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《缉古算经》唐-王孝通

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 09:55| 查看数: 266| 评论数: 7|帖子模式

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缉古算经! t' q$ C) V/ Z' ]& `" z- i
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上辑古算经表9 L& o  r3 c3 }- ^1 ^5 }, m

+ I7 E. b+ [* Q  臣孝通言:臣闻九畴载叙,纪法著于彝伦;六艺成功,数术参于造化。夫为君上者,司牧黔首,布神道而设教,采能事而经纶,尽性穷源,莫重于算。昔周公制礼,有九数之名。窃寻九数,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而约,重句聊用测海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能与于此者?汉代张苍删补残缺,校其条目,颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言,博综纤隐,更为之注。徽思极毫芒,触类增长,乃造重差之法,列于终篇。虽即未为司南,然亦一时独步。自兹厥后,不断前踪。贺循、徐岳之徒,王彪、甄鸾之辈,会通之数无闻焉耳。但旧经残驳,尚有阙漏,自刘已下,更不足言。其祖恒之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉方邑进行之术,全错不通;刍亭方亭之问,于理未尽。臣今更作新术,于此附伸。臣长自闾阎,少小学算。镌磨愚钝,迄将皓首。钻寻秘奥,曲尽无遗。代乏知音,终成寡和。伏蒙圣朝收拾,用臣为太史丞,比年已来,奉敕校勘傅仁均历,凡驳正术错三十余道,即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术,至于上宽下狭、前高后卑,正经之内,阙而不论,致使今代之人不达深理,就平正之门,同欹邪之用。斯乃圆孔方柄,如何可安?臣昼思夜想,临书浩叹,恐一旦瞑目,将来莫睹,遂于平地之余,续狭斜之法,凡二十术,名曰《缉古》。请访能算之人,考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。轻用陈闻,伏深战悚。谨言。
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缉古算经  X9 k% f( l# I% v0 d

2 L" m! w/ ?; f. B5 i  假今天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?(推朔夜半月度,旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制,意见甚众,并未得算妙,有理不尽,考校尤难。臣每日夜思量,常以此理屈滞,恐后代无人知者。今奉敕造历,因即改制,为此新术。旧推日度之术,巳得朔夜半日度,仍须更求加时日度,然知月处。臣今作新术,但得朔夜半日度,不须加时日度,即知月处。此新术比于旧术,一年之中十二倍省功,使学者易知)
, E- }0 {+ E. U8 q  答曰:在斗四度七百分度之五百三十。" Q% Z. Y+ h* G0 g& Z
  术曰(推朔夜半月度,新术不复加时日度,有定小余乃可用之):以章岁减朔月行定分,余以乘朔日定小余,满日法而一,为先行分。不尽者,半法已上收成一,已下者弃之。若先行分满日行分而一,为度分,以减朔日夜半日所在度分,若度分不足减,加往宿度;其分不足减者,退一度为行分而减之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入历当月行定分,即是月一日之行分。但此定分满章岁而一,为度。凡日一日行一度。然则章岁者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均输篇》有犬追兔术,与此术相似。彼问:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,问几何步追及?答曰:二百五十步追及。彼术曰:以兔走减犬走,余者为法。又以犬走乘兔先走,为实。实如法而一,即得追及步数。此术亦然。何者?假令月行定分九千,章岁七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行数相减,余八千三百分者,是日先行之数。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一万,即相及定分,此乃无对为数。其日法者,亦是相及之分。此又同数,为有八千三百,是先行分也。斯则异矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后,以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分,即月夜半所在度分也)。8 b4 y& b7 F/ z1 o# H
  假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?

