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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 570| 评论数: 7|帖子模式


2 N2 R) A' E8 J) }缉古算经9 W# d% v7 U3 d3 x7 }

0 E+ p$ Q' x( F! z- |% a5 N/ a% a上辑古算经表' J$ ?0 k, `4 P1 y
( U* t' R# E7 {! f
  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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1 U. e& d! N5 a, {  @. l( V, d- |' {. W! T8 z: `
缉古算经
" i$ q, v8 S, m* P
0 m) m/ n! B& y5 w4 ]  r  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)4 t. p; |+ a5 K; k7 B
  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。
4 F$ U- D# X: |; J( z/ K: \$ l  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。
2 J9 M3 {8 h. n- Z) A' Y  C9 {  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43
; k* w1 }! x1 q; f
答曰:9 J2 j5 }" L% _- x& e* ]
  台高一十八丈( X" N; j/ |8 |; X
  上广七丈,3 I2 O$ N/ B! U0 n+ i0 ?
  下广九丈,; h- W, `$ y$ z- t+ e1 Y
  上袤一十丈,
# [2 v# o5 X) |- C* x  下袤一十四丈;
! }' {+ q1 H0 }; K. h+ S7 C7 E  甲县给高四丈五尺,
9 o( ~1 s# s( g2 z9 {  上广八丈五尺,
4 Z9 P1 n0 {4 I& i  下广九丈,0 ]7 H4 `7 T+ W# Q. W# E
  上袤一十三丈,
  a0 Y% u) C% F  L& ?' h0 N6 S  下袤一十四丈;% |+ f3 S0 a. W
  乙县给高一十三丈五尺,
5 \. X! R- i% A: v. `* r5 Q8 j  上广七丈,
1 |9 G  A/ x7 Z: _- I3 w( u# T  下广八丈五尺,& p7 O, d3 x( Z( H. t: i2 A
  上袤一十丈," b# V. _" S) {9 w) [" P3 {! [5 w& E
  下袤一十三丈;) y; R8 P9 m9 \0 g+ M5 ~
  羡道高一十八丈,. Y7 k5 z1 N  a" W' [3 v
  上广三丈六尺,1 [% T' a2 N5 C9 E( F
  下广二丈四尺,
* W3 m1 A% h, V+ M. i9 P* E- y  袤一十四丈;
8 ?1 q* _' X7 @  y, [  甲县乡人给高九丈,
7 p2 G! G9 ^* ]* G0 [7 N% P  上广三丈,/ {$ s) p4 y5 s4 G/ G7 k7 S
  下广二丈四尺,8 J8 w0 N$ g, ]
  袤七丈;
& C8 O- u+ I' D! b/ L0 Q9 K2 \  乙县乡人给高九丈,  t3 i/ X, s$ M
  上广三丈六尺,$ H+ [9 \* J: @9 w! Y6 n5 V
  下广三丈," p4 j) o' J4 k3 Q: C
  袤七丈。
: M$ |+ C" |$ E8 b  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。1 R7 q: z3 X  @! N: ^
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。
" v1 v! G4 T) {4 s# ~  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。9 h: w. _/ i4 N9 Z) C
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
: t4 C$ n  p! E9 o1 j  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08
/ R8 a6 @: Q+ l  ^2 f1 ?* M
答曰:
/ I3 y* ^) ^" {" \" f) R. B  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;
  V. ~" D9 Y& X4 Z' p  西头高三丈四尺一寸,8 C" G6 V4 Y" [1 T0 l
  上广八尺,
" r; J" Y& z, B0 t+ H* t  下广七丈六尺二寸,
$ q0 R5 X0 m) B& p* u1 O4 b  东头高三尺一寸,
% O$ w7 }' Q4 K4 J) C  上广八尺,
3 m9 a5 D) T# G& q1 u% K  下广一丈四尺二寸,
& J4 j7 b6 w3 E( `  正袤四十八丈,
# u* J- z8 S7 y- U% Y  斜袤四十八丈一尺;
! q, `0 v8 Z6 b# N# D  甲县正袤一十九丈二尺,
/ t- [0 Q" ]4 h; K! F' O  _- s  斜袤一十九丈二尺四寸,, O3 h( \3 K$ M, f* z6 Y4 L/ W6 F
  下广三丈九尺,. [' l- S1 d) A5 v; N5 y; l+ \
  高一丈五尺五寸;3 z) r- z# |* c8 `
