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《孙子算经》南北朝-佚名

发布者: 古越中兴 | 发布时间: 2017-3-19 10:00| 查看数: 563| 评论数: 10|帖子模式

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孙子算经- X  y# L6 R, ]0 u5 r, }7 ?
《孙子算经》三卷,案《隋书·经籍志》有《孙子算经》二卷,不著其名,亦不著其时代。《唐书·艺文志》称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷。於孙子上冠以甄鸾,盖如淳风之注《周髀算经》,因鸾所注更加辨论也。《隋书》论审度引《孙子算术》,蚕所生吐丝为忽,十忽为秒,十秒为毫,十毫为厘,十厘为分,本书乃作十忽为一丝,十丝为一毫。又论嘉量引《孙子算术》,六粟为圭,十圭为秒,十秒为撮,十撮为勺,十勺为合。本书乃作十圭为一撮,十撮为一秒,十秒为一勺。考之夏侯阳《算经》引田曹、仓曹亦如本书,而《隋书》中所引与史传往往多合。盖古书传本不一,校订之儒各有据证,无妨参差互见也。唐之选举,算学孙子、五曹共限一岁习肄,於後来诸算术中特为近古,第不知孙子何许人。朱彝尊《曝书亭集·五曹算经跋》云,相传其法出於孙武,然孙子别有《算经》,考古者存其说可尔。又有《孙子算经》跋云,首言度量所起,合乎兵法地生度,度生量,量生数之文。次言乘除之法设为之数,十三篇中所云廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目,往往相符,而要在得算多,多自然胜。以是知此编非伪托也云云。合二跋观之,彝尊之意盖以为确出於孙武。今考书内设问有云,长安洛阳相去九百里。又云,佛书二十九章,章六十三字,则後汉明帝以後人语。孙武春秋末人,安有是语乎?旧本久佚。今从《永乐大典》所载裒集编次,仍为三卷。其甄、李二家之注则不可复考,是则姚广孝等割裂刊削之过矣。
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原序: N( r. h% s% {
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孙子曰:夫算者:天地之经纬,群生之元首,五常之本末,阴阳之父母,星辰之建号,三光之表里,五行之准平,四时之终始,万物之祖宗,六艺之纲纪。稽群伦之聚散,考二气之降升,推寒暑之迭运,步远近之殊同,观天道精微之兆基,察地理从横之长短,采神祇之所在,极成败之符验。穷道德之理,究性命之情。立规矩,准方圆,谨法度,约尺丈,立权衡,平重轻,剖毫厘,析泰絫。历亿载而不朽,施八极而无疆。散之者,富有余;背之者,贫且寠。心开者,幼冲而即悟;意闭者,皓首而难精。夫欲学之者,必务量能揆己,志在所专,如是,则焉有不成者哉!
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最新评论

古越中兴 发表于 2017-3-19 10:00:59

4 f1 a7 V1 C$ p) V& O卷上
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8 V& W' [  F& U6 q* q4 t; f" R度之所起,起于忽。欲知其忽,蚕吐丝为忽,十忽为一丝,十丝为一毫,十毫为一牦,十牦为一分,十分为一寸,十寸为一尺,十尺为一丈,十丈为一引,五十引为一端,四十尺为一匹,六尺为一步,二百四十步为一亩,三百步为一里。1 H" z8 m: q- E
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  称之所起,起于黍。十黍为一絫,十絫为一铢,二十四铢为一两,十六两为一筋,三十筋为一钧,四钧为一石。% m3 [) U0 Q7 J% a

8 @( P* q9 |5 z7 g  量之所起,起于粟。六粟为一圭,十圭为一撮,十撮为一抄,十抄为一勺,十勺为一合,十合为一升,十升为一斗,十斗为一斛,十斛得六千万粟。所以得知者,六粟为一圭,十圭六十粟为一撮,十撮六百粟为一抄,十抄六千粟为一勺,十勺六万粟为一合,十合六十万粟为一升,十升六百万粟为一斗,十斗六千万粟为一斛,十斛六亿粟百,斛六兆粟,千斛六京粟,万斛六陔粟,十万斛六秭粟,百万斛六穣粟,千万斛六沟粟,万万斛为一亿六涧粟,十亿斛六正粟,百亿斛六载粟。8 n8 A& B" W( f+ r
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  凡大数之法:万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京,万万京曰陔,万万陔曰秭,万万秭曰穣,万万穣曰沟,万万沟曰涧,万万涧曰正,万万正曰载。8 b" r, O: G$ `) `# E/ d8 K, i
  H! Q5 r9 ]; R
  周三,径一,方五,邪七。见邪求方,五之,七而一;见方求邪,七之,五而一。! B, j# t; X; \/ G

6 j- T, H2 H5 l) O* O7 [3 a6 Z6 I  白银方寸重一十四两。# @/ K2 I* }4 C4 x4 A, Y! x% F' i
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  玉方寸重一十两。
/ [3 W% D" L% o7 w. x' F5 G4 F; e& X- U
& U% A) v2 w( b* O, K; g  铜方寸重七两半。
+ C7 l0 m3 ~4 U+ B$ F" \5 D
+ N' G6 c- P" Z6 C; ]+ m  铅方寸重九两半。
8 ]  X6 ^' F* ]' z0 Y* J; X1 ?# s7 O
  铁方寸重七两。0 _: V# n6 Z* {8 ?( ^( i# P
( c: G  F  s2 F& M9 p9 B. J
  石方寸重三两。2 k5 ~) ?' u/ @# \

