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1 p; B" y2 y* X* K6 _% w 卷上1 X8 ]5 d% U# `5 W- q! j0 a & V6 e4 s/ g' S$ V 度之所起,起于忽。欲知其忽,蚕吐丝为忽,十忽为一丝,十丝为一毫,十毫为一牦,十牦为一分,十分为一寸,十寸为一尺,十尺为一丈,十丈为一引,五十引为一端,四十尺为一匹,六尺为一步,二百四十步为一亩,三百步为一里。 称之所起,起于黍。十黍为一絫,十絫为一铢,二十四铢为一两,十六两为一筋,三十筋为一钧,四钧为一石。 6 d& `* H7 A3 g* m; r( T) p 量之所起,起于粟。六粟为一圭,十圭为一撮,十撮为一抄,十抄为一勺,十勺为一合,十合为一升,十升为一斗,十斗为一斛,十斛得六千万粟。所以得知者,六粟为一圭,十圭六十粟为一撮,十撮六百粟为一抄,十抄六千粟为一勺,十勺六万粟为一合,十合六十万粟为一升,十升六百万粟为一斗,十斗六千万粟为一斛,十斛六亿粟百,斛六兆粟,千斛六京粟,万斛六陔粟,十万斛六秭粟,百万斛六穣粟,千万斛六沟粟,万万斛为一亿六涧粟,十亿斛六正粟,百亿斛六载粟。( f! _: B4 R' l* B8 T: Z( Y- H 凡大数之法:万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京,万万京曰陔,万万陔曰秭,万万秭曰穣,万万穣曰沟,万万沟曰涧,万万涧曰正,万万正曰载。 j& K3 C7 `5 E5 ]4 `# F2 u 周三,径一,方五,邪七。见邪求方,五之,七而一;见方求邪,七之,五而一。 " a2 r5 a8 b5 q! r7 `) x+ U" m 白银方寸重一十四两。 玉方寸重一十两。( n+ m/ K, A6 | 铜方寸重七两半。 铅方寸重九两半。 铁方寸重七两。 石方寸重三两。 / n' o2 u6 d3 D/ l/ a7 x6 f+ S 凡算之法:先识其位,一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当。(案:万百原本讹作百万,今据《夏侯阳算经》改正。) 凡乘之法:重置其位,上下相观,头位有十步,至十有百步,至百有千步,至千以上命下所得之数列于中。言十即过,不满,自如头位。乘讫者,先去之下位;乘讫者,则俱退之。六不积,五不只。上下相乘,至尽则已。 凡除之法:与乘正异乘得在中央,除得在上方,假令六为法,百为实,以六除百,当进之二等,令在正百下。以六除一,则法多而实少,不可除,故当退就十位,以法除实,言一六而折百为四十,故可除。若实多法少,自当百之,不当复退,故或步法十者,置于十百位(头位有空绝者,法退二位。)余法皆如乘时,实有余者,以法命之,以法为母,实余为子。 以粟求粝米,三之,五而一。 * z9 R- \8 d" b& ^, J 以粝米求粟,五之,三而一。 以粝米求饭,五之,二而一。; x4 x" ^$ B7 {8 ]) b 0 }% ]" v) V) l2 M: r 以粟米求粝饭,六之,四而一。) s+ ?' D7 \6 o3 Z9 b! ~. q* P$ u" ` 以粝饭求粝米,二之,五而一。 " m: G6 a k, n, \9 }# F. Z/ \ 以□米求饭,八之,四而一。 6 O! h) O! C w! H/ O- v5 O 十分减一者,以二乘二十除;减二者,以四乘二十除;减三者,以六乘二十除;减四者,以八乘二十除;减五者,以十乘二十除;减六者,以十二乘二十除;减七者,以十四乘二十除;减八者,以十六乘二十除;减九者,以十八乘二十除。$ K' D! z- h: v $ _4 _8 I3 d) h7 x 九分减一者,以二乘十八除。: P1 d* Y" n: `2 J- v : e9 x1 C5 d9 ^. Y 八分减一者,以二乘十六除。 9 L4 W" [: Z+ T- C) d 七分减一者,以二乘十四除。 / l. H/ `9 O2 l2 w/ @ 六分减一者,以二乘十二除。6 I, b& f( G! Y! q. [0 \0 H7 y# [ 3 B# Y9 v7 Y' X2 z 五分减一者,以二乘十除。 九九八十一,自相乘得几何?答曰:六千五百六十一。 术曰:重置其位,以上八呼下八,八八六十四即下,六千四百于中位;以上八呼下一,一八如八,即于中位下八十,退下位一等,收上头位八十(案:原本脱“上”字,今补。)以上位一(案:上位原本讹作“头位”,今改正。)呼下八,一八如八,即于中位,下八十;以上一呼下一,一一如一,即于中位下一,上下位俱收中位,即得六千五百六十一。 8 B' e) ~4 c2 n6 W1 i' x3 H 六千五百六十一,九人分之。问:人得几何?答曰:七百二十九。 |
