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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 221| 评论数: 7|帖子模式

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缉古算经8 F; E% u+ _$ w" W, t
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上辑古算经表# e3 z9 A" [" ~
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  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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缉古算经
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  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
8 }4 p4 [, |: V9 j+ g9 ^- k' G  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。" x9 d( U) p+ [5 c0 O6 d
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。' _0 I. g; Z* s$ k  [
  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43
2 a; R7 S4 k# t( c3 r+ P) \
答曰:; x: }* C0 C" P" \- g( t, T
  台高一十八丈0 s! o# Z' C! X! d# F  `& V
  上广七丈,
% V9 i# c# x- D9 M6 M  下广九丈,+ e. J5 t, A* p- v+ D
  上袤一十丈,( K( Q" c0 o6 n  U1 O
  下袤一十四丈;& |' }: M# @( I, y  H
  甲县给高四丈五尺,
/ F4 i  e) j5 c5 G  上广八丈五尺,
2 _2 d* F2 W3 S  下广九丈,
, y" u: [+ A: D! Z+ v. ]& B  上袤一十三丈,) Q9 s0 U& f& p/ N) L! E4 ?  Q! c
  下袤一十四丈;: W% D' P: @1 L# y8 N! s% L& [( z
  乙县给高一十三丈五尺,9 E4 \) A* L& o1 G' q' U" ]
  上广七丈,
' o/ O- }2 {. G0 C8 j  下广八丈五尺,
. G. J1 k3 p6 E7 H0 W" j  上袤一十丈,
7 B4 w5 I+ x; y( V1 R8 Q  下袤一十三丈;+ `% H/ g% j* q! G: ]( `& Q
  羡道高一十八丈,
  ]9 n0 c) p0 d. h! s0 P% I, ~. v  上广三丈六尺,
% D* ^9 f! e7 L  下广二丈四尺,
. z1 e4 o. \( k) S  袤一十四丈;
+ W) b) o, j$ l+ H8 t; {2 y2 p9 W% O  甲县乡人给高九丈,' |5 s% s( |2 J& g7 ^2 J
  上广三丈,5 p% N6 W, P. ]% p! o  a, O
  下广二丈四尺,
3 {4 \( L) }  \7 o/ @- x4 q  袤七丈;8 P8 I6 w- u1 W, }  _6 I
  乙县乡人给高九丈,* t  u' h+ W! f9 j3 G8 m, b6 c
  上广三丈六尺,3 M! `$ T1 L- M$ Q9 i
  下广三丈,; h* j. A5 d3 T9 h3 G# _+ W
  袤七丈。
* H8 ?+ W) Y! p# P  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。9 ~  C) E# v# a7 a* U. O! ~& ^
  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。
2 A+ ^+ ?( s! v/ @  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。- n. W2 _& F( G) h, b9 `
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。' u& `, a+ r1 @, p
  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08
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答曰:+ z. \4 u. A3 q, u  m! S
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;& @1 I$ [) G0 a( f* U  E
  西头高三丈四尺一寸," ]+ F6 _5 p; h8 P% [4 V( d& I
  上广八尺,/ q2 ^; w# z  U, A( G; l
  下广七丈六尺二寸,$ }1 c& }% z' I- _
  东头高三尺一寸," b1 m5 V' B+ T8 T/ n/ a
  上广八尺,% i2 t% A) f# R" {- z, b2 I
  下广一丈四尺二寸,
5 ]0 W  t- c  L9 E  正袤四十八丈,* @7 R/ a! i( v$ v9 A, O9 t
  斜袤四十八丈一尺;, J8 u9 q6 w- J  |, l4 n
  甲县正袤一十九丈二尺,
7 h7 W1 k2 o8 a; N0 _: R2 k5 _  斜袤一十九丈二尺四寸,; q; F4 a5 l3 V4 E