8 |0 m; d; t5 e- q( l8 y8 N  凡算之法:先识其位,一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当。(案:万百原本讹作百万,今据《夏侯阳算经》改正。)
1 q+ u: S: z+ g* A- C8 b) S; K% l* s9 R, w# p+ ~. X
  凡乘之法:重置其位,上下相观,头位有十步,至十有百步,至百有千步,至千以上命下所得之数列于中。言十即过,不满,自如头位。乘讫者,先去之下位;乘讫者,则俱退之。六不积,五不只。上下相乘,至尽则已。9 e, [+ o8 Y9 u4 W, V; z5 k; V
1 t4 ~3 ]" O8 J$ [! c
  凡除之法:与乘正异乘得在中央,除得在上方,假令六为法,百为实,以六除百,当进之二等,令在正百下。以六除一,则法多而实少,不可除,故当退就十位,以法除实,言一六而折百为四十,故可除。若实多法少,自当百之,不当复退,故或步法十者,置于十百位(头位有空绝者,法退二位。)余法皆如乘时,实有余者,以法命之,以法为母,实余为子。
9 v, ~% A" l# _0 _& r2 m
. Q# O4 a3 l+ L# g/ a/ h  以粟求粝米,三之,五而一。
) A, l' W4 K5 Q3 c
+ D$ x! v1 u5 P$ b  以粝米求粟,五之,三而一。0 z; z& a* v3 e! F$ ], x

% x0 h7 x& }; j% J6 [2 R/ b8 ~5 ]  以粝米求饭,五之,二而一。
+ i% ~# L/ Y2 E) @
- ^3 p, y) Z+ C% g  g7 b# l  以粟米求粝饭,六之,四而一。
; A5 W5 j' v& x1 ]6 f4 U! G- f1 V0 t9 Q6 Z+ t. Y9 w# t9 a- g0 ~6 |
  以粝饭求粝米,二之,五而一。
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# R. Z0 N$ `/ V$ W, J5 a# s& A  以□米求饭,八之,四而一。
3 e/ Q/ t2 S- d6 x1 ]2 k
# ^+ |1 G/ L; d6 x' \* f  十分减一者,以二乘二十除;减二者,以四乘二十除;减三者,以六乘二十除;减四者,以八乘二十除;减五者,以十乘二十除;减六者,以十二乘二十除;减七者,以十四乘二十除;减八者,以十六乘二十除;减九者,以十八乘二十除。% d- B0 x, Z( K7 B9 m+ K

% |5 F, v# k) z1 W4 t* y/ y  九分减一者,以二乘十八除。
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  八分减一者,以二乘十六除。+ X# z; L0 E/ Z9 N

3 y' q6 E" K8 O/ k  七分减一者,以二乘十四除。
' e' a/ m2 B6 t2 g, C. `7 y! ^9 Y4 x$ Z3 }; C" s6 y9 o4 G, B2 b3 T9 n
  六分减一者,以二乘十二除。
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  五分减一者,以二乘十除。+ j# }6 b: ^9 e+ |% ?! e
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  九九八十一,自相乘得几何?答曰:六千五百六十一。
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  术曰:重置其位,以上八呼下八,八八六十四即下,六千四百于中位;以上八呼下一,一八如八,即于中位下八十,退下位一等,收上头位八十(案:原本脱“上”字,今补。)以上位一(案:上位原本讹作“头位”,今改正。)呼下八,一八如八,即于中位,下八十;以上一呼下一,一一如一,即于中位下一,上下位俱收中位,即得六千五百六十一。( Z* ]8 Z. ^$ s  l% Y+ m# s
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  六千五百六十一,九人分之。问:人得几何?答曰:七百二十九。
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古越中兴 发表于 2017-3-19 10:01:30
术曰:先置六千五百六十一于中位,为实,下列九人为法,头位置七百(案:原本脱上字,今补。),以上七呼下九,七九六十三,即除中位六千三百,退下位一等,即上位,置二十(案:上位原本讹作头位,今改正。),以上二呼下九,二九一十八,即除中位一百八十,又更退下位一等,即上位,更置九(案:上位原本亦讹作头位,今改正。),即以上九呼下九,九九八十一,即除中位八十一,中位并尽,收下位,头位所得即人之所得,自八八六十四至一一如一,并准此。
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  八九七十二,自相乘,得五千一百八十四,八人分之,人得六百四十八。$ r; l; \* O1 n( X- I' @' U
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  七九六十三,自相乘,得三千九百六十九,七人分之,人得五百六十七。
5 G" M& j- ]7 G9 e' @4 ~- t9 G5 ~9 ?9 k5 L" \9 m& G% C, G* o
  六九五十四,自相乘,得二千九百一十六,六人分之,人得四百八十六。6 [* f! j. ^/ D! Q1 y' v0 I& {: \# ^

4 o1 K$ k* Q7 e" T1 f/ t  m. o  五九四十五,自相乘,得二千二十五,五人分之,人得四百五。
& f; R+ G8 y6 h* P0 L) Q5 h( ^/ |. Y9 ?, U4 G7 k% l1 u' {
  四九三十六,自相乘,得一千二百九十六,四人分之,人得三百二十四。. b% v- {) i, M; y& M6 R
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  三九二十七,自相乘,得七百二十九,三人分之,人得二百四十三。
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6 [$ Q1 Z# j, z$ G. }$ j  二九一十八,自相乘,得三百二十四,二人分之,人得一百六十二。
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  一九如九,自相乘,得八十一,一人得八十一。
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  右九九一条,得四百五,自相乘,得一十六万四千二十五,九人分之,人得八千二百二十五。
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8 ]+ E3 M6 L6 u% a. P$ t1 S  八八六十四,自相乘,得四千九十六,八人分之,人得五百一十二。
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& N5 \, y3 p+ D  七八五十六,自相乘,得三千一百三十六,七人分之,人得四百四十八。
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8 w5 n6 Q, q; [4 G3 Y3 g" p) P; G/ l  六八四十八,自相乘,得二千三百四,六人分之,人得三百八十四。  ]/ Y) z+ N; P2 [( q& C/ [* P2 Y' [
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  五八四十,自相乘,得一千六百,五人分之,人得三百二十。( p! }, X3 b3 v8 j5 g5 ~
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  四八三十二,自相乘,得一千二十四,四人分之,人得二百五十六。" i' q4 _3 t% ]1 P* v: b