术曰:先置六千五百六十一于中位,为实,下列九人为法,头位置七百(案:原本脱上字,今补。),以上七呼下九,七九六十三,即除中位六千三百,退下位一等,即上位,置二十(案:上位原本讹作头位,今改正。),以上二呼下九,二九一十八,即除中位一百八十,又更退下位一等,即上位,更置九(案:上位原本亦讹作头位,今改正。),即以上九呼下九,九九八十一,即除中位八十一,中位并尽,收下位,头位所得即人之所得,自八八六十四至一一如一,并准此。 八九七十二,自相乘,得五千一百八十四,八人分之,人得六百四十八。3 u6 C$ b) |/ J/ R. Y 6 }/ C; P' F t4 R# p; Y" U 七九六十三,自相乘,得三千九百六十九,七人分之,人得五百六十七。' n/ `4 }5 a1 l" v# [ Y$ N , A0 D! \% j* r. U! n 六九五十四,自相乘,得二千九百一十六,六人分之,人得四百八十六。. a, r6 d8 b6 Q" i* W' @# K6 ~) _ % K5 E8 _1 F8 R6 [ E$ x 五九四十五,自相乘,得二千二十五,五人分之,人得四百五。6 i( z6 {) B4 y4 w$ r0 l) x y 四九三十六,自相乘,得一千二百九十六,四人分之,人得三百二十四。 8 F' `! j) Z& W9 m% s7 ^. Q+ a 三九二十七,自相乘,得七百二十九,三人分之,人得二百四十三。$ K$ L4 J8 j1 M . s5 V- i4 Y& B3 N6 V 二九一十八,自相乘,得三百二十四,二人分之,人得一百六十二。" q0 b3 ~9 P' W2 V4 i: f5 i6 @ 一九如九,自相乘,得八十一,一人得八十一。0 O9 L: f& q/ Y S! R 右九九一条,得四百五,自相乘,得一十六万四千二十五,九人分之,人得八千二百二十五。 : d' z, v O1 T5 m* Z. `, q 八八六十四,自相乘,得四千九十六,八人分之,人得五百一十二。 七八五十六,自相乘,得三千一百三十六,七人分之,人得四百四十八。8 |) ^, E7 [' [; V5 j 六八四十八,自相乘,得二千三百四,六人分之,人得三百八十四。# a( I& n* S2 \ / G% l5 _- q2 J) }0 C+ f 五八四十,自相乘,得一千六百,五人分之,人得三百二十。( t i3 y+ Q8 ?* M3 ] , e! s# }1 L2 F3 F2 D( E0 d 四八三十二,自相乘,得一千二十四,四人分之,人得二百五十六。; t2 g, S4 w) m. @" c 三八二十四,自相乘,得五百七十六,三人分之,人得一百九十二。 5 Q H F, f6 w+ O 二八十六,自相乘,得二百五十六,二人分之,人得一百二十八。 - d% s+ Y' i+ h7 s5 `2 C y 一八如八,自相乘,得六十四,一人得六十四。6 w2 {% ^# r6 l2 P ! H2 {/ A2 L, v3 f) w 右八八一条,得二百八十八,自相乘,得八万二千九百四十四,八人分之,人得一万三百六十八。 七七四十九,自相乘,得二千四百一,七人分之,人得三百四十三。% L( [( w+ _3 [) |' X1 N 8 z8 g. b5 N+ ~+ W' `! \ 六七四十二,自相乘,得一千七百六十四,六人分之,人得二百九十四。$ t1 d- e9 L6 F# k3 E7 m - r' @/ y' U1 E5 R# F% V( o 五七三十五,自相乘,得一千二百二十五,五人分之,人得二百四十五。 四七二十八,自相乘,得七百八十四,四人分之,人得一百九十六。 ! w/ v9 c B9 S# j! }3 F 三七二十一,自相乘,得四百四十一,三人分之,人得一百四十七。3 l! I u2 v$ ^! v3 Q% t3 [ 二七一十四,自相乘,得一百九十六,二人分之,人得九十八。 % \1 q1 x; Z* Z 一七如七,自相乘,得四十九,一人得四十九。" i7 |- h# f8 R Y+ T) f9 d * w b; T' q3 h3 @! F4 A3 s 右七七一条,得一百九十六,自相乘,得三万八千四百一十六,七人分之,人得五千四百八十八。 六六三十六,自相乘,得一千二百九十六,六人分之,人得二百一十六。0 V5 C1 Q/ A' _% |; M$ Z6 n$ D 五六三十,自相乘,得九百,五人分之,人得一百八十。. p$ Q+ {8 J( y) i* j& Z# k & Q( h+ |7 ^/ p, T/ {5 S4 E4 d0 T 四六二十四,自相乘,得五百七十六,四人分之,人得一百四十四。 三六一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。. J; U F5 g' b/ l/ H b+ r" p0 i: o8 I$ \ 二六一十二,自相乘,得一百四十四,二人分之,人得七十二。6 \8 u j; \4 f ' Q7 D: X5 s" X1 q" p+ W 一六如六,自相乘,得三十六,一人得三十六。1 O1 m, ? D2 h% I! S) A; H* M& _ ' Q" m& u+ v! A3 T2 e 右六六一条,得一百二十六,自相乘,得一万五千八百七十六,六人分之,人得二千六百四十六。 5 S, f/ _! M- F/ q 五五二十五,自相乘,得六百二十五,五人分之,人得一百二十五。 6 H3 e! K! y* T; q% u 四五二十,自相乘,得四百,四人分之,人得一百。& d# N' m+ \; k; P 三五一十五,自相乘,得二百二十五,三人分之,人得七十五。7 c) g: X1 q- a" c& L2 C% t 二五一十,自相乘,得一百,二人分之,得五十。 9 H% j8 G$ y$ e2 o 一五如五,自相乘,得二十五,一人得二十五。6 W) W7 }9 {9 m# J' G ! y% B D& B9 R 右五五一条,得七十五,自相乘,得五千六百二十五,五人分之,人得一千一百二十五。 ( t K. M. E& W6 c& M 四四一十六,自相乘,得二百五十六,四人分之,人得六十四。. @- Z" |' z# X! o7 P / y( b2 ^: |1 M% Y; D 三四一十二,自相乘,得一百四十四,三人分之,人得四十八。! o, }4 Z, Y; k. I 2 q" _8 B* J3 b# o v! H0 J3 V, H 二四如八,自相乘,得六十四,二人分之,人得三十二。* U. g6 C! c0 B 2 B: ^, u# D$ p9 l9 _ 一四如四,自相乘,得一十六,一人得一十六。8 j/ T* s( p+ W7 v ! p1 i. {( R4 O8 E 右四四一条,得四十,自相乘,得一千六百,四人分之,人得四百。 # R4 a# I8 @ m" k& l 三三如九,自相乘,得八十一,三人分之,人得二十七。 t8 o& W0 P5 v6 N/ `1 T5 y. R 二三如六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。 . x" M4 e1 D3 N+ I k 一三如三,自相乘,得九,一人得九。7 z. U4 `7 F/ x |
右三三一条,得一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。 1 ^1 W8 X4 F2 V) i+ z) w, }5 u 二二如四,自相乘,得一十六,二人分之,人得八。 & [7 G8 J# J. M! G' G3 f ? X+ ~: N 一二如二,自相乘,得四,一人得四。 . l3 B. d9 l$ _9 K: l( z8 `+ p! W: l 右二二一条,得六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。- ~% R7 c {1 n' B! S 一一如一,自相乘,得一,一乘不长。. x$ `: X2 ]7 g0 h 右从九九至一一,总成一千一百五十五,自相乘,得一百三十三万四千二十五,九人分之,人得一十四万八千二百二十五。 ' @) g' I5 |3 m; i) t. i# i 以九乘一十二,得一百八,六人分之,人得一十八。( u! K3 F% R# g; J) | 以二十七乘三十六,得九百七十二,一十八人分之,人得五十四。( I% I9 z* w, u' s 3 h+ S1 @ W# ~$ m- [ 以八十一乘一百八,得八千七百四十八,五十四人分之,人得六十二。 % ~* W& w; h( ?" l; e4 y5 s& O 以二百四十三乘三百二十四,得七万八千七百三十二,一百六十二人分之,人得四百八十六。 以七百二十九乘九百七十二,得七十万八千五百八十八,四百八十六人分之,人得一千四百五十八。 4 X+ L, M5 Z7 [9 w$ ~- W4 k 以二千一百八十七乘二千九百一十六,得六百三十七万七千二百九十二,一千四百五十八人分之,得四千三百七十四。; P w* G+ R1 A 以六千五百六十一乘八千七百四十八,得五千七百三十九万五千六百二十八,四千三百七十四人分之,人得一万三千一百二十二。 x) i+ C4 `1 S1 Q5 y3 X. A 4 B9 }6 c8 u x7 v( N/ P7 I 以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四,得五亿一千六百五十六万六百五十二,一万三千一百二十二人分之,人得三万九千三百六十六。 : }, d* y3 K2 s( Y6 }# K& U; ?) ] 以五万九千四十九乘七万八千七百三十二,得四十六亿四千九百四万五千八百六十八,三万九千三百六十六人分之,人得一十一万八千九十八。1 Z. g1 M. h. `6 x. E) v 以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六,得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二,一十一万八千九十八人分之,得三十五万四千二百九十四。! R& L# n, O7 {: x2 J. r 以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八,得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八,三十五万四千二百九十四人分之,人得一百六万二千八百八十二。 y1 b0 i6 a7 P4 U! L1 K, w |
卷中7 b3 w0 V/ m, N * R4 z: j! @3 @1 d; U( z* {! s1 ?/ T 今有一十八分之一十二。问:约之得几何?答曰:三分之二。 术曰:置十八分在下,一十二分在上,副置二位以少减多,等数得六为法,约之即得。 7 X3 p/ P( T0 ]( S% _) | 今有三分之一、五分之二。问:合之二得几何?答曰:一十五分之十一。 术曰:置三分五分在右方,之一之二在左方,母互乘子,五分之二得六,三分之一得五,并之,得一十一为实;又方二母相乘,得一十五为法。不满法,以法命之,即得。2 o Y! p, }- k# v . N% z" }4 e4 i6 |! Y9 l 今有九分之八,减其五分之一。问:余几何?答曰:四十五分之三十一。 7 g- T. P' i' h6 V" ` E% Q) q, w 术曰:置九分五分在右方,之八之一在左方,母互乘子,五分之一得九,九分之八得四十,以少减多,余三十一,为实;母相乘,得四十五,为法。