h2 t. M& r  乙县正袤一十四丈四尺;# \) q$ [# |  B) V# n- v! S7 k
  斜袤一十四丈四尺三寸,
) C% E* z2 \/ T$ a9 \; E  下广五丈七尺六寸,
3 E- e8 z) b9 l! p1 q  高二丈四尺八寸;$ k( p% n4 t7 O4 D$ ?. e0 e3 d
  丙县正袤九丈六尺,/ _" }9 h/ `& i2 o
  斜袤九丈六尺二寸,) ]2 }3 J( V4 q8 K% C$ O5 k, i
  下广七尺,
  d" A9 ]5 Q1 l5 o5 V" r+ S  高三丈一尺;" ~7 B% [" y& h2 s9 v# D* f3 }" e8 Q
  丁县正袤四丈八尺,
& ~2 l+ q! c4 e. `& Q+ Y+ B- p' r  斜袤四丈八尺一寸,
  |. F2 K. z6 D$ ]; I  下广七丈六尺二寸,6 s# a3 E/ O" p
  高三丈四尺一寸。
) J5 q) w5 G2 ]* C# n9 T" ~! C  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
4 B  l1 r9 U8 e3 [. t  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。/ Z9 x. X) H/ o. R, R( \- x
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。
9 l! J- G' ^/ Q) W  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
0 I2 Z: k7 P  ^: q. F5 [  答曰:
; G* y, H, n3 H9 G9 C  高三丈,
6 z3 y; H5 Q0 o$ a* C  上广三丈四尺,
  J% y" a4 Q* X* |! P3 z! n. F  Z  下广一丈八尺,5 }5 z9 S0 a5 G% @9 N
  袤六丈六尺;
" V. |& O9 l6 Z3 k  甲县高一丈五尺,' ]) Z, R3 w! x+ A6 u2 X
  袤三丈三尺,
2 b5 ?/ ^" p, D8 _  上广二丈一尺;8 I0 t, w1 Q! e! N  B( S
  乙县高二丈一尺,
! ^1 Q0 A' l0 D7 z+ {; I8 k  袤一丈三尺二寸,: d$ @% p  |% q2 U
  上广二丈二尺二寸;- U( g6 P6 ^) N, a# j! J. `
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,8 d; Z+ p2 b, T' y% B
  上广二丈四尺。5 [8 B  ?% A! a* r8 W3 V
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。
/ j* q& v6 f6 F4 J( p6 Z  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。- a% f5 m2 Q1 w0 F. n" j
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?
" _) j- _5 x+ U- A7 E& D! i1 e  答曰:$ X0 V! t0 ^, l& j) ~1 M7 ^
  漘上广五丈八尺二寸一分;) p6 s* K5 I; q) o! o
  甲郡正袤一百四十四丈,
3 U) Q' Q, r- ^& O  斜袤一百四十四丈三尺,
, e1 q# e5 ^  P/ x) V  上广二十六丈四寸,* e( d$ G8 b! Y: W5 [& h
  深一十一丈一尺六寸;# \1 c9 X& o( b2 {& B, o
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,( a( Q/ ?0 ?" \6 H# q, Q) f- F
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,
! _9 e- N5 ]5 X7 {! D  上广四十丈九尺二寸,
4 b9 g0 e* g$ P  深一十八丈六尺;
1 g( H0 [- ^/ J, m: @' l' m  丙郡正袤五十七丈六尺,
2 L# Z" Q! H& H& U  斜袤五十七丈七尺二寸,
3 x+ _- y: e. \- d  上广四十八丈三尺六寸,7 t4 ]$ p* @9 y) p0 x/ _
  深二十二丈三尺二寸,5 S4 E: t# G' [* v0 o. k- e
  丁郡正袤二十八丈八尺,4 K7 L2 r) a* a1 R- e, E" f! P) k
  斜袤二十八丈八尺六寸,
! N; i6 y4 C6 B  上广五十二丈八寸,
4 C  N) V( m# H  深二十四丈一尺八寸。
% N% `0 c8 R& V! w
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。
+ o2 |$ K! {  r( W; o" Q  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。
* ]( j5 ~. `. k  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?+ x6 B7 y. i% D3 B* e
  答曰:5 t) J2 ^; Q; |8 ~
  窖上广八丈,
# Q* ~# {. o2 K  上袤九丈,9 k7 N1 O+ \6 C+ M. z. M1 }% @0 `
  下广一十丈,& _9 Q! ]9 ]* a8 E5 N- d9 }
  下袤一十二丈,
7 {$ [; d  J' h! k) X+ r& d  深三丈;
! Q9 V! S9 Y( n0 Z$ M8 [  甲郡八千七十二人,
) V' e+ W, t; w6 ]  Z  深一十二尺,
+ _: d' l: D: G4 v  下袤一十丈二尺,
7 m1 x5 C% G6 G+ A# Q# i  广八丈八尺;( c( o2 K7 P, N
  乙郡七千二百七十二人,' k' G) f5 H; z9 H1 s
  深九尺,
, z: i2 n5 ?* z6 H$ S  下袤一十一丈一尺,
1 `) N5 ~2 g: I) I  广九丈四尺;& b% b, b4 [: s3 q& {
  丙郡五千四百七十三人,6 }3 `& h# g& g- m6 M) i! F
  深六尺,下袤一十一丈七尺,
1 X* G" ~8 T% t5 \  广九丈八尺;* c  Z) G% u5 p1 u" d
  丁郡二千九百三十三人,
" y3 r: K8 \' |' d* N  深三尺,
) b- \% [  @+ u0 y. Y  下袤一十二丈,5 r" q8 O5 q, P( J3 r8 l. q8 C
  广一十丈。
3 t* O; P6 v0 z3 \3 ~/ A9 u  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。+ l" U: n2 @% f/ Q
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
; U9 i- x/ I9 p9 U0 a- K' a
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27