最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 09:55:43

- _5 M' L, z0 k答曰:$ B. B+ e4 S- x. j
  台高一十八丈
; z% S; J: S4 H4 T  上广七丈,9 n& J  m, B% z2 M, U. m
  下广九丈,' ~2 k7 D+ j! Z/ N, @
  上袤一十丈,
* L& h. O1 r0 g1 M* c9 Z  下袤一十四丈;0 P0 U: P  h; Y5 t  w1 v4 j
  甲县给高四丈五尺,
2 R9 E9 X$ b  y8 ?; a4 p  上广八丈五尺,' L# B6 x9 M# @
  下广九丈,; _2 H2 Q5 A  R
  上袤一十三丈,1 b8 b; R& V5 ]7 x( M
  下袤一十四丈;
' Q1 X, {9 I9 }, E& \6 Z4 y. k  乙县给高一十三丈五尺,
; K8 O3 A3 u9 k4 \3 |+ s$ [1 n$ f2 ]" r  上广七丈,% c0 O; ?. ~$ B2 y2 P
  下广八丈五尺,. H3 |5 O% x! C* F8 ?
  上袤一十丈,
9 L0 y2 H  l8 n' t! c! m3 k6 v/ C  下袤一十三丈;
- h3 ~0 h( |) M. c" J0 A  羡道高一十八丈,/ n& i8 b; I  V9 K" f* Y0 Q
  上广三丈六尺,
+ @9 [( V3 @) H$ _: {5 {9 L  下广二丈四尺,  V$ `. M' J  M( l% v& C' ~8 p
  袤一十四丈;2 b- \4 E1 z7 U! X% c+ {1 C
  甲县乡人给高九丈,
3 B0 ?- H& s9 n8 _- ]9 d' Y3 ~  上广三丈,+ C$ s( ^& f& t+ b! t% ~) |
  下广二丈四尺,
) k5 V) A# q; v4 e2 l. q( a  袤七丈;
9 e3 M2 Y0 Z" ?$ r  乙县乡人给高九丈,3 e$ _$ o0 d2 @, m8 A
  上广三丈六尺,1 p4 b% N9 B. z* y: {
  下广三丈,2 s* g4 d% K: p' l( B  @% _( I& _
  袤七丈。- R8 h) Y1 @) o
  术曰:以程功尺数乘二县人,又以限日乘之,为台积。又以上下袤差乘上下广差,三而一,为隅阳幂。以乘截高,为隅阳截积。又半上下广差,乘斩上袤,为隅头幂。以乘截高,为隅头截积。并二积,以减台积,余为实。以上下广差并上下袤差,半之,为正数,加截上袤,以乘截高,所得增隅阳幂加隅头幂,为方法。又并截高及截上袤与正数,为廉法,从。开立方除之,即得上广。各加差,得台下广及上下袤、高。
3 T! X4 I# G4 w( J2 @, G7 v' _  求均给积尺受广袤,术曰:以程功尺数乘乙县人,又以限日乘之,为乙积。三因之,又以高幂乘之,以上下广差乘袤差而一,为实。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即乙高。以减本高,余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高,以本高而一,所得加上广,即甲上广。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤,台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤,有增损者,皆放此(此应六因乙积,台高再乘,上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广,广差而一,为上广之高。又以台高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。以上广之高乘上袤之高,为小幂二。因下袤之高,为中幂一。凡下袤、下广之高,即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高,为幂一。又下广之高乘下袤之高,为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一,复有上广、上袤之高各乘截高,为中幂各一。又截高自乘,为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高,为幂一。然则截高自相乘,为幂二,小幂六。又上广、上袤之高各三,以乘截高,为幂六。令皆半之,故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,诸幂乘截高为积尺)。9 I+ [; C6 ^+ N* ], i! C7 ]/ V
  求羡道广、袤、高,术曰:以均赋常积乘二县五十六乡,又六因,为积。又以道上广多下广数加上广少袤,为下广少袤。又以高多袤加下广少袤,为下广少高。以乘下广少袤,为隅阳幂。又以下广少上广乘之,为鳖隅积。以减积,余三而一,为实。并下广少袤与下广少高,以下广少上广乘之,鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又以三除上广多下广,以下广少袤、下广少高加之,为廉法,从。开立方除之,即下广。加广差,即上广。加袤多上广于上广,即袤。加高多袤,即道高。* k2 H% i; ]3 q" ]