不满法,以法命之,即得。 0 j) n- {8 y+ w/ C) Z9 D; b 今有三分之一,三分之二,四分之三。问:减多益少,几何而平?答曰:减四分之三者二,减三分之二者一,并以益三分之一,而各平于一十二分之七。 术曰:置三分三分四分在右方,之一之二之三在左方,母互乘子,副并得六十三。置右为平实,母相乘得三十六,为法,以列数三乘未并者,及法等数,得九约讫,减四分之三者二,减三分之二者一,并以益三分之一,各平于一十二分之七。 ( I$ K7 t' \( V/ k, B! p 今有粟一斗。问:为粝米几何?答曰:六升。 / a( E- R a& p7 E 术曰:置粟一斗十升,以粝米率三十乘之,得三百升为实,以粟率五十为法,除之,即得。 / P. ^& o* @, _) W 今有粟二斗一升。问:为稗米几何?答曰:一斗一升五十分升之一十七。 术曰:置粟数二十一升,以稗米率二十七乘之,得五百六十七升,为实;以粟率五十为法,除之不尽,以法而命分。3 g+ c; V5 I* T 今有粟四斗五升。问:为□米几何?答曰:二斗一升五分升之三。 9 i0 o$ p7 `$ U7 I8 ~ 术曰:置粟四十五升,以二约□米率二十四,得一十二,乘之,得五百四十升,为实;以二约粟率,五十得二十五,为法,除之,不尽,以等数约之,而命分。 , P& T3 U) ~ `; A* \' Y 今有粟七斗九升。问:为御米几何?答曰:三斗三升一合八勺。 : b, U( a9 S- `7 R 术曰:置七斗九升以御米率二十一乘之,得一千六百五十九,为实,以粟率五十除之,即得。 今有屋基,南北三丈,东西六丈,欲以砖瓦砌之,凡积二尺,用砖五枚。问:计几何?答曰:四千五百枚。 术曰:置东西六丈,以南北三丈乘之,得一千八百尺;以五乘之,得九千尺;以二除之,即得。, S4 W& h4 z8 c+ y ' E6 t# B h4 y2 a0 A. Y6 ] 今有圆窖,下周二百八十六尺,深三丈六尺。问:受粟几何?答曰:一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。 ' W. J. n. Y6 p' H" V: I 术曰:置周二百八十六尺,自相乘得八万一千七百九十六尺,以深三丈六尺乘之,得二百九十四万四千六百五十六;以一十二除之,得二十四万五千三百八十八尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。+ I1 C. y. T5 w' L: [' ? + b7 ~1 v1 y% }3 f 今有方窖,广四丈六尺,长五丈四尺,深三丈五尺。问:受粟几何?答曰:五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。' [2 k, \! M. h' v1 q: [" | 术曰:置广四丈六尺,长五丈四尺,相乘得二千四百八十四尺;以深三丈五尺乘之,得八万六千九百四十尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。 |
9 Z$ v4 c/ Y" U; i. o' V( a% | 今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺。问:受粟几何?答曰:二千七百斛。8 B, h6 x& i" \/ V1 P: T% ]& i 7 N4 ^0 A% x+ J 术曰:先置周五丈四尺相乘,得二千九百一十六尺,以深一丈八尺乘之,得五万二千四百八十八尺;以一十二除之,得四千三百七十四尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。 今有圆田周三百步,径一百步。问:得田几何?答曰:三十一亩,奇六十步。 % b1 U* Z5 f! V7 a$ |2 i1 W9 i% J 术曰:先置周三百步,半之,得一百五十步;又置径一百步半之,得五十步,相乘,得七千五百步,以亩法二百四十步除之,即得。$ ^$ U6 Q+ w2 J0 w1 H" [; O 又术曰:周自相乘,得九万步,以十二除之,得七千五百步,以亩法除之,得亩数。$ P z# Y# [& J ) I2 D+ x% a" V) q7 ? 又术曰:径自乘,得一万,以三乘之,得三万步,四除之,得七千五百步,以亩法除之,得亩数。 今有方田桑生中央,从角至桑,一百四十七步。问:为田几何?答曰:一顷八十三亩,奇一百八十步。 4 b- @" L0 C* G 术曰:置角至桑一百四十七步,倍之,得二百九十四步,以五乘之,得一千四百七十步,以七除之,得二百一十步,自相乘,得四万四千一百步,以二百四十步除之,即得。0 A* ?# ~9 a# u4 B2 d 今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚。问:得几何?答曰:二百一十六枚。 术曰:置方三尺,自相乘,得九尺,以高三尺乘之,得二十七尺,以一尺木八枕乘之,即得。; Y' K% ^% v- X5 o3 U 今有索,长五千七百九十四步,以四除之,得一千四百四十八步,余二步,以六因之,得一丈二尺,以四除之,得三尺,通计即得。 今有堤,下广五丈,上广三丈,高二丈,长六十尺,欲以一千尺作一方。问:计几何?答曰:四十八方。 ) y4 @" P, i+ q0 k } 术曰:置堤,上广三丈,下广五丈。并之,得八丈;半之,得四丈。