  下广三丈九尺,. l+ q7 o. D" A$ o2 e6 O# D
  高一丈五尺五寸;
6 _3 o) Q' n7 l' u" a  T% L  乙县正袤一十四丈四尺;
' m  R" ^, M' ~4 z  斜袤一十四丈四尺三寸,6 e+ n6 C" @% V8 D
  下广五丈七尺六寸,- w& |( N' y, |7 ~6 p1 |
  高二丈四尺八寸;' y: G* f4 i, M: K+ L9 _1 l* M. B  _
  丙县正袤九丈六尺,
% ?) Q& o6 Q# u6 v* F0 s) r1 M  斜袤九丈六尺二寸,& V# |; @0 y$ ]( b) {7 _) y5 v% _
  下广七尺,1 @3 H0 l. o+ n/ r, b/ Q
  高三丈一尺;
" j7 A; k0 y* T/ Q  丁县正袤四丈八尺,
5 I2 j5 ?1 V; M/ \  斜袤四丈八尺一寸,
0 b. V3 F8 e8 Q% Q$ [  下广七丈六尺二寸,
- K% Q; K3 {7 ]" p4 l- i( A  高三丈四尺一寸。! u6 |. m) c0 O! t
  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。
" X  `7 C7 {" O1 H" ~% O- V- [  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。6 `5 K: u# x4 u7 j% q; _. F( F
  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。9 e. M* X7 x$ _0 a
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
5 b7 z4 `7 @5 R* `+ R( D  答曰:  t2 m( t8 P, k! {
  高三丈,
" g+ D$ y2 p0 f; c  上广三丈四尺,
5 K: `' s0 Y1 M1 L2 t% I" y  下广一丈八尺,8 a% ?2 o- q3 a) n+ L& ?+ `
  袤六丈六尺;
" K; g8 N0 l$ t8 F  甲县高一丈五尺,
7 t( m+ a% r9 C( L# T  袤三丈三尺,
3 H: o# `7 j1 h8 t% X7 o4 |  上广二丈一尺;! S, w5 x0 v: Z' c. Q7 a
  乙县高二丈一尺,$ ~6 K: i; p5 K
  袤一丈三尺二寸,% j4 c+ G' m% O
  上广二丈二尺二寸;
; T; ?- b' [7 ?$ ]7 @  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,# n$ k7 F* Y: F) x; Q/ l% z! H- u
  上广二丈四尺。
: A1 ~0 A6 J+ L; s; I6 s9 e  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。/ s* d; N. r( E' g( v
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
% X7 U2 d2 `4 o7 D% G4 T# o  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?& `4 G' C; q( n9 @! l# P2 y  a
  答曰:1 B, ^9 ?& c% o7 f2 |
  漘上广五丈八尺二寸一分;- y' ]( L3 t4 Z. ^8 v/ }
  甲郡正袤一百四十四丈,
, b) m2 w9 X; E, w8 t  斜袤一百四十四丈三尺,
; m/ O/ b6 S+ H" B2 u( F  上广二十六丈四寸,+ t( _0 C7 a, `8 i( j
  深一十一丈一尺六寸;
" J: ^* Z9 \, K  t* x2 i: j  乙郡正袤一百一十五丈二尺,1 b$ O" g" J) P
  斜袤一百一十五丈四尺四寸,! w# }0 U- d( f; h' |& o
  上广四十丈九尺二寸,
) ?9 _# Z2 ~  B  深一十八丈六尺;3 Q5 o$ }3 }* ?, d% `) C! L
  丙郡正袤五十七丈六尺,
0 p& [$ Q( z6 K1 G9 X  斜袤五十七丈七尺二寸,3 S# G" M1 f' b& U: Y, V0 x
  上广四十八丈三尺六寸,
6 P" A7 D+ |5 m. c7 K: w  深二十二丈三尺二寸,
9 [5 @+ h  v1 j+ d! ^0 g: ^$ L  丁郡正袤二十八丈八尺,& g8 v& E# h# Z; @9 ?9 ~! t& l) o
  斜袤二十八丈八尺六寸,; Z' y. a6 b  i) Y2 T
  上广五十二丈八寸,
9 L0 y$ ]& u7 ~% Q$ H& Q! k  深二十四丈一尺八寸。
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古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。, l  K5 S6 L* O8 t% J
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。0 v& M$ I. Q4 \* G9 R6 g" o+ P
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?0 F" `6 F% A2 g" x% w. X2 g4 x0 q
  答曰:
# l& l+ _2 I6 w  c5 g; v  窖上广八丈,
2 h2 D8 j) K$ v8 ^' ~  上袤九丈,
$ @4 C5 z0 w7 z$ s9 _  下广一十丈,
  Y: `: |( S3 Q6 Y; _% D3 L' ?  下袤一十二丈,8 a& G; P! y2 ~2 v" j" {