  乙县正袤一十四丈四尺;
5 s" y' {* K* y  斜袤一十四丈四尺三寸,/ T, \5 t, e+ j
  下广五丈七尺六寸,9 h, i, \2 z# S) Z" ]% p
  高二丈四尺八寸;1 l/ V0 k/ W; K0 _' t- g* Z* W' r
  丙县正袤九丈六尺,
4 W, X$ @) J0 d( q* `1 P  斜袤九丈六尺二寸,  o8 D6 a2 J- h- y+ T5 x3 {9 [
  下广七尺,
6 Y# O  s( r( k' x/ S  高三丈一尺;4 T  h& J' h* n! L& a" l5 ~* ~
  丁县正袤四丈八尺," H# O  t  A7 g6 n
  斜袤四丈八尺一寸,
2 u. L0 @5 \/ G2 ]$ N  下广七丈六尺二寸,- n0 x- N. x' c  n9 @+ Z8 q
  高三丈四尺一寸。
1 m, o( t, Z1 D8 X  }9 v* d  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。4 i, ^3 w4 V, Z, z2 L* t
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。$ ^  }) i& L9 b6 c  d
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。( _0 j# ^" e/ u# V( _; M3 }: g: v
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。. t- F% F! A7 @5 }& e- F
  答曰:
- B( [! i5 s/ H) M$ @& y  高三丈,
1 N% _3 f1 }: o8 {4 s  上广三丈四尺,
' y& u3 R, A6 d! X  下广一丈八尺,* q0 C. ~; M6 h  x$ a4 z: \
  袤六丈六尺;
, w! D8 ]) [* z% |6 [7 Z& l( ^  甲县高一丈五尺,
8 ?- U( j+ V2 O3 U- u  袤三丈三尺,
& D; ~- \! g! i& S6 p) E  上广二丈一尺;
4 O9 |8 K0 O: H( I+ ~  乙县高二丈一尺,  z2 T, a8 g& z
  袤一丈三尺二寸,+ C" V5 Q* p3 q' J" d, `  K
  上广二丈二尺二寸;# r1 H6 C& \+ A  w( M/ I
  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,
' z: p  y5 D: r% w( b% e  上广二丈四尺。/ B+ W/ I" c. j" c3 _( D
  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。
+ s( Q9 P; A% L6 \9 L: U. H  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。8 `/ {" e, }* [( O- }; `
  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?
6 T+ G2 @5 ?3 f  答曰:" Z. H, Z/ T' i( [! a
  漘上广五丈八尺二寸一分;
" Z* L* H( L. G  甲郡正袤一百四十四丈,
( k( j2 U& q5 H7 M9 Q0 @' a  斜袤一百四十四丈三尺,
1 m! {2 R, N/ s: V5 @0 K; T  上广二十六丈四寸,$ n; o7 E% a4 h  e1 H% t$ ]9 o
  深一十一丈一尺六寸;; ^, ~0 s/ p3 ]. M$ D
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,' D4 ?8 D9 o- a1 x- C/ t/ u
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,# K- X# a; R' E& Q0 J. A$ f
  上广四十丈九尺二寸,
0 b. m3 j5 Q9 r* m  深一十八丈六尺;
% s# g; C6 G+ E0 Y8 D' r  j  丙郡正袤五十七丈六尺,
# r. h. M  X; t5 }) s  斜袤五十七丈七尺二寸,
. R$ o6 [) F5 C+ r  上广四十八丈三尺六寸,9 d3 _% R, ^7 X
  深二十二丈三尺二寸,4 f6 e$ h2 r) v5 N( r& I
  丁郡正袤二十八丈八尺,: V& q: B2 y) d' ^( x9 |5 D7 [
  斜袤二十八丈八尺六寸,$ _, }0 H# I1 [1 v5 ~& s
  上广五十二丈八寸,
/ T$ E- _& {( v. B* B8 F. a' N: x' f- ]  深二十四丈一尺八寸。
+ |: I' N9 f  l! a
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。
3 s  V7 e3 a6 b7 a. R2 O  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。! i# @7 x2 }; u; E
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?/ f. A+ l# t  i0 i3 m; ]6 T3 \4 J
  答曰:8 c4 L  g7 W1 P, u
  窖上广八丈,
7 Y8 ?1 x5 U( d/ g# H  上袤九丈,% x  _1 E2 S, E
  下广一十丈,: s" B  v% s( C3 J0 O% J2 L
  下袤一十二丈,
# ^9 B4 Y* b' Y' \2 a  深三丈;
$ R$ o% a6 D5 b1 _8 h) p  甲郡八千七十二人,7 y" i5 g( G5 V4 O: k