以二丈乘之,得八百尺;以长六十尺乘之,得四万八千;以一千尺除之(案:原本讹作乘,今改正。),即得。 今有沟,广十丈,深五丈,长二十丈,欲以千尺作一方。问:得几何?答曰:一千方。 2 p1 ^" i- y$ I1 R, ^ 术曰:置广一十丈,以深五丈乘之,得五千尺,又以长二十丈乘之,得一百万尺,以一千除之,即得。 ! g! b1 K$ z2 i% ~' [6 z( Z1 h7 } 今有积,二十三万四千五百六十七步。问:为方几何?答曰:四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。/ c% z6 p# J& ~0 ^ * |5 ]) T2 \$ ] 术曰:置积二十三万四千五百六十七步,为实,次借一算为下法,步之超一位至百而止。上商置四百于实之上(案:上商原本脱上字,今补。),副置四万于实之下。下法之商,名为方法;命上商四百除实,除讫,倍方法,方法一退(案:原本脱方法二字,今补。),下法再退,复置上商八十以次前商,副置八百于方法之下。下法之上,名为廉法;方廉各命上商八十以除实(案:原本脱实字,今补。),除讫(案:原本脱除字,今补。),倍廉法,从方法,方法一退,下法再退,复置上商四以次前,副置四于方法之下。下法之上,名曰隅法;方廉隅各命上商四以除实,除讫,倍隅法,从方法(案:原本讹此六字,今据术补。),上商得四百八十四,下法得九百六十八,不尽三百一十一,是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。5 @. V" j9 f$ \+ P) @, y! B ( {. b8 Y' Z7 B 今有积,三万五千步。问为圆几何?答曰:六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:六分步原本讹作七分,脱步字,今补正。) 术曰:置积三万五千步以一十二乘之,得四十二万,为实,次借一算为下法,步之超一位至百而止,上商置六百于实之上,副置六万于实之下。下法之上,名为方法,命上商六百除实,除讫,倍方法,方法一退,下法再退,复置上商四十以次前商,副置四百于方法之下。下法之上,名为廉法,方廉各命上商四十以除实(案:原本脱四十二字,今补。),除讫,倍廉法,从方法,方法一退,下法再退,复置上商八次前商,副置八于方法之下。下法之上,名为隅法,方廉隅各命上商八以除实,除讫,倍隅法,从方法,上商得六百四十八(案:原本脱得字,今补。),下法得一千二百九十六(案:六原本讹作七,今改正。),不尽九十六,是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:九十六分原本讹作九十七分,今改正。) 今有邱田周六百三十九,步径三百八十步。问:为田几何?答曰:二顷五十二亩二百二十五步。# D( V4 ]2 J6 ?6 D8 v6 Q 术曰:半周得三百一十九步五分半径,得一百九十步二位相乘,得六万七百五步,以亩法除之,即得。 m" Z' P0 x9 k |
今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺。问:须功几何?答曰:二万六千一十一功。' z }$ G) w. k, K$ I 1 D4 F) n( R( M2 A( _+ L. | 术曰:并上下广,得七十四尺,半之,得三十七尺,以高乘之,得一千四百六尺,又以长乘之,得积七百八十万三千三百尺,以秋程人功三百尺除之,即得。 3 y3 ~4 @, u' n; h 今以穿渠长二十九里一百四步,上广一丈二尺六寸,下广八尺深一丈八尺,秋程人功三百尺。问:须功几何?答曰:三万二千六百四十五功(案:原本讹作三万二百六十五人,今据术改正。),不尽六十九尺六寸。 . u9 Z' s3 b! k, n5 ] 术曰:置里数以三百步乘之,内零步,六之,得五万二千八百二十四尺,并上下广,得二丈六寸,半之,以深乘之,得一百八十五尺四寸,以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸,以人功三百尺除之,即得。 5 a6 e8 R, {5 a0 \! V/ o* t4 b 今有钱六千九百三十,欲令二百一十六人作九分,分之八十一人,人与二分;七十二人,人与三分;六十三人,人与四分。问:三种各得几何?答曰:二分人得钱二十二,三分人得钱三十三,四分人得钱四十四。, l4 Q! L- ^" N5 z : t# z# |1 _: x* i 术曰:先置八十一人于上,七十二人次之,六十三人在下,头位以二乘之,得一百六十二,次位以三乘之,得二百一十六,下位以四乘之,得二百五十二,副并三位,得六百三十为法。又置钱六千九百三十为三位头位,以一百六十二乘之,得一百一十二万二千六百六十,又以二百一十六乘中位,得一百四十九万六千八百八十,又以二百五十二乘下位,得一百七十四万六千三百六十,各为实以法,六百三十各除之,头位得一千七百八十二,中位得二千三百七十六,下位得二千七百七十二,各以人数除之,即得。 今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗。问:五人各得几何?答曰:公一十八颗,侯一十五颗,伯一十二颗,子九颗,男六颗。 术曰:先置人数别加三颗于下,次六颗,次九颗,次一十二颗,上十五颗,副并之,得四十五,以减六十颗,余人数除之,得人三颗,各加不并者,上得一十八颗为公分,次得一十五为侯分,次得一十二为伯分,次得九为子分,下得六为男分。