5 ]3 a  H) F. R# W9 \  三八二十四,自相乘,得五百七十六,三人分之,人得一百九十二。) K1 k( @" Q; A! k( c' x3 z; `
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  二八十六,自相乘,得二百五十六,二人分之,人得一百二十八。7 M8 M, `4 v! v* x8 r

' _% _/ f5 g: Y  一八如八,自相乘,得六十四,一人得六十四。  L& U% R. m0 f

6 x3 B( ]& t+ _: B- W1 Y  右八八一条,得二百八十八,自相乘,得八万二千九百四十四,八人分之,人得一万三百六十八。, f0 e# @- F& n
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  七七四十九,自相乘,得二千四百一,七人分之,人得三百四十三。
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* j1 O) j" w; \3 W% y, G# O# _6 G  六七四十二,自相乘,得一千七百六十四,六人分之,人得二百九十四。2 U8 w$ h5 _  V
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  五七三十五,自相乘,得一千二百二十五,五人分之,人得二百四十五。
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. @: R! i5 ]0 S% s" M: \  四七二十八,自相乘,得七百八十四,四人分之,人得一百九十六。5 O3 x8 E# v3 G5 m
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  三七二十一,自相乘,得四百四十一,三人分之,人得一百四十七。
3 X% x1 l- K3 x) r& G$ }" g3 P( @: n7 ~; \
  二七一十四,自相乘,得一百九十六,二人分之,人得九十八。( o) n# d5 g* ]) z

; ?! f6 N% H- O1 W0 R/ k  一七如七,自相乘,得四十九,一人得四十九。
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  右七七一条,得一百九十六,自相乘,得三万八千四百一十六,七人分之,人得五千四百八十八。
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; F( E- g6 E8 A$ E) \  六六三十六,自相乘,得一千二百九十六,六人分之,人得二百一十六。, o; m* `+ c7 _1 H% K/ U
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  五六三十,自相乘,得九百,五人分之,人得一百八十。0 W6 [2 o+ s4 D3 a! @/ C. Q" l: ~
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  四六二十四,自相乘,得五百七十六,四人分之,人得一百四十四。
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  三六一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。
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5 {2 H' g: p/ m( R; _  二六一十二,自相乘,得一百四十四,二人分之,人得七十二。/ `" k8 G2 v( t# p; e+ c

2 s- K. D8 Y' d- D  一六如六,自相乘,得三十六,一人得三十六。9 \1 ?& ]2 U$ w- X+ r- p' D

" A3 B0 e; v% n- w* N! q7 S  Q1 B  右六六一条,得一百二十六,自相乘,得一万五千八百七十六,六人分之,人得二千六百四十六。
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  五五二十五,自相乘,得六百二十五,五人分之,人得一百二十五。, A. P) `6 x9 v, H8 L* v6 U! v
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  四五二十,自相乘,得四百,四人分之,人得一百。
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  三五一十五,自相乘,得二百二十五,三人分之,人得七十五。
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3 R# l& S$ j4 K& j  二五一十,自相乘,得一百,二人分之,得五十。/ U  ]+ J* i9 e; `7 r8 ~. X" F
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  一五如五,自相乘,得二十五,一人得二十五。
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  右五五一条,得七十五,自相乘,得五千六百二十五,五人分之,人得一千一百二十五。
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* _; n9 S* N" O2 y0 v  四四一十六,自相乘,得二百五十六,四人分之,人得六十四。
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" q6 `+ F8 M" q+ t' Z3 U+ p  三四一十二,自相乘,得一百四十四,三人分之,人得四十八。1 y$ }2 S/ z+ x# P! m/ v

* q5 P! d7 \/ B0 w3 U: r: r  二四如八,自相乘,得六十四,二人分之,人得三十二。
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5 n+ w5 _% N! T6 |$ l3 L2 J. A  一四如四,自相乘,得一十六,一人得一十六。
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  右四四一条,得四十,自相乘,得一千六百,四人分之,人得四百。' {& t# X4 ^; L7 Q, O

' o& [5 D/ f% m/ f  三三如九,自相乘,得八十一,三人分之,人得二十七。
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' |* R8 q$ _4 t0 l6 w1 m+ \  二三如六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。7 ?# g, \& ?0 N  v! X8 i0 T/ f
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  一三如三,自相乘,得九,一人得九。$ x5 X0 h0 u7 r7 F
古越中兴 发表于 2017-3-19 10:01:49
 右三三一条,得一十八,自相乘,得三百二十四,三人分之,人得一百八。  ]2 E  |6 _4 W9 Y+ d

( x) a6 |3 Q6 J* g+ ~0 U5 F5 w  二二如四,自相乘,得一十六,二人分之,人得八。
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  一二如二,自相乘,得四,一人得四。
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& D% g' y9 m# K- L/ p  右二二一条,得六,自相乘,得三十六,二人分之,人得一十八。
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  一一如一,自相乘,得一,一乘不长。
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  右从九九至一一,总成一千一百五十五,自相乘,得一百三十三万四千二十五,九人分之,人得一十四万八千二百二十五。
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; i, v# J. j! t+ _! B; a3 K  以九乘一十二,得一百八,六人分之,人得一十八。8 u7 @" p$ D( k

/ b( \! K! X- _/ s  以二十七乘三十六,得九百七十二,一十八人分之,人得五十四。
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  以八十一乘一百八,得八千七百四十八,五十四人分之,人得六十二。
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( D8 _8 y+ J0 D  以二百四十三乘三百二十四,得七万八千七百三十二,一百六十二人分之,人得四百八十六。. w* k7 I0 W+ y6 X* L