  求羡道均给积尺甲县受广、袤,术曰:以均赋常积乘甲县上十三乡,又六因,为积。以袤再乘之,以道上下广差乘台高为法而一,为实。又三因下广,以袤乘之,如上下广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以广差乘甲袤,本袤而一,以下广加之,即甲上广。又以台高乘甲袤,本袤除之,即甲高。
! i+ ~: P0 S6 \3 z" V  假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:08
0 u  |: D1 U2 _5 n6 Q3 v8 Y, w
答曰:3 V) [9 g7 {1 V/ q/ U: L1 {
  一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分;+ [! F" w) x  l$ B9 g
  西头高三丈四尺一寸,4 o, r+ J6 L& ~7 S
  上广八尺,
. T% y8 H0 b* a# E1 e$ b# f  下广七丈六尺二寸,; `6 t& p; m: V) s1 T5 N, S  w3 ]
  东头高三尺一寸,
' O, {/ J5 L% q) w  上广八尺,
3 x( l# `# I! I! [7 q2 _/ d  下广一丈四尺二寸,
! Z; k! O7 m, c2 _$ F; @  正袤四十八丈,1 s- {6 ^" g. _9 P
  斜袤四十八丈一尺;
2 v7 H! z) H* Q- F  甲县正袤一十九丈二尺,
/ B, X7 \$ j6 a  斜袤一十九丈二尺四寸,7 \, i# K. d) z" |
  下广三丈九尺,
+ Y7 h/ s4 t  P3 a% D1 J$ _' U  高一丈五尺五寸;
& R; Q9 J9 G: t; w" P  乙县正袤一十四丈四尺;9 F- x/ x7 ~9 `# X9 H9 j  G
  斜袤一十四丈四尺三寸,4 Y. }+ x( Q6 U! |0 C
  下广五丈七尺六寸,
1 h- h1 x& n! \7 i/ A  高二丈四尺八寸;
$ n, F; j; V& \  丙县正袤九丈六尺,4 w& V+ h1 q- ]# l: f
  斜袤九丈六尺二寸,# r7 T3 U$ c, j  I9 c2 ~  Z! L
  下广七尺,3 Y" A2 |6 G* C- ^5 I: Y
  高三丈一尺;
6 R' a; }+ w4 j  ]# `4 X  丁县正袤四丈八尺,9 a6 e( [; P0 G1 x
  斜袤四丈八尺一寸,/ [4 V, v5 V6 F
  下广七丈六尺二寸,
# z! D- Y4 y  M' _# `$ U+ I  高三丈四尺一寸。
9 B3 L$ @" w# R: V) F$ u) s  求人到程功运筑积尺,术曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟蹰之间十加一,载输一十四步,一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,为实。却以一返步为法。除,得自运土到数也。又以一到负土数乘之,却以穿方一尺土数除之,得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土数除之,为法。除之,得穿用人数。复置运功积,以每人一日常积除之,得筑用人数。并之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。' g$ a; H/ \, Q2 w7 f0 {# |
  求堤上、下广及高、袤,术曰:一人一日程功乘总人,为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差,乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂,为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之,为廉法,从。开方立除之,即小高。加差,即各得广、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,并,而开方除之,即斜袤。
1 b6 F# L  p0 x6 b  求甲县高、广、正、斜袤,术曰:以程功乘甲县人,以六因取积,又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上下广,以乘小高,三因之,为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤。又以下广差乘之,所得以正袤除之,所得加东头下广,即甲广。又以两头高差乘甲袤,以正袤除之,以加东头高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤东头高减甲高,余自乘,并二位,以开方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本县人功积尺,每以前大高、广为后小高、主廉母自乘,为方母。廉母乘方母,为实母(此平堤在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤,再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂,为从。开立方除之,得截袤)。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:56:32
求堤都积,术曰:置西头高,倍之,加东头高,又并西头上下广,半而乘之。又置东头高,倍之,加西头高,又并东头上下广,半而乘之。并二位积,以正袤乘之,六而一,得堤积也。2 c  q7 ?6 I1 l: }' e