  深一十二尺,
9 n; A! o" t/ G* C  下袤一十丈二尺,6 l3 {- \) E0 u; C. z' b
  广八丈八尺;  E. J& M3 y5 r+ y6 |" Z, {
  乙郡七千二百七十二人,+ q! f9 r/ G9 `/ l
  深九尺,
9 p8 U1 P: m6 C* P8 W& E  下袤一十一丈一尺,# Z( H  e( h, Q) S3 t
  广九丈四尺;$ N( |/ e3 _3 |) \  e
  丙郡五千四百七十三人,5 J! O( \1 Z( ]+ i5 g
  深六尺,下袤一十一丈七尺,
; E0 ^4 n* @" j* Z7 j$ P( g( n  广九丈八尺;
3 c1 {8 [9 O( ^5 @7 M8 t  丁郡二千九百三十三人,; X$ q2 h, R4 ^  [6 G9 {( ]: {
  深三尺,  K, ^1 G6 J# _# Y
  下袤一十二丈,
( Y& b% _3 f2 M  广一十丈。
! x7 A$ V$ q+ c$ c  W, |1 V6 o  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。
; @2 j: T5 M  E  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
( Z0 K5 D4 Z0 Z) w* D! g( R2 x
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27
* P* z! ^4 V! a3 t/ w# J) e
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?
; |' j  ]$ c; v  答曰:
2 c/ |% N2 J- e4 E' a  上方三尺,
7 A& p3 E  O" \5 I; {  下方九尺,  a% t4 y+ Q+ R  e
  高一丈二尺;
% @8 P0 y* t- f1 o- E1 L  余粟深、上方俱六尺。
( u, r2 j- a! n: N  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。) f% l9 @* E* T6 r1 U8 \: P3 ~
  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
/ C: P: j4 c8 A! L! x  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?  b( a! [8 z! U
  答曰:9 U7 J* m$ h% |5 a
  高四丈八尺,- \; N7 h3 L% w
  上广三丈六尺,
$ Q; ]" k2 C0 i; j7 e  W  袤六丈六尺。
5 S( J" ~/ H" \" ?: x  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。; @* \7 G7 T, Q9 Z. [8 T5 T
  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?! I2 E# R. s9 C9 W* @2 A
  答曰:
7 w4 F# @& T" O7 o7 K6 {: W  一周一丈八尺,
, ?; p1 ?2 s+ J: ]% V" u  下周三丈,6 y2 O% A8 u) {8 d1 U4 s3 ~) L$ W
  高三丈六尺,
6 W6 p* L/ L5 L$ y1 _  去口一丈八尺,/ O8 \- [" t3 X1 _6 n$ s0 i
  粟周二丈四尺。
" @% ?% l$ n8 ], C' R* v  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。* g/ q3 }5 C, k' C% Y
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。
4 B% K0 @' `( L9 A/ w. f  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?6 V7 _' t5 p  c5 O7 I
  答曰:
) r: C: D+ f. ?# |  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),. a2 R' `: s+ F* p. N4 t
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),9 h; l: J) z& e$ f2 k  h& @; r- p
  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。' O! R0 j2 N; E6 d0 ~# g
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。0 Q$ b& D& r2 V6 }2 r+ N& b
  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?$ S8 ^: [5 T2 c; c9 W+ H
  答曰:
8 G& ]" ~5 y0 m7 a  方一丈八尺,9 l; }) V  z/ R. [# U( ?; S
  高深一丈三尺,5 O6 J0 ^+ n) l% o
  圆径二丈八尺。
' a/ d3 R* {! Y" Z" t7 L  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。
0 k9 R+ F  t+ s- u$ M6 Q  B7 P  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?# d+ H# z- L, B. ~: g3 q! k0 @
  答曰:
  s  D% P8 j! ]/ e- {  方、径各一丈六尺,$ r* l( t2 M" k4 N, u, i
  高一丈九尺,$ B0 d: w* F" J# `0 r, L- r
  深一丈四尺。
/ Y/ b' d4 C% t! z% e; x  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
6 |' a. D# N- N  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?9 Y) G6 l9 w" I5 T8 P
  答曰:, |4 M0 c! M. {6 c, p1 E8 L/ N( D
  上方、径各七尺,
0 n% f3 U5 K' N1 j1 f  下方、径各二丈八尺," {" A, V7 |  [' ]2 {
  深各二丈一尺。
0 k! N( n0 Q; j* J  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。( ^: h3 k8 j/ N0 k6 n4 m- a  Q
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17
! _" |5 ]/ ]& S+ a3 G9 s
假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
! y& e2 z0 ^& R2 J6 B8 c  答曰:' h* M: B9 Y; }; U& S- P
  方窖上方七尺,
7 o( M  @4 P2 X5 ~% d3 |( o; c+ L7 x  L  下方二丈八尺,
) t+ \; F7 Y/ x$ n# i  深二丈一尺,+ g! v% @6 v7 F& R; p
  圆窖上下径、深与方窖同。/ l& k+ ~, b0 p4 F, o3 K
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。$ H) y1 [% v" v
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?. X! Y0 e$ H: y$ z+ f0 e4 a
  答曰:
/ n8 Y5 `2 \6 n4 W* x3 d4 t  句十四二十分之七,/ h4 p7 S, ]5 ]. U
  股四十九五分之一,3 Z' l% J. F! [: t, R4 k# [% C
  弦五十一四分之一。
  x" S5 I; w3 E8 I/ x& _: l  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。
" G5 P: ~+ [. N. Y( o  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。+ Y' a7 q& y0 Z3 b! {+ Q/ V/ K
  答曰:弦一百一十四十分之七。; j6 i+ D+ G. q4 [
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。" y. K2 t2 }8 G; b7 n7 i8 o7 z
  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
* o, f1 ?" ?% o3 \( q+ _8 [! A  答曰:九十二五分之二。
7 V1 n6 [4 [+ B( T5 x; _% P+ c* K  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
' Q1 L  O8 P, q& Z$ o/ B  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。% F  m" d. z: g! m5 G
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
  x" q2 M4 O0 m8 W  答曰:六十八。
8 t# n2 m1 h  o. A% r. I  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
% k$ K, o4 Z* `0 P" k; @# V$ W1 @; A  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?
5 t0 C8 j! J. o( E/ f" Y$ A  答曰:股二十六五分之二。4 y# H% L: G3 ?1 ~$ S
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)
- G8 z" v# A* K0 Z0 X, u/ w. V  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?+ i/ b, f; u8 p% G4 o# _
  答曰:句八、五分之四。9 y3 F+ i" A- V' n0 l' `& \- C+ O2 W
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
: l9 \1 f  G4 R
# Q. C6 z" I" a9 n) c" W$ B缉古算经跋
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4 b6 J1 f, `1 @' L) u" V, c* {  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。
% f9 _" i, M% c% s% N# z, g; W+ w% G5 D/ @) @% h' Q% ]
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
: k( Q; F9 D1 Y
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