% k' M' e% E- _- p1 R  以七百二十九乘九百七十二,得七十万八千五百八十八,四百八十六人分之,人得一千四百五十八。
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  以二千一百八十七乘二千九百一十六,得六百三十七万七千二百九十二,一千四百五十八人分之,得四千三百七十四。) ]5 i  H6 A7 {! F' J
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  以六千五百六十一乘八千七百四十八,得五千七百三十九万五千六百二十八,四千三百七十四人分之,人得一万三千一百二十二。
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* L$ e6 n0 k) T+ N  以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四,得五亿一千六百五十六万六百五十二,一万三千一百二十二人分之,人得三万九千三百六十六。$ M0 |7 u( h3 E% d
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  以五万九千四十九乘七万八千七百三十二,得四十六亿四千九百四万五千八百六十八,三万九千三百六十六人分之,人得一十一万八千九十八。
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/ F# n( _7 b' H0 t  以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六,得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二,一十一万八千九十八人分之,得三十五万四千二百九十四。
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2 W( G; O! K* `% P3 I5 |3 t  以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八,得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八,三十五万四千二百九十四人分之,人得一百六万二千八百八十二。6 y# r0 @4 z& [/ W; j& Q

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古越中兴 发表于 2017-3-19 10:02:29
卷中
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今有一十八分之一十二。问:约之得几何?答曰:三分之二。4 v/ L& J& t  j1 Z2 v1 ?( E( z

) q: V" q/ h2 C  术曰:置十八分在下,一十二分在上,副置二位以少减多,等数得六为法,约之即得。0 ?, q) b0 p3 }: [- d  S9 |
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  今有三分之一、五分之二。问:合之二得几何?答曰:一十五分之十一。
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' n8 D9 H3 C7 M! A# r& b! D  e( u  f  术曰:置三分五分在右方,之一之二在左方,母互乘子,五分之二得六,三分之一得五,并之,得一十一为实;又方二母相乘,得一十五为法。不满法,以法命之,即得。
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  今有九分之八,减其五分之一。问:余几何?答曰:四十五分之三十一。
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! ^* \4 [. h) n7 ~  术曰:置九分五分在右方,之八之一在左方,母互乘子,五分之一得九,九分之八得四十,以少减多,余三十一,为实;母相乘,得四十五,为法。不满法,以法命之,即得。
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  今有三分之一,三分之二,四分之三。问:减多益少,几何而平?答曰:减四分之三者二,减三分之二者一,并以益三分之一,而各平于一十二分之七。' }. e1 g5 Y# X8 S6 Q) ?7 m
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  术曰:置三分三分四分在右方,之一之二之三在左方,母互乘子,副并得六十三。置右为平实,母相乘得三十六,为法,以列数三乘未并者,及法等数,得九约讫,减四分之三者二,减三分之二者一,并以益三分之一,各平于一十二分之七。( J' {( Q) S% v( w  L  ?. b# w
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  今有粟一斗。问:为粝米几何?答曰:六升。
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; Y& ?" O1 k: R% L. }; }. ~  术曰:置粟一斗十升,以粝米率三十乘之,得三百升为实,以粟率五十为法,除之,即得。$ c' f5 I9 _2 i$ v. ^
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  今有粟二斗一升。问:为稗米几何?答曰:一斗一升五十分升之一十七。
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* h3 F, |# C7 Q  术曰:置粟数二十一升,以稗米率二十七乘之,得五百六十七升,为实;以粟率五十为法,除之不尽,以法而命分。0 q. c3 }( @' e+ H- Q
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  今有粟四斗五升。问:为□米几何?答曰:二斗一升五分升之三。
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/ R% E2 ^0 Q7 e2 W  术曰:置粟四十五升,以二约□米率二十四,得一十二,乘之,得五百四十升,为实;以二约粟率,五十得二十五,为法,除之,不尽,以等数约之,而命分。
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  q% ~# j: H+ p1 r1 J4 n( o  今有粟七斗九升。问:为御米几何?答曰:三斗三升一合八勺。
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3 f. _& L& g; z& p8 D% t1 K  术曰:置七斗九升以御米率二十一乘之,得一千六百五十九,为实,以粟率五十除之,即得。$ }: a* O5 G% i4 u  {4 ]

( n1 U9 |: D3 V3 h, e1 J8 m# {! l  今有屋基,南北三丈,东西六丈,欲以砖瓦砌之,凡积二尺,用砖五枚。问:计几何?答曰:四千五百枚。
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  术曰:置东西六丈,以南北三丈乘之,得一千八百尺;以五乘之,得九千尺;以二除之,即得。  M' S+ F* ?1 `0 Y0 I
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  今有圆窖,下周二百八十六尺,深三丈六尺。问:受粟几何?答曰:一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。2 k5 u  o5 W3 P/ d" V

* t" I5 ~$ |3 r0 }, ^1 u  术曰:置周二百八十六尺,自相乘得八万一千七百九十六尺,以深三丈六尺乘之,得二百九十四万四千六百五十六;以一十二除之,得二十四万五千三百八十八尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。
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  今有方窖,广四丈六尺,长五丈四尺,深三丈五尺。问:受粟几何?答曰:五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。8 n# y- |1 \( i7 @7 [6 i% J2 N% l
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  术曰:置广四丈六尺,长五丈四尺,相乘得二千四百八十四尺;以深三丈五尺乘之,得八万六千九百四十尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。  A1 A5 o# v5 t' Q4 }! ^
古越中兴 发表于 2017-3-19 10:02:55
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今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺。问:受粟几何?答曰:二千七百斛。
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  术曰:先置周五丈四尺相乘,得二千九百一十六尺,以深一丈八尺乘之,得五万二千四百八十八尺;以一十二除之,得四千三百七十四尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。* E3 f$ e, @0 f0 t% E- D* @
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  今有圆田周三百步,径一百步。问:得田几何?答曰:三十一亩,奇六十步。; [3 j$ S) ^( b) c) ~5 ?) l