# D4 _$ }2 q* S假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?
7 p$ t( J- A4 V$ o2 F% T- |  答曰:
7 ]8 ]7 C: e9 l1 g- N! a& p& L+ k- j  上方三尺,( M: {' I  ~9 F8 Q& I- j$ v
  下方九尺,
6 N( T: ?: r" W7 i4 v& A  E: T  高一丈二尺;
$ U9 Z6 H" j' K2 F% S/ }  余粟深、上方俱六尺。
4 B1 r2 J  y; e: e5 Z  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。3 n2 g) K) e" u
  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
9 C. @% _0 A) d  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?" q  c% C" k. _4 [2 ^) ^2 H
  答曰:
2 j2 F* T" w' z7 M( s7 J4 H% ?  高四丈八尺,
( O+ a+ i; H" }0 R  上广三丈六尺,
  f4 N# X. ^! z: F9 X  袤六丈六尺。
# U% f4 y1 i' o( A( g3 ^% k  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。) ^% G6 x) E3 @7 p7 ?4 n6 @# [
  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?5 g6 a/ H: g$ u! b7 y( q2 o, K, H
  答曰:
5 r8 O3 ^, v! a" ~' B: P7 [) y  一周一丈八尺,5 R& y3 l2 |+ H7 [# Z1 ^* [
  下周三丈,# V$ {( q2 p( g' r
  高三丈六尺,
) G9 y# z$ l( t( [+ O$ M  去口一丈八尺,
- x2 Q7 F/ s' d) n$ u  粟周二丈四尺。
; A- J  v9 B3 c4 S( s) g3 S  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。1 K8 s, H) g3 N* w
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
5 |+ O7 E$ [! r  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?6 m* q) H* f3 V( P+ z; S
  答曰:8 V9 y! x1 Y' J1 y
  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),9 s# `3 y! `6 k* z: ~# }) M, e
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),; R" d# L$ o" e" C1 O
  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。8 O# o% e% J; F" A9 [
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
5 l4 \( B. E; u  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
5 L. G" c1 `* e% }! `  答曰:  X, a. S* G2 Z1 L3 K1 e
  方一丈八尺,$ v( K/ `! F( C  v( \4 e
  高深一丈三尺,
* u$ h- b# U( N. V& `' H8 E  圆径二丈八尺。
/ o+ F) L' f0 V! J  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。( \9 r! W$ [$ Q! V2 ^9 \7 _
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?7 x/ z$ a% G' o5 M" N
  答曰:/ `) _8 b6 n% y6 b4 w
  方、径各一丈六尺,  T' r3 X% @3 H- O+ j: S
  高一丈九尺,
% }+ R: v4 X2 F/ [- o8 J' D  深一丈四尺。
- k. e8 F( n9 v  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。" B0 C( P8 q' B3 n/ j
  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?8 ~' z' _) p3 h3 R) d) M; |& ?
  答曰:
6 ?0 W. C/ z" A# G' a2 X3 D: {  上方、径各七尺,' n/ z5 |( T6 Y
  下方、径各二丈八尺,
8 N* Z( @$ A) \/ S3 M& C% L# @+ N0 e  深各二丈一尺。
0 L. ?7 c( G; D0 D  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
  Z" s/ S* m+ h. ^* x
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17

8 U# f+ G0 M* m8 @$ B, x( B假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?! c" w2 t; |' d1 C
  答曰:* n: g- ^3 |9 p, z3 L' G# G, s( O1 X
  方窖上方七尺,1 j/ v" T4 k# U3 S
  下方二丈八尺,) [% _5 b/ L: T4 U! f0 `0 l0 J
  深二丈一尺,
& ^( w1 ^% F& f  |  圆窖上下径、深与方窖同。5 h- f% f2 y6 l8 c* Z4 g
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
& z$ }+ S3 P. P, o* y# |% U0 c  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?
; a, o2 }5 u' W$ _: }6 C! ~' A  答曰:
/ A0 `3 v- W' t  句十四二十分之七,! Q, {" ?. I& h2 C& o( b! |
  股四十九五分之一,# s4 B: l6 |- w. ?9 H
  弦五十一四分之一。8 M! V! P0 X. p- Y: T1 _* O
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。2 x- a3 k+ E1 \0 j" k
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
9 Q) q; b8 V% v  答曰:弦一百一十四十分之七。
; M* m* l' E6 W  a8 v. D4 r  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
5 @3 p" l* W: _3 V! v6 M4 u. Q7 J  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
& h4 t, q2 x( G) }  答曰:九十二五分之二。$ m$ ]  n7 X' }' _
  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
, a: v/ p. p$ y/ M' L+ W  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。! I. ], V8 j0 y4 R- a
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?& _, A, @  R; Z3 l" l/ D4 b
  答曰:六十八。
5 \' f' N/ Z9 U& t2 U6 E  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
7 B0 W5 S' l1 Y3 U+ W  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?! m' o7 z  H2 `% T
  答曰:股二十六五分之二。; i- u$ D6 C+ E9 J( i
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)6 w. L5 y( x' J( H
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?* O/ b9 q% f$ i' L% S
  答曰:句八、五分之四。- e: S+ |. }! i& S; U# E4 i
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
# x1 z" B0 W* k! K" J' {( q( |8 f* T
缉古算经跋& p5 A* x1 I& E

5 T8 C( R' f/ \, F9 F* y: K  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
" A( M( ]- z, ^5 E3 }5 ]8 Z* i0 E6 |: @6 v- k5 o1 f+ ^& P% e
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识! {9 A9 Q1 ?% g4 D
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