  假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。. z% e2 I! t: x
  答曰:
6 U* Z6 @% c0 Z  W9 Y  高三丈,9 W; n+ j. n! [9 k6 l0 P% L
  上广三丈四尺,
3 Z& X% T4 ~/ m7 |9 Y- m* m8 G  下广一丈八尺,
. t% t/ d. c% p+ g% z& y  袤六丈六尺;
$ T2 x, x9 s: I" X  甲县高一丈五尺,
% b9 w  a( @) ~+ D5 M  y  袤三丈三尺,
! b" t# x. }, @( \" w  上广二丈一尺;( L$ v! J2 I" x; a& I& j
  乙县高二丈一尺,
8 p+ ]& E  d- f0 }5 _  袤一丈三尺二寸,
0 F. |, L$ `. D& ^2 I* Q  上广二丈二尺二寸;
/ f: H. u- y: L: c+ ~" [; ^3 e- E  丙县高三丈,袤一丈九尺八寸,  Z9 }* i" [) ~: [* D, T+ ]
  上广二丈四尺。
/ p  {! R% F$ A. \1 P; z  求龙尾堤广、袤、高,术曰:以程功乘总人,为堤积。又六因之,为虚积。以少高乘少袤,为隅幂。以少上广乘之,为鳖隅积。以减虚积,余,三约之,所得为实。并少高、袤,以少上广乘之,为鳖从横廉幂。三而一,加隅幂,为方法。又三除少上广,以少袤、少高加之,为廉法,从。开立方除之,得下广。加差,即高、广、袤。, b6 `, A) d$ K# ^
  求逐县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘当县人,当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高,为法。除之,为实。又三因末广,以袤乘之,广差而一,为都廉,从。开立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以广差乘甲袤,以本袤除之,所得加末广,即甲上广。其甲上广即乙末广,其甲高即垣高。求实与都廉,如前。又并甲上下广,三之,乘甲高,又乘袤幂,以法除之,得垣方,从。开立方除之,即乙袤。余放此(此龙尾犹羡除也。其堑堵一,鳖腝一,并而相连。今以袤再乘积,广差乘高而一,所得截鳖腝袤再自乘,为立方一。又堑堵袤自乘,为幂一。又三因末广,以袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法)。
# d% m1 A2 P1 h9 C' k  假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?
/ R/ X, l8 \1 D# Y  答曰:
5 h1 w9 I% G. l3 B* a4 i) u  漘上广五丈八尺二寸一分;
5 V' `- X. n2 F9 v, m  R  甲郡正袤一百四十四丈,
1 K8 Z" [9 v* w9 c  F( p  斜袤一百四十四丈三尺,
' E% a6 e: [6 @9 g, L  上广二十六丈四寸,
% h% `# k: Z) L- l1 w  深一十一丈一尺六寸;/ {# ~" d* w4 `% y3 T9 l" j; Z
  乙郡正袤一百一十五丈二尺,
; y* @& q- q6 b& l; [9 m3 c  斜袤一百一十五丈四尺四寸,2 {- Y, w4 T* o1 L
  上广四十丈九尺二寸,
! C4 ?7 X+ n% m3 u  深一十八丈六尺;
# w0 \8 v6 V0 h: k3 a  丙郡正袤五十七丈六尺,
. z( g2 m+ n/ b7 J  斜袤五十七丈七尺二寸,
% {, x* }# H2 c1 E% I/ E  上广四十八丈三尺六寸,+ U2 i3 c& B% G0 |
  深二十二丈三尺二寸,* ?1 S- J7 u; u* m4 ~* a! x9 n
  丁郡正袤二十八丈八尺,, l# P' |& S, B7 U8 ]) B0 l
  斜袤二十八丈八尺六寸,
' {% C  {3 Q2 c; O  上广五十二丈八寸,
5 |! m/ h1 b; e  A% K  深二十四丈一尺八寸。
) i6 \2 M9 l7 {6 X1 k) ]
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:00
术曰:如筑堤术入之(覆堤为河,彼注甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,为积。又六因,以乘袤幂。以上广差乘深差,为法。除之,为实。又并小头上、下广,以乘小头深,三之,为垣头幂。又乘袤幂,以法除之,为垣方。三因小头上广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,即得小头袤,为甲袤。求深、广,以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤,以本袤除之,所得加小头上广,即甲上广。以小头深减南头深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小头深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,并,而开方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、广为后小深、广,准甲求之,即得。. {" X+ }7 h  }) [+ h% ^0 m