9 Z0 p# \3 i# H  术曰:先置周三百步,半之,得一百五十步;又置径一百步半之,得五十步,相乘,得七千五百步,以亩法二百四十步除之,即得。
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  又术曰:周自相乘,得九万步,以十二除之,得七千五百步,以亩法除之,得亩数。$ l% K8 r: ^: G

  e# o1 a+ Y& Z9 w" `  又术曰:径自乘,得一万,以三乘之,得三万步,四除之,得七千五百步,以亩法除之,得亩数。0 @  X- v5 a. `7 g

) F' O8 p' j8 C; b+ q) X! o( T& n  今有方田桑生中央,从角至桑,一百四十七步。问:为田几何?答曰:一顷八十三亩,奇一百八十步。
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  术曰:置角至桑一百四十七步,倍之,得二百九十四步,以五乘之,得一千四百七十步,以七除之,得二百一十步,自相乘,得四万四千一百步,以二百四十步除之,即得。
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1 u& J1 D4 d' N: j8 J) ^  今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚。问:得几何?答曰:二百一十六枚。
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+ x9 q& s8 f2 d8 c, [! t  术曰:置方三尺,自相乘,得九尺,以高三尺乘之,得二十七尺,以一尺木八枕乘之,即得。. q6 ^& t8 s9 U3 P

7 k$ _- m3 X5 x- s% z' W, ^; e  今有索,长五千七百九十四步,以四除之,得一千四百四十八步,余二步,以六因之,得一丈二尺,以四除之,得三尺,通计即得。
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8 W& [6 s) D3 N+ M# a  今有堤,下广五丈,上广三丈,高二丈,长六十尺,欲以一千尺作一方。问:计几何?答曰:四十八方。
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  术曰:置堤,上广三丈,下广五丈。并之,得八丈;半之,得四丈。以二丈乘之,得八百尺;以长六十尺乘之,得四万八千;以一千尺除之(案:原本讹作乘,今改正。),即得。
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  今有沟,广十丈,深五丈,长二十丈,欲以千尺作一方。问:得几何?答曰:一千方。
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  术曰:置广一十丈,以深五丈乘之,得五千尺,又以长二十丈乘之,得一百万尺,以一千除之,即得。$ Q7 \' Z3 D# G+ p- w- L2 p
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  今有积,二十三万四千五百六十七步。问:为方几何?答曰:四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。; n$ I  j' D" G. B( e7 g5 t2 a
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  术曰:置积二十三万四千五百六十七步,为实,次借一算为下法,步之超一位至百而止。上商置四百于实之上(案:上商原本脱上字,今补。),副置四万于实之下。下法之商,名为方法;命上商四百除实,除讫,倍方法,方法一退(案:原本脱方法二字,今补。),下法再退,复置上商八十以次前商,副置八百于方法之下。下法之上,名为廉法;方廉各命上商八十以除实(案:原本脱实字,今补。),除讫(案:原本脱除字,今补。),倍廉法,从方法,方法一退,下法再退,复置上商四以次前,副置四于方法之下。下法之上,名曰隅法;方廉隅各命上商四以除实,除讫,倍隅法,从方法(案:原本讹此六字,今据术补。),上商得四百八十四,下法得九百六十八,不尽三百一十一,是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。' h9 Y5 `$ T* @$ f+ `

* r7 _2 W9 V. ?: U" C% a! u  今有积,三万五千步。问为圆几何?答曰:六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:六分步原本讹作七分,脱步字,今补正。)+ Y* q! z! V- K1 c7 O

8 b6 \5 M- s- m5 Z  术曰:置积三万五千步以一十二乘之,得四十二万,为实,次借一算为下法,步之超一位至百而止,上商置六百于实之上,副置六万于实之下。下法之上,名为方法,命上商六百除实,除讫,倍方法,方法一退,下法再退,复置上商四十以次前商,副置四百于方法之下。下法之上,名为廉法,方廉各命上商四十以除实(案:原本脱四十二字,今补。),除讫,倍廉法,从方法,方法一退,下法再退,复置上商八次前商,副置八于方法之下。下法之上,名为隅法,方廉隅各命上商八以除实,除讫,倍隅法,从方法,上商得六百四十八(案:原本脱得字,今补。),下法得一千二百九十六(案:六原本讹作七,今改正。),不尽九十六,是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。(案:九十六分原本讹作九十七分,今改正。)) B) X; X; G$ [  R8 y$ U4 ]
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  今有邱田周六百三十九,步径三百八十步。问:为田几何?答曰:二顷五十二亩二百二十五步。
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  术曰:半周得三百一十九步五分半径,得一百九十步二位相乘,得六万七百五步,以亩法除之,即得。
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古越中兴 发表于 2017-3-19 10:03:15
今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺。问:须功几何?答曰:二万六千一十一功。/ R2 q2 t3 s8 j) U& s( A' ?