6 Z& S6 c" {- [5 P- \! f * _6 H- M e# G2 C 今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱半以益我钱成九十。乙复语甲丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成七十。丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六。问:三人元持钱各若干?答曰:甲七十二,乙三十二,丙四。 . N \2 U! a- ? O" O: F 术曰:先置三人所语为位,以三乘之,各为积,甲得二百七十,乙得二百一十,丙得八十四,又置甲九十,乙七十,丙五十六,各半之,以甲乙减丙,以甲丙减乙,以乙丙减甲,即各得元数。8 H% X u5 K. W ! s$ V( l% a" Z p 今有女子善织,日自倍,五日织通五尺。问:日织几何?答曰:初日织一寸三十一分寸之一十九,次日织三寸三十一分寸之七,次日织六寸三十一分寸之一十四,次日织一尺二寸三十一分寸之二十八,次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。4 ^" v0 U5 _6 s+ w8 p: s1 n 术曰:各置列衰副,并得三十一为法,以五尺乘并者,各自为实,实如法而一,即得。 ( y6 ?# a$ A0 Z) l- T0 P! e 今有人盗库绢,不知所失几何?但闻草中分绢,人得六匹,盈六匹;人得七匹,不足七匹。问人、绢各几何?答曰:贼一十三人,绢八十四匹。 3 p; a6 c+ j- T 术曰:先置人得六匹于右上,盈六匹于右下,后置人得七匹于左上,不足七匹于左下,维乘之所得,并之为绢,并盈不足为人。 |
卷下3 ~0 o) F! R) x$ v: n& r " z8 _! e+ s$ `* ^8 R1 H 今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租,甲出三十五斛,乙出四十六斛,丙出五十七斛,丁出六十八斛,戊出七十九斛,己出八十斛,庚出一百斛,辛出二百一十斛,壬出三百二十五斛,凡九家,共输租一千斛,僦运直折二百斛外。问:家各几何?答曰:甲二十八斛,乙三十六斛八斗,丙四十五斛六斗,丁五十四斛四斗,戊六十三斛二斗,己六十四斛,庚八十斛,辛一百六十八斛,壬二百六十斛。. W6 H: `% R% y/ Y; }" Q) {$ n V 9 Z; [0 A; d8 B( R 术曰:置甲出三十五斛,以四乘之,得一百四十斛;以五除之,得二十八斛。乙出四十六斛,以四乘之,得一百八十四斛;以五除之,得三十六斛八斗。丙出五十七斛,以四乘之,得二百二十八斛;以五除之,得四十五斛六斗。丁出六十八斛,以四乘之,得二百七十二斛;以五除之,得五十四斛四斗。戊出七十九斛,以四乘之,得三百一十六斛;以五除之,得六十三斛二斗。己出八十斛,以四乘之,得三百二十斛;以五除之,得六十四斛。庚出一百斛,以四乘之,得四百斛;以五除之,得八十斛。辛出二百一十斛,以四乘之,得八百四十斛;以五除之,得一百六十八斛。壬出三百二十五斛,以四乘之,得一千三百斛;以五除之,得二百六十斛。* \. @$ l! v7 D7 U# e+ | 今有丁一千五百万,出兵四十万。问:几丁科一兵?答曰:三十七丁五分。 ' I2 Z: u# L" {5 X- ]+ w* E 术曰:置丁一千五百万为实,以兵四十万为法,实如法,即得。6 B8 {9 O6 O# t! M) ^& ?3 R% Y : p; o; J: {7 K$ J9 u$ T! | 今有平地聚粟,下周三丈六尺,高四尺五寸。问:粟几何?答曰:一百斛。- o* @' j a1 j5 a2 ^ 术曰:置周三丈六尺,自相乘,得一千二百九十六尺,以高四尺五寸,乘之,得五千八百三十二尺,以三十六除之,得一百六十二尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。 今有佛书,凡二十九章,章六十三字。问:字几何?答曰:一千八百二十七。 术曰:置二十九章,以六十三字,乘之,即得。 今有棋局,方一十九道。问:用棋几何?答曰:三百六十一。/ B% ^: D. k) e) L" p 术曰:置一十九道,自相乘之,即得。 4 U( u4 M1 [, A 今有租,九万八千七百六十二斛,欲以一车载五十斛。问:用车几何?答曰:一千九百七十五乘奇一十二斛。8 \- A6 C& y8 k& p! y6 _6 g 7 Y& s( e; d( D8 ~* k2 V0 a* ` 术曰:置租九万八千七百六十二斛为实,以一车所载五十斛为法。实如法,即得。! R4 j5 L( Y+ r. p2 w( J 今有丁九万八千七百六十六,凡二十五丁出一兵。问:兵几何?答曰:三千九百五十人奇一十六丁。 : F" @7 p8 b2 d 术曰:置丁九万八千七百六十六为实,以二十五为法。实如法,即得。% [9 N. v. R5 {. i6 L6 p, b 今有绢,七万八千七百三十二匹,令一百六十二人分之。问:人得几何?答曰:四百八十六匹。 术曰:置绢七万八千七百三十二匹为实,以一百六十二人为法。实如法,即得。 - H8 I/ m1 R, r |