  深三丈;& A+ O% `5 @2 j2 Y
  甲郡八千七十二人,
# ]% J4 t. @- i: J. [  深一十二尺,
# d8 T/ d7 b2 W' }% R& {1 d  下袤一十丈二尺,+ a9 C4 s/ t1 X4 B
  广八丈八尺;2 e5 p3 ?, X  c6 m$ U, B$ _
  乙郡七千二百七十二人,8 X0 G) ]9 A' r/ m
  深九尺,2 y& V# e. a4 u  x5 h5 L7 t3 k
  下袤一十一丈一尺,
6 o: J% G/ ?+ M% A. R! `0 L0 H8 n! u  广九丈四尺;
) F1 O5 s+ Y+ E. T$ h  丙郡五千四百七十三人,' A: I7 u3 z' k
  深六尺,下袤一十一丈七尺,
( s. l' q1 I0 D; M; R4 ^  广九丈八尺;$ T0 ~$ j9 I$ J! U; I* Q! B
  丁郡二千九百三十三人,
' X3 \4 N! F: K  深三尺,
* h+ l& Y) M. j% W; h  下袤一十二丈,
$ `. l! H" Y4 M6 k  广一十丈。- y% `5 X$ z0 o( m
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。1 e8 Y4 `+ ^( B& V' J
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。* G, ?. M) Y1 A; p5 h' o
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27

: a7 D4 K! D: o5 V# }假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?
! |) Z$ W  j8 p, y  答曰:( k- S: O$ `0 ^7 V1 ?  q
  上方三尺,0 @5 x0 X( s- U+ I/ j
  下方九尺,) f$ [2 e: h) ~3 y! j. l- \
  高一丈二尺;
( B$ ^1 a4 H0 ~7 v, x+ h  余粟深、上方俱六尺。
: ~$ i& z7 }# e6 g  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。
' x6 n9 ^/ _+ \! {  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
+ f# Z, l' c: u* _& j. w/ ]2 `  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?" s$ F7 ~2 o& b( w, G9 O* E* a0 I
  答曰:
- U! }$ X+ Y. G0 l8 z' j( l  高四丈八尺,
+ b: D0 Z& s3 V5 `" i4 y/ l  上广三丈六尺,' N; ^8 ?1 Q  O% o( x; E* o' b# J7 e
  袤六丈六尺。& s  E# t4 k( p6 ~
  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。" [4 C7 `5 z1 D" @0 _0 Q* [
  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?  c( [* T" `! M  a5 H# g# I/ l
  答曰:$ I4 L1 ~. R3 i
  一周一丈八尺,+ x+ h! `  s3 M* P* h( c- f7 e5 r
  下周三丈,# Z* H0 R) Q1 Z; ~  q) l5 r7 N' H  @
  高三丈六尺,
, h" L8 ?+ ~4 J7 q( t  去口一丈八尺,
+ h7 c1 D( N2 X2 }  粟周二丈四尺。
4 H6 P3 G9 ^  O) r3 x3 F2 y; p  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。
  S- s( z* K! z  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。+ t/ @! l$ ?" R! T" l
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?4 B* S1 i: w9 N/ x: |
  答曰:
1 M8 ^2 h' T  {6 z& F* P  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),6 G1 z% f6 d2 K5 V
  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
) Q5 T% O" A6 d) R& V+ ?2 \+ t  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。8 W$ y- n# ]& A5 N; g
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
9 R' `. G4 z+ A/ f  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?3 V4 j4 T, D  S# [( [/ A
  答曰:& r- |( Q7 @$ k" M
  方一丈八尺,4 C+ |0 E% F; ]$ G& ~; i
  高深一丈三尺,
0 n) \, }, P, K% z/ j* K6 W) u  圆径二丈八尺。
7 D2 Q) q$ \0 `' F1 X  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。. O$ I+ F. a- Q
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?% G$ J8 S* f7 }  q; B