( A* }4 p2 U, e9 S( _6 b$ K: C  术曰:并上下广,得七十四尺,半之,得三十七尺,以高乘之,得一千四百六尺,又以长乘之,得积七百八十万三千三百尺,以秋程人功三百尺除之,即得。* ^# o5 O! _( n! r
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  今以穿渠长二十九里一百四步,上广一丈二尺六寸,下广八尺深一丈八尺,秋程人功三百尺。问:须功几何?答曰:三万二千六百四十五功(案:原本讹作三万二百六十五人,今据术改正。),不尽六十九尺六寸。4 `& U9 I. }& f' t  ]

  ?) x2 V# ~" \, `: d  术曰:置里数以三百步乘之,内零步,六之,得五万二千八百二十四尺,并上下广,得二丈六寸,半之,以深乘之,得一百八十五尺四寸,以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸,以人功三百尺除之,即得。
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  今有钱六千九百三十,欲令二百一十六人作九分,分之八十一人,人与二分;七十二人,人与三分;六十三人,人与四分。问:三种各得几何?答曰:二分人得钱二十二,三分人得钱三十三,四分人得钱四十四。$ M" Z4 A. F/ S* ^" ?4 D2 M; b5 Z

0 ^/ ^0 z7 g7 i3 s, z2 m& J  术曰:先置八十一人于上,七十二人次之,六十三人在下,头位以二乘之,得一百六十二,次位以三乘之,得二百一十六,下位以四乘之,得二百五十二,副并三位,得六百三十为法。又置钱六千九百三十为三位头位,以一百六十二乘之,得一百一十二万二千六百六十,又以二百一十六乘中位,得一百四十九万六千八百八十,又以二百五十二乘下位,得一百七十四万六千三百六十,各为实以法,六百三十各除之,头位得一千七百八十二,中位得二千三百七十六,下位得二千七百七十二,各以人数除之,即得。
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1 o* g2 S* D4 k* k. q  今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗。问:五人各得几何?答曰:公一十八颗,侯一十五颗,伯一十二颗,子九颗,男六颗。6 z/ k4 F* F3 ]
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  术曰:先置人数别加三颗于下,次六颗,次九颗,次一十二颗,上十五颗,副并之,得四十五,以减六十颗,余人数除之,得人三颗,各加不并者,上得一十八颗为公分,次得一十五为侯分,次得一十二为伯分,次得九为子分,下得六为男分。4 Z8 {" T7 |1 ]; l; U% D1 X8 F$ [  [
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  今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱半以益我钱成九十。乙复语甲丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成七十。丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六。问:三人元持钱各若干?答曰:甲七十二,乙三十二,丙四。
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8 X$ x( f  _" s& H3 \  术曰:先置三人所语为位,以三乘之,各为积,甲得二百七十,乙得二百一十,丙得八十四,又置甲九十,乙七十,丙五十六,各半之,以甲乙减丙,以甲丙减乙,以乙丙减甲,即各得元数。
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  今有女子善织,日自倍,五日织通五尺。问:日织几何?答曰:初日织一寸三十一分寸之一十九,次日织三寸三十一分寸之七,次日织六寸三十一分寸之一十四,次日织一尺二寸三十一分寸之二十八,次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
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! A& A4 ]5 ^( V( U/ I  术曰:各置列衰副,并得三十一为法,以五尺乘并者,各自为实,实如法而一,即得。; W8 _% m6 k$ `4 v
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  今有人盗库绢,不知所失几何?但闻草中分绢,人得六匹,盈六匹;人得七匹,不足七匹。问人、绢各几何?答曰:贼一十三人,绢八十四匹。
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/ x1 I( v3 Z1 L$ k) |$ m; L+ U4 U3 d  术曰:先置人得六匹于右上,盈六匹于右下,后置人得七匹于左上,不足七匹于左下,维乘之所得,并之为绢,并盈不足为人。  x* B6 U7 T" ?# T8 z
古越中兴 发表于 2017-3-19 10:03:41
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+ k& N/ {) T: t  x今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租,甲出三十五斛,乙出四十六斛,丙出五十七斛,丁出六十八斛,戊出七十九斛,己出八十斛,庚出一百斛,辛出二百一十斛,壬出三百二十五斛,凡九家,共输租一千斛,僦运直折二百斛外。问:家各几何?答曰:甲二十八斛,乙三十六斛八斗,丙四十五斛六斗,丁五十四斛四斗,戊六十三斛二斗,己六十四斛,庚八十斛,辛一百六十八斛,壬二百六十斛。9 n1 O! i5 i4 z  w6 n" K2 F
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  术曰:置甲出三十五斛,以四乘之,得一百四十斛;以五除之,得二十八斛。乙出四十六斛,以四乘之,得一百八十四斛;以五除之,得三十六斛八斗。丙出五十七斛,以四乘之,得二百二十八斛;以五除之,得四十五斛六斗。丁出六十八斛,以四乘之,得二百七十二斛;以五除之,得五十四斛四斗。戊出七十九斛,以四乘之,得三百一十六斛;以五除之,得六十三斛二斗。己出八十斛,以四乘之,得三百二十斛;以五除之,得六十四斛。庚出一百斛,以四乘之,得四百斛;以五除之,得八十斛。辛出二百一十斛,以四乘之,得八百四十斛;以五除之,得一百六十八斛。壬出三百二十五斛,以四乘之,得一千三百斛;以五除之,得二百六十斛。. I7 N- p. x/ ^$ d% q: }
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  今有丁一千五百万,出兵四十万。问:几丁科一兵?答曰:三十七丁五分。2 o: I! e5 q1 g% ?

$ h) i6 e/ t7 R; u! r9 \* d6 I  术曰:置丁一千五百万为实,以兵四十万为法,实如法,即得。& Q0 a5 v0 Z. F0 n' F7 C2 |

2 }1 b/ Q1 o8 m9 J/ P5 v' j  今有平地聚粟,下周三丈六尺,高四尺五寸。问:粟几何?答曰:一百斛。
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! H; b2 O+ \* [& v1 B2 p8 p; g# p! M  术曰:置周三丈六尺,自相乘,得一千二百九十六尺,以高四尺五寸,乘之,得五千八百三十二尺,以三十六除之,得一百六十二尺,以斛法一尺六寸二分除之,即得。, x- B( y0 a) F* h" @( x- ^
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  今有佛书,凡二十九章,章六十三字。问:字几何?答曰:一千八百二十七。
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6 R+ Z1 q/ E% C0 [: i  术曰:置二十九章,以六十三字,乘之,即得。
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  今有棋局,方一十九道。问:用棋几何?答曰:三百六十一。8 T/ c+ U% v' W- w
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  术曰:置一十九道,自相乘之,即得。
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' V& X5 }: _  S: i( t  今有租,九万八千七百六十二斛,欲以一车载五十斛。问:用车几何?答曰:一千九百七十五乘奇一十二斛。
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  术曰:置租九万八千七百六十二斛为实,以一车所载五十斛为法。实如法,即得。" l1 w" v" t/ x" l
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  今有丁九万八千七百六十六,凡二十五丁出一兵。问:兵几何?答曰:三千九百五十人奇一十六丁。! ~# o0 V, [! k' n