今有绵,九万一千一百三十五筋,给与三万六千四百五十四户。问:户得几何?答曰:二筋八两。( L* h4 P- b. c/ H, B 术曰:置九万一千一百三十五筋,为实;以三万六千四百五十四户,为法。除之,得二筋,不尽一万八千二百二十七筋,以一十六乘之,得二十九万一千六百三十二两,以户除之,即得。2 z [' z! e6 u1 i% W# ^ _" f' C" q! C4 V7 V6 u 今有粟,三千九百九十九斛九斗六升,凡粟九斗易豆一斛。问:计豆几何?答曰:四千四百四十四斛四斗。( y7 k( q" o* o- U + Q2 R6 O! ]: I/ ?/ {$ ^5 h# I- v! H 术曰:置粟三千九百九十九斛九斗六升为实,以九斗为法。实如法,即得。 $ P$ c% Y% }, n& u 今有粟,二千三百七十四斛,斛加三升。问:共粟几何?答曰:二千四百四十五斛二斗二升。 术曰:置粟二千三百七十四斛,以一斛三升乘之,即得。 & E/ g! F1 E6 Y& o# r# `5 R 今有粟,三十六万九千九百八十斛七斗,在仓九年,年斛耗三升。问:一年、九年各耗几何?答曰:一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合,九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。& c& T% }- J, ~) Z6 r 5 I- u3 K! W9 q* | 术曰:置三十六万九千九百八十斛七斗,以三升乘之,得一年之耗,又以九乘之,即九年之耗。 % i# d7 b& e% y0 c% M( ~" A, [ 今有贷与人丝五十七筋,限岁出息一十六筋。问:筋息几何?答曰:四两五十七分两之二十八。 - L0 Z/ |* C7 Z/ r+ a 术曰:列限息丝一十六筋,以一十六两乘之,得二百五十六两,以贷丝五十七筋除之,不尽,约之,即得。( S4 f( p& Z8 o. D& R / A% B( g/ i& h 今有三人共车,二车空;二人共车,九人步。问:人与车各几何?答曰:一十五车,三十九人。 V) [5 C; r) Y" r" [ 术曰:置二人以三乘之,得六,加步者九人,得车一十五,欲知人者,以二乘车,加九人即得。/ G/ b6 Q; A3 _$ x" C 今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合,出与人买绢一匹,直粟三斛五斗七升。问:绢几何?答曰:三万六千一百一十七匹三丈六尺。 术曰:置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实,以三斛五斗七升为法,除之,得匹余四十之所得,又以法除之,即得。 ; X: [1 M2 L( R 今有妇人河上荡杯,津吏问曰:“杯何以多?”妇人曰:“家有客。”津吏曰:“客几何?”妇人曰:“二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五,不知客几何?”答曰:“六十人。” 术曰:置六十五杯,以十二乘之,得七百八十;以十三除之,即得。 7 k! b, o+ V, z 今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺。问:几何?答曰:六尺五寸。 7 y- ^7 `1 Z5 b2 D. H$ k 术曰:置余绳四尺五寸,加不足一尺,共五尺五寸,倍之,得一丈一尺,减四尺五寸,即得。 + ?' ?& ~: l( A6 A5 f) O 今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升。问:米几何?答曰:六斗。 ' K1 _8 q$ N9 c+ ] 术曰:置余米一斗五升,以六乘之,得九斗;以二除之,得四斗五升;以四乘之,得一斛八斗;以三除之,即得。 今有黄金一筋直钱一十万。问:两直几何?答曰:六千二百五十钱。, J- Z3 G6 _' R# K5 y 术曰:置钱一十万,以一十六两除之,即得。 |
今有锦一匹,直钱一万八千。问:丈、尺、寸各直几何?答曰:丈四千五百钱,尺四百五十钱,寸四十五钱。 术曰:置钱一万八千,以四除之,得一丈之直;一退再退,得尺寸之直。 % O9 V/ S% d6 `. S 今有地,长一千步,广五百步,尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何?答曰:鹑一千八百万,鷃一亿八千万。" H% u% O! F- S 术曰:置长一千步,以广五百步乘之,得五十万;以三十六乘之,得一千八百万尺,即得鹑数;上十之,即得鷃数。 U& Y3 A9 b, h6 k ; J& f1 i& k$ h( f2 w1 r! w 今有六万口,上口三万人,日食九升;中口二万人,日食七升;下口一万人,日食五升。问:上、中、下口,共食几何?答曰:四千六百斛。 2 \5 k8 N) v3 x, O. p' k2 L1 h* x 术曰:各置口数,以日食之数乘之,所得并之,即得。: I% v6 p& V6 j- k; @ 今有方物一束外周,一市有三十二枚。问:积几何?答曰:八十一枚。 - l" w. C& B& b2 ^3 V 术曰:重置二位左位减八余加右位,至尽虚加一,即得。/ H: s- _1 [0 [( ~: E ! Q3 ^6 b0 {, Q$ C9 y 今有竿,不知长短,度其影,得一丈五尺,别立一表,长一尺五寸,影得五寸。问:竿长几何?答曰:四丈五尺。 $ {) s, U4 r6 s& } 术曰:置竿影一丈五尺,以表长一尺五寸乘之,上十之,得二十二丈五尺,以表影五寸除之,即得。 