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1 e) q* N e9 v$ k9 t8 e) e W 答曰: 台高一十八丈9 ]! R" Y0 L* P4 V9 [ 上广七丈, 下广九丈,. x+ U X" s" N, S! y 上袤一十丈,% o6 T" e8 {" [4 D: @5 r: @ 下袤一十四丈;, Z7 O( i U: o/ K2 @ 甲县给高四丈五尺,, ~6 V7 W+ d! ? 上广八丈五尺,5 V2 v& s! n; p% w& }; E k* C 下广九丈, 上袤一十三丈,1 p; a7 \" F# o 下袤一十四丈;- x8 Y# d$ Q6 N& w 乙县给高一十三丈五尺,2 Q# Q6 t: C9 E' c1 H4 u 上广七丈, 下广八丈五尺,& i) N6 o6 y5 y: c" C 上袤一十丈,4 p1 s8 t( z5 m( |, I3 b7 q 下袤一十三丈;" ]+ W6 x; i% O1 C 羡道高一十八丈,+ }- S' s) Y) r0 E# L# ^! \ 上广三丈六尺,, u; a7 v& C2 e% N* g! X 下广二丈四尺,6 [$ a2 C4 I% K3 A 袤一十四丈;) n. [2 P' q5 P 甲县乡人给高九丈,/ K% T, R( m# b& c 上广三丈, 下广二丈四尺, 袤七丈;; b9 T. s' m: K% f 乙县乡人给高九丈,4 \/ |1 d& N2 I7 O8 X 上广三丈六尺,4 y" B4 w! s8 W. S 下广三丈,% q. r& ?# W; }; D 袤七丈。 术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。 求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。% r) }/ R: }4 I/ R 求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。4 F/ T5 N: s& ~% y0 [ 求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。 假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何? |
答曰:) `& f+ k) o) w" [' O1 i2 [ 一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分; 西头高三丈四尺一寸,4 r+ k- d/ a( M! R- [ 上广八尺,$ ]0 U) O0 x3 l/ L$ v% i1 t 下广七丈六尺二寸,+ p5 ~% f* Z9 n& w5 I% U/ d; L 东头高三尺一寸,# [0 s3 j2 d6 g5 e4 h 上广八尺, 下广一丈四尺二寸, 正袤四十八丈, 斜袤四十八丈一尺; 甲县正袤一十九丈二尺, 斜袤一十九丈二尺四寸,- D: H8 Y1 z1 [- X 下广三丈九尺,9 m3 M5 X! b6 V ~: J$ q 高一丈五尺五寸; 乙县正袤一十四丈四尺;" O2 H9 @6 p6 ]! h( Z5 r( B 斜袤一十四丈四尺三寸,+ G8 X' C, ]# ]& J* T4 }4 `" Y 下广五丈七尺六寸, 高二丈四尺八寸; 丙县正袤九丈六尺,# i6 L b; Z1 }) ?& _ 斜袤九丈六尺二寸,. `% Z- R+ e! j8 R0 y 下广七尺,% f; ]( B# `* w2 A# u+ ~# e 高三丈一尺;0 H! T# Z9 @: K5 j8 r9 f 丁县正袤四丈八尺, 斜袤四丈八尺一寸, 下广七丈六尺二寸,7 I+ j$ N" q* _9 O 高三丈四尺一寸。 求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。) r/ R4 G- K6 Z$ T/ G, u 求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。/ X! v- T$ I! J u3 q% o 求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。 |
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。: ]! p) T! Z+ K6 s. @9 b 假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。 答曰:3 H6 o e# ?3 }7 k2 ? 高三丈,& B/ J s$ ^- H+ C# Q1 m% V 上广三丈四尺,2 f+ I2 M& {. Y5 [ 下广一丈八尺,! M2 I3 }$ \& T' a% B( k& f# x$ \4 _ 袤六丈六尺;+ }1 ~0 u% ^- ?- y% V 甲县高一丈五尺, 袤三丈三尺, 上广二丈一尺; 乙县高二丈一尺,5 w) n4 v% f& z, C 袤一丈三尺二寸, 上广二丈二尺二寸; 丙县高三丈,袤一丈九尺八寸, 上广二丈四尺。! m! S! X; }" R9 I* d) Y 求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。$ `- E5 c, S% k) _ 求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。: i0 Z6 O$ E2 ^1 f+ V 假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少? 答曰: 漘上广五丈八尺二寸一分; 甲郡正袤一百四十四丈,5 ]" j: V. g' ~4 f0 E/ B- B 斜袤一百四十四丈三尺,1 V' F: ]+ E4 {5 K 上广二十六丈四寸,! v/ `) L7 B( o3 d 深一十一丈一尺六寸;0 Q1 S" L/ J- { 乙郡正袤一百一十五丈二尺, 斜袤一百一十五丈四尺四寸, 上广四十丈九尺二寸, 深一十八丈六尺; 丙郡正袤五十七丈六尺,4 f& }$ x6 G5 L/ j 斜袤五十七丈七尺二寸, 上广四十八丈三尺六寸,$ ?8 H: V; ?5 f 深二十二丈三尺二寸, 丁郡正袤二十八丈八尺, j) ^* u2 u+ y2 W 斜袤二十八丈八尺六寸, 上广五十二丈八寸, 深二十四丈一尺八寸。( W& K) q' G0 x3 E* Z |
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。9 P* o b* J7 N7 ~ I& i" B 求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。 B) Q' ]0 L' l0 h, T6 M O0 \ 假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少? 答曰:( x, g/ T3 _( q' C& ~ O 窖上广八丈,; i4 P: M2 Z. k 上袤九丈,3 t. O4 G9 L U) u1 E$ w7 F 下广一十丈, 下袤一十二丈,- t+ U3 ~3 y: h- y 深三丈;" J; @6 p8 U% w' H$ \ 甲郡八千七十二人,- d" `. E; f/ L. |/ q- ? 深一十二尺,# _7 K8 N8 m; K p& [! `" T/ y) g 下袤一十丈二尺,# d7 [9 G# Y; Q 广八丈八尺; 乙郡七千二百七十二人, 深九尺, U# I" F, m, c. R T0 H4 s& ]4 } @ 下袤一十一丈一尺,8 |/ }7 Q% B, P- ^+ I 广九丈四尺; 丙郡五千四百七十三人, 深六尺,下袤一十一丈七尺,/ n( y1 N5 O% B# S! O 广九丈八尺;; V; z% m: X" N5 u8 L/ I% c 丁郡二千九百三十三人, 深三尺, 下袤一十二丈, 广一十丈。 求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。 求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。, a- @* |. V7 _4 v |