3 R! n* h& r; f2 x6 O  术曰:置丁九万八千七百六十六为实,以二十五为法。实如法,即得。% l9 V' U2 M( [& C" Y0 n7 [

3 `4 f) e/ [0 t) l1 ^. s% g+ f  今有绢,七万八千七百三十二匹,令一百六十二人分之。问:人得几何?答曰:四百八十六匹。
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' H* `8 m$ C# d5 m1 t; f# }  术曰:置绢七万八千七百三十二匹为实,以一百六十二人为法。实如法,即得。; ]; m" s# r. J  O) }

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古越中兴 发表于 2017-3-19 10:04:05

2 J. u9 ^6 w% g) I+ j' G今有绵,九万一千一百三十五筋,给与三万六千四百五十四户。问:户得几何?答曰:二筋八两。
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  术曰:置九万一千一百三十五筋,为实;以三万六千四百五十四户,为法。除之,得二筋,不尽一万八千二百二十七筋,以一十六乘之,得二十九万一千六百三十二两,以户除之,即得。
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  今有粟,三千九百九十九斛九斗六升,凡粟九斗易豆一斛。问:计豆几何?答曰:四千四百四十四斛四斗。! n) L& S/ R4 }4 x3 J* O: ?* L$ T
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  术曰:置粟三千九百九十九斛九斗六升为实,以九斗为法。实如法,即得。
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6 z' K8 R" M  o% J" W. }  今有粟,二千三百七十四斛,斛加三升。问:共粟几何?答曰:二千四百四十五斛二斗二升。
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* U- i7 C7 N; \9 Z1 @  术曰:置粟二千三百七十四斛,以一斛三升乘之,即得。6 T* y& q9 U( t4 z* X8 q: V

5 i. s/ o/ g, a) y  今有粟,三十六万九千九百八十斛七斗,在仓九年,年斛耗三升。问:一年、九年各耗几何?答曰:一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合,九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。
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  术曰:置三十六万九千九百八十斛七斗,以三升乘之,得一年之耗,又以九乘之,即九年之耗。
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  今有贷与人丝五十七筋,限岁出息一十六筋。问:筋息几何?答曰:四两五十七分两之二十八。
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  术曰:列限息丝一十六筋,以一十六两乘之,得二百五十六两,以贷丝五十七筋除之,不尽,约之,即得。! a" B* m+ W) V
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  今有三人共车,二车空;二人共车,九人步。问:人与车各几何?答曰:一十五车,三十九人。3 b. k" @4 K# j

8 E2 E1 d! }+ m; w: e/ y  术曰:置二人以三乘之,得六,加步者九人,得车一十五,欲知人者,以二乘车,加九人即得。
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) z1 I& b- Q) b  今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合,出与人买绢一匹,直粟三斛五斗七升。问:绢几何?答曰:三万六千一百一十七匹三丈六尺。
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) G4 ^3 L8 ]1 T  术曰:置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实,以三斛五斗七升为法,除之,得匹余四十之所得,又以法除之,即得。; R% w$ j) ?5 \; P% j' \/ S# `

4 A& g& @5 [3 A7 g  今有妇人河上荡杯,津吏问曰:“杯何以多?”妇人曰:“家有客。”津吏曰:“客几何?”妇人曰:“二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五,不知客几何?”答曰:“六十人。”, `* M& \4 X  H: V7 O# w7 H
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  术曰:置六十五杯,以十二乘之,得七百八十;以十三除之,即得。; e  s( w+ M, }3 ~; R6 i

7 {* C, k  h: s1 ~+ ]  I  今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺。问:几何?答曰:六尺五寸。: `1 \7 F  Z% q" I
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  术曰:置余绳四尺五寸,加不足一尺,共五尺五寸,倍之,得一丈一尺,减四尺五寸,即得。
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  今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升。问:米几何?答曰:六斗。
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  术曰:置余米一斗五升,以六乘之,得九斗;以二除之,得四斗五升;以四乘之,得一斛八斗;以三除之,即得。! I5 U2 u) K8 z+ s3 D$ U
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  今有黄金一筋直钱一十万。问:两直几何?答曰:六千二百五十钱。
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  术曰:置钱一十万,以一十六两除之,即得。
古越中兴 发表于 2017-3-19 10:04:29
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今有锦一匹,直钱一万八千。问:丈、尺、寸各直几何?答曰:丈四千五百钱,尺四百五十钱,寸四十五钱。8 {2 X. F; x: d; Z
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  术曰:置钱一万八千,以四除之,得一丈之直;一退再退,得尺寸之直。
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" n; y* S6 q# P% n5 z& e# B. y5 G  今有地,长一千步,广五百步,尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何?答曰:鹑一千八百万,鷃一亿八千万。
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) G/ d- I3 @9 o0 }6 I$ ?, c  术曰:置长一千步,以广五百步乘之,得五十万;以三十六乘之,得一千八百万尺,即得鹑数;上十之,即得鷃数。
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5 P1 N  `/ H" r) J! I  今有六万口,上口三万人,日食九升;中口二万人,日食七升;下口一万人,日食五升。问:上、中、下口,共食几何?答曰:四千六百斛。
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7 v0 H) V7 @" t3 a, @" m& `  术曰:各置口数,以日食之数乘之,所得并之,即得。0 |. ]+ h, S) g* a7 B
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  今有方物一束外周,一市有三十二枚。问:积几何?答曰:八十一枚。* i& ?: w- v9 u6 }( m% A
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  术曰:重置二位左位减八余加右位,至尽虚加一,即得。: l) e: h3 K& h1 }, x6 f  S