8 [2 p% M, i/ r+ s 今有物,不知其数。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问:物几何?答曰:二十三。& C6 O0 Y) f& _0 T 术曰:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之,剩一,则置七十五;五五数之,剩一,则置二十一;七七数之,剩一,则置十五。一百六以上,以一百五减之,即得。; |% T) P% i7 ^ ]; n 今有兽,六首四足;禽,二首二足,上有七十六首,下有四十六足。问:禽、兽各几何?答曰:八兽、七禽。 术曰:倍足以减首,余半之,即兽;以四乘兽,减足,余半之,即禽。 今有甲乙二人持钱,各不知数。甲得乙中半,可满四十八;乙得甲大半,亦满四十八。问:甲乙二人元持钱各几何?答曰:甲持钱三十六,乙持钱二十四。$ S& w3 G; U$ w 5 ? D$ f0 v0 |# O 术曰:如方程求之,置二甲一乙钱九十六于右方,置二甲三乙钱一百四十四于左方,以右方二乘左方,上得四,中得六,下得二百八十八钱;以左方二乘右方,上得四,中得二,下得九十六(案:近刻脱此十八字,今据术补。);以右行再减左行,左上空,中余四,以为法,下余九十六钱,为实;上法下实,得二十四钱,为乙钱,以减右下九十六,余七十二为实,以右上二甲为法,上法下实,得三十六为甲钱也。 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽。问:城中家几何?答曰:七十五家。$ W8 a6 p$ B- j& { : h* S3 f9 K( B1 ? 术曰:以盈不足取之,假令七十二家鹿不尽四,令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上,盈四于右下,置九十于左上,不足二十于左下,维乘之所得并为实,并盈不足为法,除之,即得。$ i* A8 {; n; D6 P/ ~; u + Z) Q5 [+ R5 E; N 今有三鸡共啄粟一千一粒,雏啄一,母啄二,翁啄四。主责本粟,三鸡主各偿几何?答曰:鸡雏主一百四十三,鸡母主二百八十六,鸡翁主五百七十二。 |
术曰:置粟一千一粒为实,副并三鸡所啄粟七粒为法,除之,得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数,递倍之,即得母、翁主所偿之数。% M7 o& p& P. Y; r* Z& r1 k2 q7 J+ ` 6 u( I" O+ I5 Y' |$ t3 y 今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?答曰:雉二十三,兔一十二。8 ]* b, u. A* B' }' v8 ~ 术曰:上置三十五头,下置九十四足。半其足,得四十七,以少减多,再命之,上三除下三,上五除下五,下有一除上一,下有二除上二,即得。 s. h1 N* r/ D8 I! @ ) j' C/ y" P# ?! N 又术曰:上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头,即得。4 U* @: T/ s% v; U$ L ]. J$ ]) m, u A1 x4 U4 ?+ O0 T 今有九里渠,三寸鱼头,头相次。问:鱼得几何?答曰:五万四千。 2 U% Y R& x5 t6 {3 |+ _ 术曰:置九里以三百步乘之,得二千七百步;又以六尺乘之,得一万六千二百尺,上十之,得一十六万二千寸,以鱼三寸除之,即得。2 x4 q' x T/ ]- T 今有长安、洛阳相去九百里,车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安。问:轮匝几何?答曰:九万匝。 , [: B0 U; A$ H1 b 术曰:置九百里以三百步乘之,得二十七万步,又以六尺乘之,得一百六十二万尺,以车轮一丈八尺为法,除之,即得。 ) Z0 h, @/ G, E; n. M% A2 ` 今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问:各几何?答曰:木八十一枝,七百二十九巢,六千五百六十一禽,五万九千四十九雏,五十三万一千四百四十一毛,四百七十八万二千九百六十九色,四千三百四万六千七百二十一。 术曰:置九堤以九乘之,得木之数;又以九乘之,得枝之数;又以九乘之,得巢之数;又以九乘之,得禽之数;又以九乘之,得雏之数;又以九乘之,得毛之数;又以九乘之,得色之数。. i8 L+ v6 o9 e6 C5 ~5 Y 今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归。问:三女几何日相会?答曰:六十日。5 ^/ r( G1 U/ Q5 c* _9 H# S & d2 r( p; v! o( A# m t 术曰:置长女五日,中女四日,少女三日,于右方,各列一算于左方,维乘之,各得所到数。长女十二到,中女十五到,少女二十到,又各以归日乘到数,即得。 6 }0 f$ P3 E$ M7 ? 今有孕妇,行年二十九岁。难九月,未知所生?答曰:生男。 术曰:置四十九加难月,减行年,所余以天除一,地除二,人除三,四时除四,五行除五,六律除六,七星除七,八风除八,九州除九。其不尽者,奇则为男,耦则为女。 |