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少? V# L# H4 C6 j; [+ Z% N- `3 A 答曰: 上方三尺, 下方九尺, 高一丈二尺; 余粟深、上方俱六尺。 求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。 求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。 假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?) l* w1 I( p6 `6 N" G# L 答曰:3 q. |' H3 L2 Q" n# a- N: G 高四丈八尺, 上广三丈六尺, 袤六丈六尺。0 o0 l; t2 ?6 E 求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。 假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少? 答曰:% C# S4 h6 G! x; I4 u 一周一丈八尺, 下周三丈,+ @, L0 u1 O1 \( z7 d; f# S 高三丈六尺,/ G7 X1 c: X1 x; k8 u! D! t 去口一丈八尺, 粟周二丈四尺。" o0 j- {$ A& { 求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。2 l9 M& d5 N+ x7 G5 E& @. Z 求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。( R9 d4 g# {1 r 假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少? 答曰: 仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),; I" b' w7 M8 N9 } 窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),# [ z: C: Q5 d4 h- x$ i( U 高与深各一丈五尺五寸。 |
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。 还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。 假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少? 答曰:' q- ~4 M5 I( X" Z! ? 方一丈八尺,4 t2 k6 x8 i$ @, a% f! C 高深一丈三尺,# w. e3 Z+ F; ^ 圆径二丈八尺。 术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。' h' W2 j/ k7 X/ |1 O 假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?1 U* Z8 f7 ~% |6 C$ n/ g: I. y( ? 答曰: y" Y; I! ~5 H8 j0 z 方、径各一丈六尺, 高一丈九尺, 深一丈四尺。 术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。; ], ~3 H* G! a# ?3 ?1 q T 假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?# O+ D+ j; ]) R5 m* u R% Y 答曰: 上方、径各七尺,4 a4 ^$ Q9 m/ O$ K% N! e6 `5 y 下方、径各二丈八尺,4 w1 z, ^5 h- W: P2 g) I 深各二丈一尺。( |. T) X7 c5 ]3 a5 }) }/ n+ e0 I 术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。 |
假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少? 答曰: 方窖上方七尺, 下方二丈八尺, 深二丈一尺, 圆窖上下径、深与方窖同。4 H! Q# w+ Y+ l8 U 术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。 假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少? ]( e/ X" t+ z- A5 j 答曰: 句十四二十分之七,$ B# q# z3 k/ h5 x 股四十九五分之一, R! E! D O+ k" w) p 弦五十一四分之一。8 r) f; B! _$ W& k/ k' g 术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。" X; G, u& s7 S! [6 T3 ]/ F 假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。 答曰:弦一百一十四十分之七。* b- ]' B6 |) i; I2 E 术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。: j, k! N' U' n+ ] 假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?2 k( E* p+ Z. D. a' @/ @1 ~" C1 N0 z 答曰:九十二五分之二。% M2 b7 l( A6 y4 ` 术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。# U5 E; Z4 m7 n P; j1 Q B 案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。8 B/ P1 ~4 z# q6 |/ o9 B0 i 假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?" C$ o; ]' `8 j: g# e' Y' e) D& Y 答曰:六十八。 术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。2 V' V. K. X% p4 Y7 T: t 假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?0 ?. m, Y* s8 f; Y- \, i2 C 答曰:股二十六五分之二。9 ~3 _+ L4 P1 x5 ^$ \! q3 {$ w0 S' K 术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)$ Y( F. R+ N$ Y; u# B 假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?+ C+ z) z2 s( T5 `5 r 答曰:句八、五分之四。/ ?9 O; E- y; ^' m 术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。 缉古算经跋3 Z$ |3 {; x5 ^3 p/ V3 {7 C 按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。; s! A8 H/ j2 Z# o* _2 {1 m . y }+ |* u/ H8 a y 康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识5 V# ~' z9 z/ ~ |