" l( f$ k8 P) B6 w0 g5 ?$ \! ?  今有竿,不知长短,度其影,得一丈五尺,别立一表,长一尺五寸,影得五寸。问:竿长几何?答曰:四丈五尺。+ |) @% n# O5 V- }4 K

( j9 q  \% z: G8 X. R6 T  术曰:置竿影一丈五尺,以表长一尺五寸乘之,上十之,得二十二丈五尺,以表影五寸除之,即得。( S8 a2 u' i0 h+ d" y

1 @7 s8 ^6 Y' \; A# k  今有物,不知其数。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问:物几何?答曰:二十三。, K7 L% e8 E8 i2 w, [2 f

: G. {* J3 e4 N( G# a  术曰:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之,剩一,则置七十五;五五数之,剩一,则置二十一;七七数之,剩一,则置十五。一百六以上,以一百五减之,即得。" |" f+ g+ I9 N- K3 M! k0 ], {
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  今有兽,六首四足;禽,二首二足,上有七十六首,下有四十六足。问:禽、兽各几何?答曰:八兽、七禽。4 j/ q" R6 w4 Q; a" U7 k; g: L

# \1 D9 W" H- M0 o  术曰:倍足以减首,余半之,即兽;以四乘兽,减足,余半之,即禽。
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; e) X$ _" k$ ~  今有甲乙二人持钱,各不知数。甲得乙中半,可满四十八;乙得甲大半,亦满四十八。问:甲乙二人元持钱各几何?答曰:甲持钱三十六,乙持钱二十四。  c( q9 _4 u0 A0 W. B

6 ]9 z8 v+ l2 n# F- ]  术曰:如方程求之,置二甲一乙钱九十六于右方,置二甲三乙钱一百四十四于左方,以右方二乘左方,上得四,中得六,下得二百八十八钱;以左方二乘右方,上得四,中得二,下得九十六(案:近刻脱此十八字,今据术补。);以右行再减左行,左上空,中余四,以为法,下余九十六钱,为实;上法下实,得二十四钱,为乙钱,以减右下九十六,余七十二为实,以右上二甲为法,上法下实,得三十六为甲钱也。8 A: |$ O8 I) V  N% j" Q
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  今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽。问:城中家几何?答曰:七十五家。# T; c& C& W# k

5 |' n! U2 _4 l: {2 t! V  术曰:以盈不足取之,假令七十二家鹿不尽四,令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上,盈四于右下,置九十于左上,不足二十于左下,维乘之所得并为实,并盈不足为法,除之,即得。: g! f( X; i7 H
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  今有三鸡共啄粟一千一粒,雏啄一,母啄二,翁啄四。主责本粟,三鸡主各偿几何?答曰:鸡雏主一百四十三,鸡母主二百八十六,鸡翁主五百七十二。
古越中兴 发表于 2017-3-19 10:04:51
术曰:置粟一千一粒为实,副并三鸡所啄粟七粒为法,除之,得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数,递倍之,即得母、翁主所偿之数。! o  N* ~! p# T/ L4 z$ E

* f5 C+ O" k5 O! j: [" G- f  今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?答曰:雉二十三,兔一十二。) ~3 I+ r/ q7 j9 B

7 A+ k5 j- W: Q7 q4 i  术曰:上置三十五头,下置九十四足。半其足,得四十七,以少减多,再命之,上三除下三,上五除下五,下有一除上一,下有二除上二,即得。
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% W0 m& }4 n2 d2 A# W% J  又术曰:上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头,即得。; ?4 T) c( r! m8 x- W; _; W

4 {: p* g2 v; [  今有九里渠,三寸鱼头,头相次。问:鱼得几何?答曰:五万四千。
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/ u) R- ?; b- D! D2 t- V  术曰:置九里以三百步乘之,得二千七百步;又以六尺乘之,得一万六千二百尺,上十之,得一十六万二千寸,以鱼三寸除之,即得。, L4 h" F* u; D$ ]

; c  M$ o# m% y' X$ S. A* q, [  今有长安、洛阳相去九百里,车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安。问:轮匝几何?答曰:九万匝。
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7 M# d1 g" h' \  术曰:置九百里以三百步乘之,得二十七万步,又以六尺乘之,得一百六十二万尺,以车轮一丈八尺为法,除之,即得。
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4 i' i; t' v9 x  今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问:各几何?答曰:木八十一枝,七百二十九巢,六千五百六十一禽,五万九千四十九雏,五十三万一千四百四十一毛,四百七十八万二千九百六十九色,四千三百四万六千七百二十一。
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$ Z/ a9 e4 p+ S) g& M  术曰:置九堤以九乘之,得木之数;又以九乘之,得枝之数;又以九乘之,得巢之数;又以九乘之,得禽之数;又以九乘之,得雏之数;又以九乘之,得毛之数;又以九乘之,得色之数。
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  今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归。问:三女几何日相会?答曰:六十日。4 W# F8 f) ~* l% W; |1 D' g" r

8 `: X- Q2 B* m; l7 b/ ~, ]  U* C# c  术曰:置长女五日,中女四日,少女三日,于右方,各列一算于左方,维乘之,各得所到数。长女十二到,中女十五到,少女二十到,又各以归日乘到数,即得。
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  今有孕妇,行年二十九岁。难九月,未知所生?答曰:生男。
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  术曰:置四十九加难月,减行年,所余以天除一,地除二,人除三,四时除四,五行除五,六律除六,七星除七,八风除八,九州除九。其不尽者,奇则为男,耦则为女。
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