  求漘上广,术曰:以程功乘总人,又以限日乘之,为积。六因之,为实。以正袤除之,又以高除之,所得以下广减之,余又半之,即漘上广。7 E: r" P" w" q! s  G9 q
  假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?1 M8 H, r0 i/ `
  答曰:
- {$ O; `2 t. d. i7 ^' X( P) ^/ f3 l  窖上广八丈,
" R5 b" p& X1 {# p* @  上袤九丈,% I+ x# J* j1 H% U
  下广一十丈,
6 U" O! i! x2 F' m7 i. h, k5 ?  下袤一十二丈,% B7 q( x/ y/ [, ^  |
  深三丈;# _2 r0 M+ V) l1 O+ o! |7 j
  甲郡八千七十二人,' A6 J; z& ]$ h2 l) j
  深一十二尺,; `' V, M$ z0 r
  下袤一十丈二尺,
% _4 t3 e, ~/ O& D8 w/ p" w  广八丈八尺;% `7 h% U% e- O' W
  乙郡七千二百七十二人,7 x- ~6 U5 l4 Y1 r" _4 `/ m: g
  深九尺,, R7 z! \0 E! S0 M7 g
  下袤一十一丈一尺,. \8 D3 W7 c( ]' ^
  广九丈四尺;
, `/ J% T% X6 D' M  丙郡五千四百七十三人,
+ N: q. {7 r. P/ K  深六尺,下袤一十一丈七尺,0 X$ A# K  s* ~, u+ L. v, R, M3 Q
  广九丈八尺;. N0 F; D( l5 d: w/ J
  丁郡二千九百三十三人,. F2 G5 C; T( Y) B
  深三尺," D- l, G2 @8 B2 e8 f5 X3 E$ y3 ^
  下袤一十二丈,5 i! r2 z) _1 n5 j3 y. M0 R
  广一十丈。& i* m& [' Z0 q! y# u8 S2 \
  求窖深、广、袤,术曰:以斛法乘总粟,为积尺。又广差乘袤差,三而一,为隅阳幂。乃置堑上广,半广差加之,以乘堑上袤,为隅头幂。又半袤差,乘堑上广,以隅阳幂及隅头幂加之,为方法。又置堑上袤及堑上广,并之,为大广。又并广差及袤差,半之,以加大广,为廉法,从。开立方除之,即深。各加差,即合所问。2 {# }1 M3 K/ ^4 O, e5 |) o; t
  求均给积尺受广、袤、深,术曰:如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟,为积尺。又三因,以深幂乘之,以广差乘袤差而一,为实。深乘上广,广差而一,为上广之高。深乘上袤,袤差而一,为上袤之高。上广之高乘上袤之高,三之,为方法。又并两高,三之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以广差乘之,本深除之,所得加上广,即甲下广。若求乙、丙、丁,每以前下广、袤为后上广、袤,以次皆准此求之,即得。若求人数,各以程功约当郡积尺。
" u3 @! g" k, Y8 ^1 b0 D- C) i
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:27
4 h8 d' @; w  \1 D4 B! P
假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?# V$ d# Q! _) E
  答曰:
7 q/ ^3 U# A: O  n& S, k9 I  上方三尺,
7 p3 ?! W2 N( k% o# z3 i9 E  下方九尺,  @1 n& w" A) Y- L# X
  高一丈二尺;& f* y: |: \2 s/ |9 T* }! `& \, K
  余粟深、上方俱六尺。
8 e6 K3 W! x- A7 l4 A  求仓方、高,术曰:以斛法乘容粟,为积尺。又方差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减积,余为实。又方差乘截高,加隅阳幂,为方法。又置方差,加截高,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问。6 w: p9 m4 d1 |
  求余粟高及上方,术曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高幂,令方差幂而一,为实(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高与小高并)。高乘上方,方差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,得取出高。以减本高,余即残粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本术曰:上下方相乘,又各自乘,并以高乘之,三而一。今还元,三之,又高幂乘之,差幂而一,得大小高相乘,又各自乘之数。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然则斯本下方自乘,故须高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者,即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一,隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高,为幂二。又大小高相乘,为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘,即是小方之幂又一。则小高乘大高,又各自乘三等幂,皆以乘取高为立积。故三因小幂为方,及三小高为廉也)。