  答曰:
+ _+ ]% I& Q) I0 y  方、径各一丈六尺,
- e) O9 G9 c/ X- W* |# d0 i  高一丈九尺,
) L. y) Y; P/ @* `  深一丈四尺。
. L2 \+ u( o' h1 Y: [. o( K6 i  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。
3 T: X" v6 o% p, D- r7 n) v  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?1 B+ t) V8 Y8 c' p
  答曰:7 Q, S& U6 g) X& [/ r/ c
  上方、径各七尺,
( G. L& w3 U8 k) \" ?4 Y& y  下方、径各二丈八尺,/ [8 y0 x% C  Z/ R8 u
  深各二丈一尺。
8 F- V+ x* q' o7 a" C( l7 U  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
  j" M! Q. _* g% d+ f, t3 M
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17

. r# @  L* _; N5 y  w假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
9 _" K6 e; E0 a6 p/ P  答曰:# A5 j4 f6 S  q  C" o6 o
  方窖上方七尺,
' o, ~6 n* Y! h. Q9 o9 k  下方二丈八尺,
; W7 `) R+ _$ v/ F' ^" k  深二丈一尺,
- W  n* Q. I, F: ~, S  r$ i, ^  圆窖上下径、深与方窖同。$ K+ H; M. u2 O: Q
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。
4 g0 b8 f1 p4 }! @& U& T/ J  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?2 _1 Y! j5 H9 O) r# W5 T; o+ P
  答曰:
" t+ y! L# l0 ^4 L  句十四二十分之七,
$ d$ c  b% H& p. H4 U  股四十九五分之一,
* X8 X. s: l  p' g: l2 D% ?( ~- [- a0 b  弦五十一四分之一。5 H0 ]5 b6 J$ J* K2 t
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。. `3 i3 y+ p2 F8 }9 ]
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。
+ ?# d0 Y6 S: H6 l6 A  答曰:弦一百一十四十分之七。
; F! N, k$ }$ d0 I/ f7 k9 q% o0 z  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
' ?: K/ j+ ^% A: `9 E  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?
) f0 P7 J/ q, f9 V  答曰:九十二五分之二。
# ~. C  E/ f) G" G% `5 P3 D; ?  c  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。
* A8 ]: w, C# }. w, z  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。9 P: @2 ^" l3 {  b
  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?5 {/ v% d$ i% ]) }* x
  答曰:六十八。
) L& n$ k9 k- H  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
$ k: F" v. B3 p! u! O: [) [  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?8 T2 I  }! I# s
  答曰:股二十六五分之二。7 F" N1 ]5 A' j! |8 Y' Z+ Y  d+ f0 O
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)
7 B9 L$ a+ S& x4 K  V1 J  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?& L$ x: s0 s2 j8 b$ d3 {+ g
  答曰:句八、五分之四。. ~0 H7 N$ l# |$ r1 z" {+ r
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。
8 m, o  t& q7 o+ Y3 C& x; B# t% z: _" ^& D- u9 A) O: c3 i
缉古算经跋
6 @% H" h4 P3 R: i: y' X6 ~; N/ g* e4 v
  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。% \6 r! S% {% }0 r
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康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识7 O  s( }$ ^5 r
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