4 X: t* m. u( `) j1 [; V% P  假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?; p9 j  ^7 J' p1 n! G
  答曰:
9 k5 X+ X. O5 G2 z, }  高四丈八尺,- m+ ]3 r( }' v! b+ `: W
  上广三丈六尺,, I# _1 U( b% {- r! j( |" i" y
  袤六丈六尺。
/ o: F9 p1 b% l  d+ W. c5 y8 `  求甲县均给积尺受广、袤,术曰:以程功乘乙县人数,又以限日乘之,为积尺。以六因之,又高幂乘之,又袤差乘广而一,所得又半之,为实。高乘上袤,袤差而一,为上袤之高。三因上袤之高,半之,为廉法,从。开立方除之,得乙高。以减甍高,余即甲高。求广、袤,依率求之(此乙积本倍下袤,上袤从之。以下广及高乘之,六而一,为一甍积。今还元须六因之,以高幂乘之,为实。袤差乘广而一,得取高自乘以乘三上袤之高,则三小高为廉法,各以取高为方。仍有取高为立方者二,故半之,为立方一。又须半廉法)。
2 a/ ~- `2 t8 P2 k/ G7 P6 n& m7 \* y  假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?
2 L4 Z- z5 w# V4 o( U  答曰:& S" O+ H  T5 K4 b# H- C
  一周一丈八尺,
3 {, i3 `, R3 S2 h7 [. ~2 |2 z( @  下周三丈,* Y2 }1 x6 k! l
  高三丈六尺,
* a9 G/ ^, \8 B0 H6 t  去口一丈八尺,- m5 O) p, u# ^. o" i
  粟周二丈四尺。% u9 I; }) S5 @& }2 H; }
  求圆囤上下周及高,术曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,为方亭之积。又以周差自乘,三而一,为隅阳幂。以乘截高,以减亭积,余为实。又周差乘截高,加隅阳幂,为方法。又以周差加截高,为廉法,从。开立方除之,得上周。加差,而合所问。. b% ^# ~9 u( \% `* [: n( d/ X
  求粟去口,术曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高幂,如周差幂而一,为实。高乘上周,周差而一,为小高。令自乘,三之,为方法。三因小高,为廉法,从。开立方除之,即去口(三十六乘讫,即是截方亭,与前方窖不别)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。& m5 |- _  j: ]5 L  z
  假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?
: z# V( O1 U" g' ]7 u( G( K3 [- \5 ]  答曰:; t2 C* G( v$ J
  仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合),
/ T; o& A- f6 b& H/ ^2 E7 j  窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合),
, D! I& t  A' I' X' R! U  高与深各一丈五尺五寸。
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:57:53
求方、径高深,术曰:十四乘斛法,以乘粟数,二十五而一,为实。又倍多加少,以乘少数,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟为积尺。前一十四馀,今还元,一十四乘。为径自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同,二径各自乘为方,大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸,堑径三丈七寸,皆成方面。此应堑方自乘,一十四乘之;堑径自乘,一十一乘之,二十五而一,为隅幂,即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省,倍小隅方,加差为矩袤,以差乘之为矩幂。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之数,即是方圆之隅同有此数,若二十五乘之,还须二十五除。直以差自乘加之,故不复乘除。又须倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,为廉法,不复二十五乘除之也)。/ ^; @: \! D0 u; o2 ]; C2 z6 k
  还元,术曰:仓方自乘,以高乘之,为实。圆径自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,为实。皆为斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。
" N2 m$ e$ ?9 h* g# u9 r1 ]8 M  假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?
& v" {# l3 m$ o$ ]  答曰:2 u( q9 S0 E, q
  方一丈八尺,! l* v4 I- a( O+ s0 p# J0 ]
  高深一丈三尺,# S( \/ N; }! ?7 y$ k4 A
  圆径二丈八尺。
5 K3 D9 g) m1 |1 j) }8 Z( Y. m  术曰:以一十四乘斛法,以乘粟数,如八十九而一,为实。倍多加少,以乘少数,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,为方法。又倍少数,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,为廉法,从。开立方除之,即高、深。各加差,即方径(一十四乘斛法,以乘粟,为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四,即四因十四。圆窖三,即三因十一。并之,为八十九,而一。此堑径一丈五尺,堑方五尺,以高为立方。自外意同前)。/ W7 Z) w7 f( k8 U' m6 t
  假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?) d% I( w* R% ]$ D  W
  答曰:9 Y* y  f) o& M$ A) G1 d
  方、径各一丈六尺,
0 r) o6 F3 |' j( o, q# K: G  高一丈九尺,
! x) [/ D; w; v, F) U  深一丈四尺。
4 g/ Y3 `# }5 T( F& w  术曰:三十五乘粟,二十五而一,为率。多自乘,以并多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以减率,余为实。并多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,为方法。又并多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,为廉法,从。开立方除之,即窖深。各加差,即方、径、高(截高五尺,堑径及方二尺,以深为立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘并多少乘之,为截高隅积,即二廉,方各二尺,长五尺。自外意旨皆与前同)。  ]$ W7 _. e$ |
  假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?
  v4 R( \. M$ V) |2 z  答曰:
  y! d6 X4 b, h+ g5 [% w( R1 U  上方、径各七尺,! u. s/ W7 w' l! y1 z. @
  下方、径各二丈八尺,
# d- ~3 S2 N& e: s# m; M  深各二丈一尺。! B; D1 `9 n- Z! B' [& _
  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,为方亭积。令方差自乘,三而一,为隅阳幂,以截多乘之,减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。命三而一,为方亭积。若圆亭上下径相乘,又各自乘,并以乘高,为虚。又十一乘之,四十二而一,为圆亭积。今方、圆二积并在一处,故以四十二复乘之,即得圆虚十一,方虚十四,凡二十五,而一,得一虚之积。又三除虚积,为方亭实。乃依方亭复问法,见上下方差及高差与积求上下方高术入之,故三乘,二十五而一)。
, _; C- G8 z& ?9 }' c
古越中兴 发表于 2017-3-19 09:58:17
5 ^; N0 \+ g4 i" u2 k/ g
假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?
7 B$ E$ ?" Z6 g7 b  答曰:
" d  Q/ e( m  S6 w4 t. {4 e! G  方窖上方七尺,
6 J; M7 Q5 H% E1 G9 o3 X) j% p! K4 F  下方二丈八尺,
$ j$ M; G  B3 Z, _+ c  Z8 D  深二丈一尺,
3 a) w2 a1 l' t% [8 w9 Z. W" h" `  圆窖上下径、深与方窖同。
0 A5 q9 o/ _3 T, c& z% Y' i' k6 H  术曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,为方亭积尺。令方差自乘,三而一,为隅阳幂。以多乘之,以减积,余为实。以多乘差,加幂,为方法。又以多加差,为廉法,从。开立方除之,即上方。加差,即合所问(今以四十二乘。圆虚十一者四,方虚十四者六,合一百二十八虚,除之,为一虚之积。得者仍三而一,为方亭实积。乃依方亭见差复问求之,故三乘,一百二十八除之)。+ F8 D' b6 h3 K4 J) R+ ], r2 G# k
  假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?5 ?' c3 E7 B7 @. Q1 }3 I
  答曰:
, W+ i0 C# H" }% S  句十四二十分之七,, r% n% d8 Y, C6 _/ {& c8 S
  股四十九五分之一,
' D+ b5 U5 Y. \. M: a7 Y  弦五十一四分之一。  V' r6 h& N# ?/ {1 H, [
  术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数,为廉法,从。开立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除幂,即股(句股相乘幂自乘,与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一,得一句与半差之共乘句幂,为方。故半差为廉法,从,开立方除之。按:此术原本不全,今依句股义拟补十三字)。' ]$ e/ ], R8 i5 X# X& z& b
  假令有句股相乘幂四千三十六五分之□,股少于弦六五分之一。问:弦多少?(按:此问原本缺二字,今依文补一股字,其股字上之□系所设分数,未便悬拟,今姑阙之)。+ N4 }; `% Q  _+ J: I! t. K
  答曰:弦一百一十四十分之七。
! g5 p/ q2 a$ E9 w  术曰:幂自乘,倍少数而一,为实。半少,为廉法,从。开立方除之,即股。加差,即弦。
/ d( i' L+ F7 v" J4 }+ A  假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?' v8 M2 Y2 ^+ y6 p7 L
  答曰:九十二五分之二。
9 G7 m1 ^9 g4 T  v# I4 b  术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。* n6 W+ a0 U+ ^5 q  ?1 v
  案:此术脱简既多,法亦烦扰,宜云幂自乘,多数而一,所得四之,为实。多为廉法,从。立方开之,得减差,半之,即股(幂自乘,与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差,故差而一,所得乃股弦并乘弦幂)。
0 @) y, `/ I. r4 N' K) z* o  假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?
  L$ t$ \2 _( l, j2 q4 H  答曰:六十八。/ }5 m- G/ V  O8 y
  术曰:幂自乘,倍少数而一,为立幂。又少数再自乘,半之,以减立幂,余为实。又少数自乘,倍之,为方法。又置少数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即句。加差,即弦。弦除幂,即股。
5 Z* H% I8 \+ W. m( g8 x; p! E  假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?5 Y0 Q. u7 l3 l( ^& ^
  答曰:股二十六五分之二。* t4 V  n6 p1 d* c& ~7 V) B& h  C' I
  术曰:幂自乘,为实。句自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即股(□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……)2 v4 Z! I( V) ?' V+ ]4 G
  假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?
2 P! Q3 w* B, J5 Y5 V. [  答曰:句八、五分之四。9 m0 i0 U1 D% G6 t3 H
  术曰:幂自乘,为实。股自乘,为方法,从。开方除之,所得又开方,即句。1 ]# Z' p: t$ k3 N. k0 A" O2 [
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缉古算经跋
7 I( k% e/ K6 s
  p# F! Z! _* a8 c  按《唐书·选举志》制科之目,明算居一,其定制云:凡算学,孙子、五曹共限一岁,九章、海岛共三岁,张邱建、夏侯阳各一岁,周髀、五经算共一岁,缀术四岁,缉古三岁,记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一,唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之,余则世有不能举其名者。扆半生求之,从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种,从章邱李氏得周髀、缉古二种,后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板,字书端楷,雕镂精工,真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅,又一幅宰辅大臣,自司马相公而下俱列名于后,用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹,不爽毫末,什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种,竟成完璧,并得好事者刊刻流布,俾数学不绝于世,所深愿也。- |$ a+ R0 U' c+ w4 a( [( |0 P" l1 y/ O

9 j3 O, N. k$ |' y- W4 r( I! V康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
8 q; I7 a. E7 v8 q
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